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1、第四讲： 数几何图形的个数“数几何图形的个数” 是趣味图形问题的一种。 数图形虽然很简单， 但重复计数和遗漏 是经常出现的错误，在细心的同时还要掌握方法和技巧。一、数线段1. 数出下列每条线段上线段的总条数。分析与解： 数线段的时候一定按一定的顺序数， 否则就会出现重复或遗漏。 数时可以先数最 基本的小线段， 再数两条基本线段组成的线段，再数三条基本线段组成的线段， 最后 把各种“线段”条数相加起来。法一： 照下面的方法数 （以第 2小题为例 ）：3+2+1=6（条）法二： （规律） 线段总条数都是从 1 开始的几个连续自然数的和，而且最后一个加数正好和 最基本线段数相同。1）（条）2）（条）
2、3）（条）、数角2. 数出右图中总共有多少个角分析与解： 在 AOB内有三条角分线 OC1、OC2、OC3，AOB被这三条角分线分成 4 个基本 角，那么 AOB内总共有多少个角呢？首先有这4 个基本角，其次是包含有 2 个基本角组成的角有 3 个（即 AOC2、C1OC3、C2OB），然后是包含有 3 个基本角组成的角有 2 个（即AOC3、 总共有角：C1OB)，最后是包含有 4 个基本角组成的角有 1 个(即 AOB)，所以 AOB内4 32110(个) .令狐老师注： 数角的方法可以采用例 1 数线段的方法来数， 就是角的总数等于从 1 开始的几 个连续自然数的和，这个和里面的最大的加
3、数是角分线的条数加1，也就是基本角的个数 .巩固】数一数右图中总共有多少个角？分析与解： 因为 AOB内角分线 OC1、OC2OC9共有 9 条，即 9+1=10个基本角所以总共有角：10+9+8+ +4+3+2+1=55（个） .三、数三角形3. 如右图中，各个图形内各有多少个三角形？分析与解： 方法一：(1) 先数图中包含一个小三角形个数： ABD、 ADE、 AEF、 AFC 共 4 个三角形 .(2) 再数由两个小三角形组合在一起的三角形个数： ABE、 ADF、 AEC 共 3 个三角形，(3) 以三个小三角形组合在一起的三角形： ABF、 ADC 共 2 个三角形，(4) 最后数以
4、四个小三角形组合在一起的只有ABC一个 .所以图中三角形的个数总共有： 4+3+2+1=10(个)方法二： 我们就可以把数三角形问题转化为数线段问题了。根据例1 可知， BC边上的线段有 6 条，那么，以 BC边上线段为第三边的三角形就有6 个令狐老师注： 计算三角形的总数也等于从 1 开始的几个连续自然数的和， 其中最大的加数就 是三角形一边上的分点数加 1，也就是三角形这边上分成的基本线段的条数.巩固】数出下面图中三角形的个数。分析与解： 仔细观察图形，可以发现，所构成的每个三角形中，有两条边是由A 点引出的，而第三条边是 BC或 DE上的线段， BC和 DE上有多少条线段就有多少个三角形
5、，这样我们就 可以把数三角形问题转化为数线段问题了。根据例1 可知， BC边上的线段有 15 条，那么，以 BC边上线段为第三边的三角形就有 15 个。同理， DE边上的线段 15 条，以 DE 边上的线 段为第三边的三角形也有 15 个。所以，图中共有三角形 （个）4. 数出下图（图 1）中三角形的个数。分析与解： 明显地，这个图形与上一道例题中数三角形的个数有很大的区别，所以上例的 解法不适合此题，为了便于数出三角形的个数，我们可以用 分类的方法 来数。怎样分类呢？可以按三角形的构成来进行分类，为了叙述方便，我们把图中三角形 编上号码，如图 2 所示。由 1 个三角形构成的三角形有 6 。
6、由 2 个三角形构成的三角形有 2 个，即（ 1， 2），（ 4， 5）由 3 个三角形构成的有 4 个，即（ 1，2，3），（ 4，5，6），（ 6，1，2），（ 3，4，所以，此图中共有三角形： （个）5. 数一数，下图中有多少个三角形？分析与解： 观察上面图形中这些三角形， 可以分为尖朝上和尖朝下两大类， 将尖朝上的三角 形 18 依次编上序号，尖朝下的三角形用 A、B、C、D、E、F、G、H依次标上字母（如下图）（ 1）标上数字和字母的基本三角形共有：（个）（2）由四个基本三角形组成的三角形，尖朝上的有3 个，尖朝下的有 3个，所以这个图形共有三角形： （个）巩固】数一数，下图中各有多
7、少个三角形？分析与解：1）基本三角形 16 个由 2 个基本三角形组成的有 16 个 由 4 个基本三角形组成的有 8 个由 8 个基本三角形组成的有 4 个 共有三角形： 个。 （2）基本三角形有 12 个由 4 个基本三角形组成的三角形有 6 个。 由 9 个基本三角形组成的三角形有 2 个。 共有三角形 （个）四、数长方形6. 如下图，数一数下列各图中长方形的个数？分析与解：图（） 中长方形的个数与 AB边上所分成的线段的条数有关， 每一条线段对应一个长方形， 所以长方形的个数等于 AB 边上线段的条数，即长方形个数为：4+3+2+1=10（个） .图（）中 AB边上共有线段 4+3+2
8、+1=10 条. BC 边上共有线段： 2+1=3（条），把 AB上的 每一条线段作为长， BC边上每一条线段作为宽，每一个长配一个宽，就组成一个长方形， 所以图（）中共有长方形为：（4+3+2+1）（ 2+1） =10 3=30（个） . 图（）中，依据计算图（）中长方形个数的方法： 可得长方形个数为：（ 4+3+2+1）（ 3+2+1） =60（个） .令狐老师注 ：长方形的总数为：宽的线段条数长的线段条数五、数正方形1个长度单位的正方7. 如右图，数一数图中有多少个正方形（其中每个小方格都是边长为 形）.分析与解： 为叙述方便，我们规定最小正方形的边长为 1 个长度单位，又称为基本线段，
9、图中 共有五类正方形 . 以一条基本线段为边的正方形个数共有：6 5=30（个） . 以二条基本线段为边的正方形个数共有：5 4=20（个） . 以三条基本线段为边的正方形个数共有：4 3=12（个） . 以四条基本线段为边的正方形个数共有：3 2=6（个） . 以五条基本线段为边的正方形个数共有：2 1=2（个） .所以，正方形总数为：6 5+5 4+4 3+3 2+2 1=30+20+12+6+2=70（个） 巩固】下图中有多少个正方形？分析与解： 按照方向数。 正方形的个数：（1） 正方的： 11的有 8 个；22 的有 2个；2 2 2巩固】下面的（ 2） 斜放的：九宫格，有 12 2
10、2 3 14 个；解析】 在 5 5的图中， 边长为 1的正方形 52个；边长为 2的正方形 42个； 边长为 3 的正方形 32 个；边长为 4 的正方形 22 个；边长为 5 的正方形有12 ，总共有 52 42 32 22 12 55 （个）正方形 在6 4的图中边长为 1的正方形 6 4个；边 长为 2的正方形 5 3个； 边长为 3的正方形 4 2个；边长为 4 的正方形 3 1个； 总共有 6 4 5 3 4 2 3 1 42（ 个）六、数物体个数面我们轻松一下，来数数几个物体的个数8. 如右图所示是一个由小立方体构成的塔，请你数一数并计算出共有多少块。分析与解： 分层数，从顶层开
11、始数，各层小立方块数是：第一层： 1 块；第二层： 4 块；第三层： 9 块；第四层： 16 块； 总块数 1+4+9+16=30 （块）。巩固】请你数一数共有多少小立方体？分析与解： 分排数，从右往左数，并且编号第一排： 1 块；第二排： 7 块；第三排： 5 块；第四排： 9 块；第五排： 16 块；总数：1+7+5+9+16=38（块）。下面补充一道推理题】1. 用红、黄、蓝、白、黑、绿六种颜色分别涂在正方体的各个面上，每一个面只涂一种颜 色如图所示，现有涂色方式完全一样的四块小正方体拼成了一个长方体试回答：每个 小正方体中，红色面的对面涂的是什么色？黄色面的对面涂的是什么色？黑色面的对面是 什么色？解析】 在能看见的 9 个面中红色出现的次数最多观察图84 中最上面的一个正方体，由于红色和黑色、 黄色相邻， 所以它的对面不可能是黑黄两色 同理， 由第二个正 方体可知， 红色的对面不能是白色； 由第三个正方体知， 红色的对面不能是蓝色 所 以红色的面的对面只可能是绿色 同理，黄色面的对面不可能是红色、 黑色或白色， 又已推知不可能是绿色， 所以黄色面的对面只可能是蓝色 这样黑色面的对面就只 可能是涂白色的了解析】
