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1、一傅里叶变换在应用上的局限性 在第三章中，已经介绍了一个时间函数满足狄里赫利条件并且绝对可积时，即存在一对傅里叶变换。即 (正变换) (5.1) (反变换) (5.2)但工程实际中常有一些信号并不满足绝对可积的条件，例如阶跃信号，斜变信号，单边正弦信号等，从而对这些信号就难以从傅里叶变换式求得它们的傅里叶变换。还有一些信号，例如单边增长的指数信号等，则根本就不存在傅里叶变换。另外，在求傅里叶反变换时，需要求从到区间的广义积分。求这个积分往往是十分困难的，甚至是不可能的，有时则需要引入一些特殊函数。利用傅里叶变换法只能求系统的零状态响应，而不能求系统的零输入响应。在需要求零输入响应时，还得利用别
2、的方法，例如时域经典法。由于上述几个原因，从而使傅里叶变换在工程应用上受到了一定的限制。所以，当今在研究线性系统问题时，拉普拉斯变换仍是主要工具之一。实际上，信号总是在某一确定的时刻接入系统的。若把信号接入系统的时刻作为的时刻(称为起始时刻)，那么，在t0的时间即有=0。我们把具有起始时刻的信号称为因果信号。这样，式(5-1)即可改写为 (5-3)式(5-3)中的积分下限取为，是考虑到在的时刻中有可能包含有冲激函数。但要注意，式(5-2)中积分的上下限仍然不变(因积分变量是)，不过此时要在公式后面标以t0，意即只有在t0时才有定义，即 t0 (5-4a)或用单位阶跃函数加以限制而写成下式，即
3、(5-4b)二、从傅里叶变换到拉普拉斯变换当函数不满足绝对可积条件时，可采取给乘以因子（为任意实常数)的办法，这样即得到一个新的时间函数。今若能根据函数的具体性质，恰当地选取的值，从而使当时，函数，即满足条件 则函数即满足绝对可积条件了，因而它的傅里叶变换一定存在。可见因子起着使函数收敛的作用，故称为收敛因子。设函数满足狄里赫利条件且绝对可积(这可通过恰当地选取的值来达到)，则根据式(5-3)有 在上式中，是以的形式出现的。令，为一复数变量，称为复频率。的单位为，的单位为。这样，上式即变为 由于上式中的积分变量为t，故积分结果必为复变量s的函数，故应将改写为，即 (5-5)复变量函数称为时间函
4、数的单边拉普拉斯变换。称为的像函数，称为的原函数。一般记为 符号为一算子，表示对括号的时间函数进行拉普拉斯变换。利用式(5-4)可推导出求反变换的公式，即 对上式等号两边同乘以，并考虑到不是的函数而可置于积分号。于是得 (5-6)由于式(5-6)中被积函数是，而积分变量却是实变量。所以欲进行积分，必须进行变量代换。因 故(因为任意实常数)故 且当时，；当时，。将以上这些关系代入式(5-6)即得 (5-7a)写成 (5-7b)式(5-7b)称为拉普拉斯反变换，可从已知的像函数求与之对应的原函数。一般记为符号也为一算子，表示对括号的像函数进行拉普拉斯反变换。式(5-5)与式(5-7)构成了拉普拉斯
5、变换对，一般记为 或 若不是因果信号，则拉普拉斯变换式(5-5)的积分下限应改写为()，即 (5-8)式(5-8)称为双边拉普拉斯变换。因为一般常用信号均为因果信号(即有始信号)，故本书主要讨论和应用单边拉普拉斯变换。以后提到拉普拉斯变换，均指单边拉普拉斯变换而言。 由以上所述可见，傅里叶变换是建立了信号的时域与频域之间的关系，即而拉普拉斯变换则是建立了信号的时域与复频域之间的关系，即.三、复频率平面 以复频率的实部和虚部为相互垂直的坐标轴而构成的平面，称为复频率平面，简称s平面，如图5-1所示。复频率平面(即s平面)上有三个区域：轴以左的区域为左半开平面；轴以右的区域为右半开平面；轴本身也是
6、一个区域，它是左半开平面与右半开平面的分界轴。将s平面划分为这样三个区域，对以后研究问题将有很大方便。四、拉普拉斯变换存在的条件与收敛域上面已经指出，当函数乘以收敛因子后，所得新的时间函数便有可能满足绝对可积条件。但是否一定满足，则还要视的性质与值的相对关系而定。下面就来说明这个问题。因 由此式可见，欲使存在，则必须使满足条件 图 5-2式(5-9)中的值指出了函数的收敛条件。的值由函数的性质确定。根据的值，可将s平面(复频率平面)分为两个区域，如图5-2所示。通过点的垂直于轴的直线是两个区域的分界线，称为收敛轴，称为收敛坐标。收敛轴以右的区域(不包括收敛轴在)即为收敛域，收敛轴以左的区域(包
7、括收敛轴在)则为非收敛域。可见或的收敛域就是在s平面上能使式(5-9)满足的的取值围，意即只有在收敛域取值，的拉普拉斯变换才能存在，且一定存在。五、拉普拉斯变换的基本性质由于拉普拉斯变换是傅里叶变换在复频域(即s域)中的推广，因而也具有与傅里叶变换的性质相应的一些性质。这些性质揭示了信号的时域特性与复频域特性之间的关系，利用这些性质可使求取拉普拉斯正、反变换来得简便。关于拉普拉斯变换的基本性质在表5-1中列出。对于这些性质，由于读者在工程数学课中已学习过了，所以不再进行证明，读者可复习有关的工程数学书籍。 表5-1 拉普拉斯变换的基本性质 序号性质名称1唯一性2齐次性3叠加性4线 性5尺度性，
8、6时移性，7时域微分8复频微积分9复频移性10时域积分11复频域积分12时域卷积13复频域卷积14初值定理15终值定理16调制定理 利用式(5-5)和拉普拉斯变换的性质，可以求出和导出一些常用时间常数的拉普拉斯变换式，如表5-2中所列。利用此表可以方便地查出待求的像函数或原函数 表5-2 拉普拉斯变换表序号11234567891011121314151617181920,七、拉普拉斯反变换从已知的像函数求与之对应的原函数，称为拉普拉斯反变换。通常有两种方法。1部分分式法由于工程实际中系统响应的像函数通常都是复变量s的两个有理多项式之比，亦即是s的一个有理分式，即 (5-10)式中，, , ,
9、和, , , 等均为实系数； m和n均为正整数。故可将像函数展开成部分分式，再辅以查拉普拉斯变换表即可求得对应的原函数。欲将展开成部分分式，首先应将式(5-10)化成真分式。即当时，应先用除法将表示成一个s的多项式与一个余式 之和，即，这样余式已为一真分式。对应于多项式各项的时间函数是冲激函数的各阶导数与冲激函数本身。所以，在下面的分析中，均按已是真分式的情况讨论。分两种情况研究：(1) 分母多项式的根为n个单根。由于时即有，故称的根(i=1,2,n)为F(s)的极点。此时可将D(s)进行因式分解，而将式(5-10)写成如下的形式，并展开成部分分式。即 (5-11)式中，(i=1,2,n)为待
10、定常数。可见，只要将待定常数求出，则的原函数即可通过查表5-2中序号6的公式而求得为 待定常数按下式求得，即 (5-12)现对式(5-12)推导如下：给式(5-11)等号两端同乘以，即有 由于此式为恒等式，故可取代入之，并考虑到，故得： 于是得 证毕。*2留数法 (Residue Method)根据式(5-7)知，拉普拉斯反变换式为 这是一个复变函数的线积分，其积分路径是s平面平行于轴的的直线AB(亦即直线AB必须在收敛轴以右)，如图5-4所示。直接求这个积分是很困难的，但从复变函数论知，可将求此线积分的问题，转化为求的全部极点在一个闭合回线部的全部留数的代数和。这种方法称为留数法，也称围线积
11、分法。闭合回线确定的原则是：必须把的全部极点都包围在此闭合回线的部。因此，从普遍性考虑，此闭合回线应是由直线AB与直线AB左侧半径的圆所组成，如图54所示。这样，求拉普拉斯反变换的运算，就转化为求被积函数在的全部极点上留数的代数和，即式中 为的极点，亦即的根；为极点的留数。以下分两种情况介绍留数的具体求法。(1) 若为的单根即为的一阶极点，则其留数为 (5-23)(2) 若为的m阶重根即为的m阶极点，则其留数为 (5-24)将式(5-23)，式(5-24)分别与式(5-12)，式(5-19)相比较，可看出部分分式的系数与留数的差别，部分分式法与留数法的差别。它们在形式上有差别，但在本质上是一致的。与部分分式相比，留数法的优点是：不仅能处理有理函数，也能处理无理函数；若有重阶极点，此时用留数法求拉普拉斯反变换要略为简便些(见例5-10)。 图5-4
