人教版选修4-5--第二章柯西不等式与排序不等式及其应用--复习课.docx

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1、本章复习课1.认识柯西不等式的几种不同形式,理解它们的几何意义,会用二维、三维柯西不等式进行简单的证明与求最值.2.理解并掌握两个或三个正数的算术平均、几何平均数不等式并会应用它们求一些特定函数的最值.3.了解排序不等式及平均值不等式.知识结构知识梳理1.二维形式的柯西不等式(1)定理1(二维):设a1,a2,b1,b2均为实数,则(aa)(bb)(a1b1a2b2)2,上式等号成立a1b2a2b1.(2)(二维变式):|acbd|.(3)定理2(向量形式):设,为平面上的两个向量,则|,当及为非零向量时,上式中等号成立向量与共线(或平行)存在实数0,使得.(4)定理3(三角不等式):设a1,

2、a2,b1,b2为实数,则,等号成立存在非负实数及,使a1b1,a2b2.(5)三角变式:设a1,a2,b1,b2,c1,c2为实数,则,等号成立存在非负实数及使得(a1b1)(b1c1)且(a2b2)(b2c2).(6)三角向量式:设,为平面向量,则|.2.三维形式的柯西不等式:(aaa)(bbb)(a1b1a2b2a3b3)2.3.柯西不等式的一般形式:设a1,a2,an,b1,b2,b3,bn为实数,则(aaa)(bbb)|a1b1a2b2anbn|,其中等号成立.4.柯西不等式的一般形式的证明:参数配方法.5.排序不等式:设a1a2an,b1b2bn为两组实数,c1,c2,cn为b1,

3、b2,bn的任一排列,则有:a1bna2bn1anb1a1c1a2c2ancna1b1a2b2anbn等号成立(反序和等于顺序和)a1a2an或b1b2bn.排序原理可简记作:反序和乱序和顺序和.6.平均值不等式(1)定理1:设a1,a2,an为n个正数,则,等号成立a1a2an.(2)推论1:设a1,a2,an为n个正数,且a1a2an1,则a1a2ann,且等号成立a1a2an1.(3)推论2:设C为常数,且a1,a2,an为n个正数,当a1a2annC时,则a1a2anCn,且等号成立a1a2an.(4)定理2:设a1,a2,an为n个正数,则,等号成立a1a2an.典例剖析知识点1利用

4、柯西不等式证明不等式【例1】 设a,b,c,d为正数,且不全相等,求证:.证明构造两组数,与,则由柯西不等式得:(abbccdda)(1111)2.即2(abcd)16,于是,等号成立abbccddaabcd.因题设a,b,c,d不全相等,故.知识点2利用柯西不等式求最值【例2】 已知xyz1,求的最大值.解由柯西不等式,得(111)3.等号成立,即3x13y23z3设3x1k,则x,y,z.代入xyz1,得k3.x,y,z0时取等号.知识点3利用排序不等式证明不等式【例3】 设a,b,c为正数,求证:2.证明由对称性,不妨设abc0,于是abacbc,故a2b2c2,由排序不等式得:以上两式

5、相加得:2.知识点4平均值不等式的实际应用【例4】 在半径为R的球的所有外切圆锥中求全面积最小的一个.解设x为圆锥底面半径,S为它的全面积,则Sx2xACx2x(xCD)由RtCAERtCOD得.解得CD.于是Sx.因为S和同时取得最小值,所以考虑的最小值问题.x2R2(x2R2)2R222R24R2.于是S8R2,等号成立x2R2xR.所以圆锥的最小全面积为8R2.基础达标1.已知2x3y4z10,则x2y2取到最小值时的x,y,z的值为() A., B.,C.1, D.1,解析当且仅当时,x2y2z2取到最小值,所以联立可得x,y,z.答案B2.设x1,x2,xn,取不同的正整数,则m的最

6、小值是()A.1 B.2C.1 D.1解析x1,x2,xn是n个不同的正整数,所以1,2,3,n就是最小的一组,m1(前边是乱序和,后面是反序和).答案C3.一批救灾物资随26辆汽车从A市以v km/h匀速直达灾区,已知两地公路长400 km,为安全起见,两车间距不得小于 km,那么这批物资全部到灾区,至少需要_h.()A.5B.10C.15D.20解析依题意,所用时间为v10,当且仅当v80时取等号.答案B4.已知x2y3z1,则x2y2z2的最小值为_.解析(x2y2z2)(122232)(x2y3z)21.x2y2z2.当且仅当,即x,y,z时,x2y2z2取最小值.答案5.设a,b,c

7、R,且abc1,则的最大值是_.解析3(abc)(111)(abc)()2.所以.答案6.已知正数a,b,c满足abc1,证明:a3b3c3.证明利用柯西不等式(a)2(b)2(c)2abc(a3b3c3)(abc)2 (abc1)又因为a2b2c2abbcca,在此不等式两边同乘以2,再加上a2b2c2得:(abc)23(a2b2c2)(a2b2c2)2(a3b3c3)3(a2b2c2)故a3b3c3.综合提高7.已知3x22y21,则3x2y的取值范围是()A.0, B.,0C., D.5,5解析|3x2y|.所以3x2y.答案C8.已知x,y,zR,且1,则x的最小值是()A.5 B.6

8、C.8 D.9解析x9.答案D9.函数y2的最大值是_.解析y1.答案10.设x1,x2,xn取不同的正整数,则m的最小值是_.解析设a1,a2,an是x1,x2,xn的一个排列,且满足a1a2,所以a11123n1.答案111.求椭圆1 (ab0)的内接矩形的最大面积,并求此时矩形的边长.解方法一:设第一象限顶点坐标(x,y).S与S2同时取得最大值.又y2(a2x2),S216x2y216x2(a2x2)x2(a2x2)4a2b2.Smax2ab.此时有x2a2x2,即xa时,内接矩形面积最大,此时,矩形的边长分别为a,b.方法二:S4xy4ab4ab2ab.等号当且仅当,即,即xa,yb

9、时成立.当矩形的边长分别为a,b时,内接矩形面积最大为S2ab.12.某自来水厂要制作容积为500 m3的无盖长方体水箱,现有三种不同规格的长方形金属制箱材料(单位:m):1919;3010;2512.请你选择其中的一种规格材料,并设计出相应的制作方案.要求:用料最省;简便易行.解设无盖长方体水箱的长、宽、高分别为a m,b m,c m.由题意,可得abc500.长方体水箱的表面积为S2bc2acab.由均值不等式,知S2bc2acab33300.当且仅当2bc2caab,即ab10,c5时,S2bc2caab300为最小,这表明将无盖长方体水箱的尺寸设计为10105时,其用料最省.如何选择材料并设计制作方案?就要研究三种供选择的材料,哪一种更易制作成无盖长方体水箱的平面展开图.逆向思维:先将无盖长方体水箱展开成平面图如图(1)所示,进一步剪拼成如图(2)所示的长30 m,宽10 m(长宽31)的长方形.因此,应选择规格为3010的制作材料,制作方案如图(3).

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