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1、 本科毕业论文(设计) 题 目 矩阵指数函数及其在控制论中的应用 院(系) 数学系 专 业 数学与应用数学 学生姓名 XXXXXXX 学 号 XXXXXXX 指导教师 XXXXXX 职称 XXXXX 论文字数 6500 完成日期: 年 月 日巢湖学院本科毕业论文(设计)诚信承诺书本人郑重声明：所呈交的本科毕业论文(设计)，是本人在导师的指导下，独立进行研究工作所取得的成果。除文中已经注明引用的内容外，本论文不含任何其他个人或集体已经发表或撰写过的作品成果。对本文的研究做出重要贡献的个人和集体，均已在文中以明确方式标明。本人完全意识到本声明的法律结果由本人承担。本人签名： 日期： 巢湖学院本科毕
2、业论文 (设计)使用授权说明本人完全了解巢湖学院有关收集、保留和使用毕业论文 (设计)的规定，即：本科生在校期间进行毕业论文(设计)工作的知识产权单位属巢湖学院。学校根据需要，有权保留并向国家有关部门或机构送交论文的复印件和电子版，允许毕业论文 (设计)被查阅和借阅；学校可以将毕业论文(设计)的全部或部分内容编入有关数据库进行检索，可以采用影印、缩印或扫描等复制手段保存、汇编毕业，并且本人电子文档和纸质论文的内容相一致。保密的毕业论文(设计)在解密后遵守此规定。本人签名： 日期： 导师签名： 日期： 矩阵指数函数及其在控制论中的应用摘 要矩阵指数函数是一类特殊而又重要的函数，无论是数学领域、计
3、算机领域，还是工程技术领域涉及到的现代控制论中都有非常广泛的应用。本文从矩阵指数函数的基本定义开始，归纳总结了矩阵指数函数的一些基本性质，进而探讨了如何计算矩阵指数函数，本文选择了其中的四种计算方法，并通过实例说明了它们的计算量和计算步骤，对它们进行了简单的比较，分析遇到具体的问题应如何选择最佳的方法求解。另外联系现代控制理论，掌握如何用矩阵指数函数解决在工程技术领域中会遇到的状态方程问题以及在线性控制系统中常常涉及的求解线性微分方程组的问题。关键词：矩阵指数函数；Jordan标准型；状态方程；微分方程组Matrix exponential function and its applicati
4、on in Control TheoryAbstractMatrix exponential function is a special and important function, whether it is the field of mathematics, computer areas, or engineering technology related to the modern control theory has a very wide range of applications.This article from the matrix exponential function
5、the basic definition of began to, summed summed up the matrix exponential function some basic properties of, and thus explores the how to calculate the matrix exponential function, paper chose the one of the four kinds calculation method, develop simultaneously out the examples illustrate the their
6、computation volume and calculation step, right they carried out simple comparison, analyze encounter specific problems should how to choose the the best method for solving. In addition Contact modern control theory, to master how to use matrix exponential function to solve in the engineering technic
7、al fields will encounter of the state Equation Problem as well as online Xing control systems in the often involve of the solving linear differential equations group issue.Keywords: Matrix exponential function, Jordan standard, equation of state, differential equations目 录摘要IAbstractII引 言11. 矩阵指数函数的概
8、念及其基本性质11矩阵指数函数的概念12 矩阵指数函数的基本性质22. 矩阵指数函数的四种计算方法及其比较62.1矩阵指数函数的四种计算方法62.1.1利用Hamilton-Gayley定理求矩阵指数函数62.1.2利用相似对角化求矩阵指数函数72.1.3利用Jordan标准形求矩阵指数函数82.1.4利用待定系数法求矩阵指数函数102.2四种计算方法的比较123. 利用矩阵指数函数求解状态方程134. 矩阵指数函数的应用154.1矩阵指数函数在微分方程中的应用154.2用矩阵指数函数求解一阶常系数齐次线性微分方程组165. 结束语18参考文献19引 言作为数学的一个重要分支，矩阵函数具有极其
9、丰富的内容。随着计算机的高速发展和普及，矩阵函数的重要性也愈加显著。作为一种基本工具，矩阵函数在数学及其他科学技术领域，如信息计算、现代控制理论等学科都有着十分重要的应用。控制论是研究各种系统控制和通讯的一般规律的科学。随着科技的发展和计算机网路技术的普及，现代控制理论在工程信息技术以及其他领域中起着越来越重要的作用。本文通过矩阵指数函数的基本概念和性质，探讨了矩阵指数函数的四种计算方法并举例说明对其进行比较。最后通过求解状态方程来进一步研究矩阵指数函数在控制论和微分方程中的应用。1. 矩阵函数的概念及矩阵指数函数的基本性质矩阵函数的概念和通常的函数概念类似，所不同的是这里的自变量和因变量都是
10、n阶矩阵。本节首先以定理与矩阵幂级数的和为依据，给出矩阵函数的幂级数表示，进而探讨了矩阵指数函数的一些相关性质。1.1 矩阵函数的概念定义11 设，一元函数能够展开为的幂级数，并且该幂级数的收敛半径为。当矩阵的谱半径时，则将收敛矩阵幂级数的和定义为矩阵函数，记为，即因为当时，有则对任意，矩阵幂级数 是收敛的。它们的和记为，即通常称为矩阵指数函数1.22 矩阵指数函数的基本性质性质1 微分公式： （1.2.1）这是因为矩阵指数函数右端的级数绝对收敛，所以可以逐项求导，得到性质2 与可交换:从（1）中已看出与是可交换矩阵。容易证明与也是可以交换。这里的是任意自然数。性质3 乘法公式之一： （1.2
11、.2）这是因为注意到代入上式便得性质4乘法公式之二从（1.2.2）很容易联想到，能否认为下式成立：首先，和的维数如果不同，就没有意义。其次，设与的维数相同，则，而两相比较便知一般有 （1.2.3）可以证明：如果与是可交换矩阵，即，则有 （1.2.4）性质5 反号后的矩阵指数函数：根据（1.2.1）容易看出有性质6 逆矩阵：在（1.2.2）中取，结合（1.2.5），就得到同样可证所以的逆矩阵是。既然总是存在的，所以矩阵指数函数总是非奇异矩阵。即使是奇异矩阵结果也是一样。性质7 相似变换：对定义的两端施以任意的同一相似变换，并注意到就有就是说，对一个矩阵作相似变换，相当于对它的矩阵指数函数作同样的
12、相似变换。性质8 Laplace变换：求的Laplace变换可得：两边同时乘以，得由此便知道从而并有这个结果常被用来计算。顺便指出，这个结果表明，无论是否奇异，作为多项式矩阵的必是非奇异矩阵。2. 矩阵指数函数的四种计算方法及其比较上面定义了矩阵指数函数，在具体应用中，要求将所代表的具体矩阵求出来，即求出矩阵指数函数的值。本节探讨了其中四种计算函数值的方法。四种方法各有不同，涉及到如特征多项式、Jordan标准型、待定系数法等相关知识。2.1 矩阵指数函数的四种计算方法2.1.13利用Hamilton-Gayley定理求矩阵指数函数本节讨论的方法是利用Hamilton-Gayley定理找出矩阵
13、方幂之间的关系，通过化简矩阵幂级数的方法来求解。例1 已知，求。解：可求得。由Hamilton-Gayley定理知，从而即 故例2 已知4阶方阵的特征值为，求，。解：因为，所以。于是即 故2.1.24利用相似对角化求矩阵指数函数设是可对角化的，即存在，使得则有同理可得例 已知，求。解：可求得，即的特征值为。对应的特征向量为，对应的两个线性无关的特征向量为。于是，使得故2.1.35利用Jordan标准形求矩阵指数函数设，存在可导，使得其中 由定理得例 已知，求。解： 于是根据Jordan标准形理论可得定理2.36 设是的个特征值，则矩阵函数的特征值为。2.1.47利用待定系数法求矩阵指数函数8设
14、，且的特征多项式为 （1）其中是的全部互异特征值，。为计算，记。将改写成 （2）其中是含参数的的幂级数，是含参数且次数不超过的的多项式，即由Hamilton-Cayley定理知，于是由式（2）得可知，只要求出即可得到。又因为 将式（2.1.4.2）两边对求导，联系上式，求出即 （3）由式（3）即得到以为未知量的线性方程组。综上所述，利用特定系数法求解的步骤如下：第一步，求矩阵的特征多项式；第二步，设。根据 或 列方程组求解第三步，计算或（）=。例 已知，求。解： 求得的Jordan标准形为于是的最小多项式为。设由 解得于是2.2 四种计算方法的比较通过以上各个实例的计算比较中，我们容易得出：四
15、种计算方法中第一种和第二种方法中都运用到了一个阶的线性微分方程，通过对这个方程的求解来计算。相比较第三、四种方法降低了计算量，简单了计算步骤。第三种计算方法的计算量是最大的。在求的Jordan表达式中，要计算的Jordan标准型，当中又要涉及到矩阵的初等变换，计算复杂。之后的计算变换矩阵，计算量也很大，随着矩阵的阶数变大会更加繁杂。但是这种方法的优点是计算步骤比较清晰，通俗易懂。第四种方法的计算步骤最为复杂。要先求矩阵的特征多项式，然后列出方程组，最后求出结果。3. 利用矩阵指数函数求解状态方程状态方程是一阶微分方程组。在这个意义上说，它与微分方程没有什么不同。状态方程可以改写成关于单一变量的
16、微分方程求解，但也可以不把状态方程合并成单一变量微分方程，而直接在状态方程形式下求它的解。本节叙述的就是这种方法。为了说明如何利用矩阵指数函数直接解状态方程，我们先证明如下命题：设其中，和都是以为自变量的维数合适的矩阵，则有 （3.1）因为，若以表示矩阵的列数，就可导出从而证明了（3.1）。现在来求状态方程 (3.2)在初值条件下的解。移项后用左乘上式两端，得根据（3.1）和（3.2）知道所以有在从到的区间上积分，得到用左乘上式两端，得 （3.3）这就是状态方程的解。例8 设状态方程为输入量为。初值为，则有， ， 把它们代入（3.3），并利用Laplace反变换，得到也就是容易验证它满足微分方
17、程和初值条件。在本节开头，我们说过，可以把状态方程合并成关于单一变量的微分方程求解。现在我们又看到，可以直接对状态方程求解。我们探讨一下两种解法之间的关系。如果把状态方程合并成为关于单一变量的微分方程求解，则在没有外作用情况下所得的应当是齐次微分方程的解，它是以特征方程的诸根表示的。如果直接对状态方程求解，则在没有外作用的情况下，所得的解就是以矩阵的指数函数表示的。4 矩阵指数函数的应用本文利用矩阵及矩阵指数函数来讨论在微分方程中的应用以及在线性微分方程中的定解问题。这种由矩阵表示的微分方程不仅具有简单的形式，而且相应的定解问题也具有简单的结构。4.19 矩阵指数函数在微分方程中的应用微分方程
18、有解。如果我们考虑以下向量：。可以把线性微分方程表示成：两边同时乘以，得到：，。计算出，就能求出微分方程的解。如果为，那么，易知，4.210 用矩阵指数函数求解一阶常系数齐次线性微分方程组 设n维未知函数向量满足一阶常系数的齐次线性微分方程组 （4.1.1）其中， 皆为自变量的函数，为常系数，若记，则（4.1.1）式可改写成矩阵微分方程 （4.1.2）进而，若以上矩阵方程还满足条件则矩阵微分方程的定解问题为 （4.1.3）为求解上述齐次线性微分方程，我们将每个未知函数在处展开为Taylor级数，有 （4.1.4）写成向量幂级数（即的矩阵幂级数）的形式为 （4.1.5）其中为在处的阶导数又因为所
19、以 （4.1.6）代入（4.1.5）式，即得 （4.1.7）这说明矩阵微分方程的定解问题（4.1.3）式的解应具有形式（4.1.7）。例10 设有定解问题其中，且为三阶方阵试求该定解问题的解。解：由已知可得故该定解问题可以求出唯一解为5.结束语本文从幂级数概念的角度给出了矩阵函数的基本定义，并由此定义得到了一些相关性质。在研究矩阵指数函数的计算方法时，重点举例说明了其中的四种，并加以比较它们的特点。导入状态方程的定义，掌握如何利用矩阵指数函数来解状态方程。最后讨论了矩阵指数函数在微分方程中的应用。参考文献1李代高.矩阵理论及其应用M.重庆大学出版社.1989，1：100-1152戴华.矩阵论M
20、.科学出版社.2002，8：201-2173陆全等.矩阵论简明教程M.科学出版社。2002，4：82-844胡寿松.自动控制原理.M.北京科学出版社.2003，5：33-555黄琳.系统与控制论中的线性代数M.北京科学出版社.1984，6：40-596董贵兴.某些矩阵函数及其应用J.内蒙古名族师院学报.1995，5（1）7富明慧、林敬华.一类指数矩阵函数及其应用J.力学学报.2009，9（5）8张俊祖、姜根明、冯复科.矩阵指数函数的一种计算J.长安大学学报自然科学版.2006，1（1）9陈莲花.矩阵指数函数性质的讨论J.淮北职业技术学院学报.2011，1（3）10朱作桐.矩阵指数函数的运算性质J.南京师大学报自然科学版.1981，1（1）
