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1、3.辅助线之旋转1.如图，以正方形的边为斜边在正方形内作直角三角形，、交于已知、的长分别为、，求三角形的面积解析：显然，所以，所以，所以，则逆时针旋转，旋转，则与重合，落在上的处，且,因为,所以,所以是等腰直角三角形且，作，所以所以2.如图所示，在四边形中，于，若四边形的面积是，求的长解析：把绕点逆时针旋转，使与重合，则,四边形为矩形.旋转至，则，矩形为正方形，且，3.如图，正方形中，求证：答案：见解析解析：四边形是正方形，.将绕点顺时针旋转至,使与重合.则，且，.，.，且,.故.4.如图，正方形的边长为，点在线段上运动，平分交边于点求证：答案：见解析解析：四边形是正方形，.将绕点顺时针旋转至
2、,使与重合.则，且，.平分，即，即，得证5.、分别是正方形的边、上的点，且，为垂足，求证：答案：见解析解析：四边形绕为正方形，.将绕点顺时针旋转至.则，.，.，即.,.根据全等三角形的对应高相等(利用三角形全等可证得)，可得.6.如图所示，在正方形中，点、分别在、上，且，求的面积答案：见解析解析：如图所示，将绕点顺时针旋转，得到，则、共线.,.而，且，故，,.由此可得，.在中，故，.在中，则.故.7.如图，正方形的边长为，、上各存一点、，若的周长为，求的度数解析：把绕点旋转到的位置，又，又，又，8.如图：正方形的边长为，是的中点，点在上，且则的长是多少的面积是多少.答案：5；15解析：求的长：
3、四边形为正方形，.将绕点逆时针旋转至处，使与重合，则，.，则,，.设，则,.在中，有.，解得.求的面积：,.9.如图，在直角梯形中，是 上一点，且，求的长解析：过作，交延长线于四边形是正方形，.将绕点顺时针旋转，至,使与重合.则有，.,.，.故.设，则，在中，.即.解这个方程，得： 10.如图，在中，是内的一点，且，求的度数解析：如图，将绕点旋转，使与重合，即，PC=CE，,.为等腰直角三角形，. 又，则.11.如图，是等边内一点，若，求的度数解析：如图，将沿点逆时针旋转，则，连接，为等边三角形，12.为等边内一点，求证：以、为边可以构成一个三角形，并确定所构成的三角形的各内角的度数.答案：见
4、解析解析：要判断、三条线段可以构成一个三角形的三边，常采用判定其中任意两条线段之和大于第三条线段的办法，然而求所构成的三角形各内角的度数时又会束手无策.如果以为中心，将逆时针旋转，则点变到点，线段变到，点变到点，此时，并且，.为等边三角形，所以，.这时，就是以、为三边构成的三角形.易知而所以因此13.如图，为正方形内一点，求的度数解析：四边形为正方形，.将绕着点按顺时针旋转到的位置（如图），连接则是等腰直角三角形.为直角三角形. , .13.如图所示，是等边中的一点，试求的边长.答案：解析：由于有等边三角形，故可考虑将绕点旋转，使、出现在一个三角形中，从而构造出一个直角三角形.解：将绕点逆时针
5、旋转，则与重合，点转至点，点转至点，连接，如图所示，有，.故为等边三角形，在中，故，从而有，故所以，在中，.14.如图所示，为正方形内一点，若，.求： 的度数； 正方形的边长.答案：（1）；（2）解析：（1）将绕点顺时针旋转，得到.连接，因为，所以，.在中，则，所以，故.（2）因，则、三点共线，故，在中，根据勾股定理得所以.15.在中，是内任意一点，已知，求证：答案：见解析解析：因为，所以可将绕点旋转到的位置，连结、，则，因为，所以由，可得，则，即16.如图，是等边外的一点，求的度数答案：30解析：，将绕点逆时针旋转至，使与重合，则，,，.,为等边三角形，则，,在中，,为直角三角形，即.17.
6、如图，正方形内一点，连结、，请问：是等边三角形吗？为什么？答案：见解析解析：将绕点逆时针旋转，得，再作关于的轴对称图形，得.所以，,，为等边三角形，即.又，.，,则有.，.，.同理可得.为等边三角形.18.中，四边形是的内接正方形，求的值.解析：如图，四边形是正方形，将绕点逆时针旋转至，使与重合.则有.,.，.故.19.梯形中，且，求的长和面积.解析：，将绕点顺时针旋转，至处，使与重合.则，延长交于点，旋转角是，四边形是矩形，在中，根据勾股定理有，即，解得.20.在梯形中，若，求的长。答案：6或4解析：，过点作，交延长线与点，故四边形是矩形，矩形是正方形，则，将绕点顺时针，至处，则，,，设，则
7、，,在中，解得或，即的长为或.21.如图，等边三角形内一点，且，求以为边的三角形各内角的度数。答案：见解析解析：要判断、三条线段可以构成一个三角形的三边，常采用判定其中任意两条线段之和大于第三条线段的办法，然而求所构成的三角形各内角的度数时又会束手无策.如果以为中心，将逆时针旋转，则点变到点，线段变到，点变到点，此时，并且，.为等边三角形，所以，.这时，就是以、为三边构成的三角形.易知而所以因此22.如图，中，是中点，与交于，与交于求证：， 答案：见解析解析：连结，,是中点,且,在与中，23.在等腰直角中，是的中点，点从出发向运动， 交于点，试说明的形状和面积将如何变化答案：见解析解析：连接因为且，所以因为是的中点，所以，则因为，所以，所以，所以因此是等腰直角三角形，在的运动过程中形状不变的面积与边的大小有关当点从出发到中点时，面积由大变小；当是中点时，三角形的面积最小；继续向点运动时，面积又由小变大24.等腰直角三角形，为中点，试猜想，、三者的关系答案：见解析解析：如图，过点作，交于，连结，,.,且.，.又，、又存在另一关系式.
