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1、二次函数二次函数求解析式【类型一：万能型】【1】已知二次函数的图像如图所示，求其函数解析式.解：利用两点式,设y=a（x+1）（x-3） 再把（0,3）带入，解得a=-1 所以y=-x2+2x+3【2】（2011武汉）抛物线经过点，两点.求抛物线的解析式； 解：把A,B两点带入，解二元一次方程组得，a=1，b=4， 所以y=x2+4x+3【3】（年 黄石）如图，已知抛物线与轴交于点，与轴交于点求抛物线的解析式及其顶点的坐标；解：利用两点式,设y=a（x+2）（x-4） 再把（0,8）带入，解得a=-1所以y=-x2+2x+8【类型二：顶点式】【4】已知二次函数在处有最大值1，且其图像经过，求此
2、二次函数的解析式. 解：利用顶点式，设y=a（x+3）2+1， 在把（2，-8）代入，解得a=-，所以y=-（x+3）2+1 （一般式：y=-x2-x5】已知二次函数的图像交轴于点,且函数有最大值，求此函数的解析式. 解：利用顶点式，先通过A,B两点求出对称轴x=1/2,设y=a（x-1/2）2+2， 在把（3，0）代入，解得a=-，所以y=-（x-1/2）2+2 （一般式：y=-x2+x+，本题也可以用两点式）【6】已知抛物线的对称轴为，经过点、，求函数解析式.解：利用顶点式，设y=a（x-1）2+k，代入A,B两点，解二元一次方程组得，a=，k=-，所以y=（x-1）2-【7】已知二次函数
3、的顶点坐标为，二次函数与轴的两交点为，且，求二次函数的解析式.解：利用顶点式，设y=a（x-1）2+4，然后利用对称轴x=1及求出两交点为（-1，0），（3,0），选择一点代入解得a=-1，所以y=-（x-1）2+4.（本题也可以用两点式）【8】已知二次函数图像的顶点的横坐标是,图像交轴于点和点，且，那么的长是（ C）（另一点横坐标为8-m，AB=m-（8-m）=2m-8.）A. B. C. D.【9】（2011广东中山）已知抛物线与轴有两个不同的交点抛物线与轴两交点的距离为，求的值解：本题运用韦达定理，设两根为x1，x2,x1+x2=-2, x1x2=2c,|x1-x2|=2,列方程整理后得
4、4-8c=4，c=0.（本题也可以直接用交点距离公式|x1-x2|=）【类型三：综合求解析式】【10】（ 2011重庆江津）已知双曲线与抛物线交于，三点，求双曲线与抛物线的解析式;解：先利用双曲线解析式求出k=6，m=3，n=-2， 在把三点分别代入抛物线解析式，成立一个三元一次方程组，解方程得 a=，b=，c=3，所以y=x2+x+3【11】（2011湖南湘潭市）直线交轴于点，交轴于点，过两点的抛物线交轴于另一点，求抛物线的解析式;解：先利用直线解析式求出A（-1,0），B（0,3），设抛物线为y=a（x+1）（x-3），代入C点，解得a=-1，所以y=-x2+2x+3【12】（2011四川
5、凉山州）抛物线与轴交于（，0）、（，0）两点，且，与轴交于点，其中是方程的两个根，求抛物线的解析式；解：解方程得x1=-2，x2=6，设抛物线为y=a（x+2）（x-6） 代入C点，解得a=1/3,所以y=x2-x-4【13】（2009年 天水）如下图，在平面直角坐标系中，二次函数的图象的顶点为点，与轴交于点，与轴交于两点，点在原点的左侧，点的坐标为，求这个二次函数的表达式解：由B点坐标和OB,OC,OA三条线段的关系得出 A（-1,0），C（0，-3） 设抛物线为y=a（x+1）（x-3），在代入C点，解得a=1，所以y=x2-2x-3【14】（2007武汉）如图，在平面直角坐标系中，且、，
6、抛物线经过点,求抛物线的解析式；解：由两三角形全等得出C（-3,1），再把C点代入，解得a=1/2,所以y= x2+x-2【15】（年 大连）如图，直线和抛物线都经过.（1）求的值和抛物线的解析式；（2）求不等式的解集.解:（1）在A,B中选择一点代入直线解析式，解得m=-1 把A,B两点代入抛物线，解二元一次方程组得 b=-3,c=2,所以y=x2-3x+2 （2）利用图像的性质可以解得x3.【16】（2011广东肇庆）已知抛物线（0）与轴交于、两点（1）求证：抛物线的对称轴在轴的左侧；（2）若（是坐标原点），求抛物线的解析式；解：（1）对称轴x=-1/2m0,所以 （2）设x1，x2为两点
7、的横坐标，一直x1x2=0,令x10，由0，得OAOB,又有（1）中的结论，可知OA=- x1，OB= x2，代入 通分，化简，然后利用韦达定理代入解得m=2 所以y=x2+2x-3【17】已知一次函数的图象与反比例函数的图象交于、两点，且=（1）求反比例函数的解析式；（2）若抛物线经过、两点，证明此抛物线与轴必有两个交点；（3）设中的抛物线与轴的两个交点分别为、（点在点的左侧），与轴交于点，连接、，若，求此抛物线的解析式（定义：在直角三角形中，的对边为，邻边为，则） 解：（1）先由两图像关于原点对称易知OM=ON=,设M为（x，2x），那么k=2x2，又由两点距离公式得x2+4x2=5，所以
8、k=2.即 （2）由（1）可求得两点为（1,2）（-1,-2），代入抛物线解析式得： 两式相减得b=2，代入上式，得c=-a 所以y=ax2+2x-a，=4+4a20,所以必有两交点. （3）由（2）知y=ax2+2x-a，且C（0，-a）设A（x1，0），B（x2，0），又x1x2=-1，则x10 即4+4a2=9，所以，所以或者【目标二：二次函数的平移】【18】将抛物线向上平移4个单位会得到哪条抛物线？向下平移2.5个单位呢？解：1、2、【19】（年 烟台）如图，抛物线：交轴于，两点，交轴于点将抛物线向右平移个单位后得到抛物线，交轴于，两点，求抛物线对应的函数表达式。（本题也可以利用化顶点
9、式平移求解析式）【20】将抛物线向上平移3个单位后得到的抛物线解析式，求、的值。解：平移后变为y=-3x2+3，所以a=-3，b=3【21】将抛物线向上平移2个单位，向左平移1个单位后得到抛物线，求原抛物线的表达式.（本题与B组作业第9题重复）解：用逆向平移，把得到的抛物线化为顶点式y=2（x+1）2-2后向右平移1个单位，再向下平移2个单位，得到原抛物线y=2x2-4【22】已知抛物线沿轴向下平移个单位后，又沿轴向右平移个单位，得到的抛物线解析式为.试求原抛物线的解析式. 解：y=4x2+16x+11=4（x+2）2-5向左平移2个单位，再向上平移3个单位，得原抛物线y=4（x+4）2-2y
10、=4x2+32x+62【目标三：二次函数的对称】【23】求二次函数关于轴，轴，原点对称后的解析式解：把原解析式中的所有的y用-y代替，所有x用-x代替，整理后得【24】求二次函数关于轴，轴，原点对称后的解析式解：把原解析式中的所有的y用-y代替，所有x用-x代替，整理后得【目标四：二次函数的比较大小】【25】若，B（），C（）为二次函数的图象上的三点，则的大小关系是（ B ）（利用点横坐标到对称轴的距离，距离越大，函数值越大，对称轴为x=-2）ABCD 【26】若，为二次函数的图象上的三点，则的大小关系是（ B ）（利用点横坐标到对称轴的距离，距离越大，函数值越大，对称轴为x=-2）ABCD 【27】已知点，均在抛物线上，下列说法中正确的是（ D ）A若，则B若，则C若，则D若，则【28】已知二次函数的图象过点，若点，也在二次函数的图象上，则下列结论正确的是（ B ）（首先根据A,B判断对称轴为x=2，然后根据B,C判断a0，然后利用点横坐标到对称轴的距离，距离越大，函数值越大.）ABCD
