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1、函数中的恒成立问题的解题策略 作者： 日期：函数中的恒成立问题的解题策略函数是整个高中知识体系的核心之一，而函数中的绝大多数问题最终归结为函数性质、函数思想在具体解题过程中的应用。恒成立问题，涉及到一次函数、二次函数等函数的性质、图象,渗透着换元、化归、数形结合、函数与方程等思想方法，有利于考查学生的综合解题能力，在培养思维的灵活性、创造性等方面起到了积极的作用。因此也成为历年高考的一个热点。恒成立问题在解题过程中大致可分为以下几种类型：一次函数型；二次函数型；变量分离型；根据函数的奇偶性、周期性等性质；直接根据函数的图象。现在我们一起来探讨其中一些典型的问题。一、一次函数型给定一次函数y=f
2、(x)=ax+b(a0),若y=f(x)在m,n内恒有f(x)0，则根据函数的图象（直线）可得上述结论等价于）或）亦可合并定成同理，若在m,n内恒有f(x)2a+x恒成立的x的取值范围。分析：在不等式中出现了两个字母：x及a,关键在于该把哪个字母看成是一个变量，另一个作为常数。显然可将a视作自变量，则上述问题即可转化为在-2，2内关于a的一次函数大于0恒成立的问题。解：原不等式转化为(x-1)a+x2-2x+10,设f(a)= (x-1)a+x2-2x+1,则f(a)在-2,2上恒大于0，故有：即解得：x3.引申：在不等式中出现3个字母：、已知函数是定义在上的奇函数，且，若，有，（1）证明在上
3、的单调性；（2）若对所有恒成立，求的取值范围。分析：第一问是利用定义来证明函数的单调性，第二问中出现了3个字母，最终求的是的范围，所以根据上式将当作变量，作为常量，而则根据函数的单调性求出的最大值即可。（1） 简证：任取且，则 又是奇函数 在上单调递增。（2） 解：对所有，恒成立，即， 即在上恒成立。 。二、 二次函数若二次函数y=ax2+bx+c (a0)大于0恒成立，则有若是二次函数在指定区间上的恒成立问题，还可以利用韦达定理以及根与系数的分布知识求解。例2.若函数在R上恒成立，求m的取值范围。分析：该题就转化为被开方数在R上恒成立问题，并且注意对二次项系数的讨论。略解：要使在R上恒成立，
4、即在R上恒成立。 时， 成立 时，由，可知，例3.已知函数，在R上恒成立，求的取值范围。分析：的函数图像都在X轴上方，即与X轴没有交点。略解：变式1：若时，恒成立，求的取值范围。解：，令在上的最小值为。当，即时， 又 不存在。当，即时， 又 当，即时， 又 总上所述，。变式2：若时，恒成立，求的取值范围。解法一：分析：题目中要证明在上恒成立，若把移到等号的左边，则把原题转化成左边二次函数在区间时恒大于等于0的问题。 略解：，即在上成立。 22综上所述，。解法二：（利用根的分布情况知识）当，即时， 不存在。当，即时，当，即时， 综上所述。此题属于含参数二次函数，求最值时，轴变区间定的情形，还有与
5、其相反的，轴动区间定。此类题目中的还可以换成：如三角函数、指数函数、对数函数，还可以是一元二次不等式，一元二次函数等。变式3：若对任意的实数，恒成立，求的取值范围。分析：这是有关三角函数的二次问题，运用到三角函数的有界性。解法一：原不等式化为令，则，即在上恒大于0。若，要使，即， 不存在若，若使，即 若，要使，即，由，可知，。解法二：，在上恒成立。由，可知，。引申：已知奇函数定义在R上，且在上是增函数，是否存在实数m使，对所有都成立？若存在，求出符合条件的所有实数m的范围；若不存在，说明理由。例3.已知函数，常数，求（1）函数的定义域；（2）当满足什么条件时在区间上恒取正。解：（1） 又 定义域（2） 在上单调递增 在上单调递增，要使在上恒正，只须，即且。
