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1、函数的奇偶性一、 函数奇偶性的根本概念1 偶函数：一般地，如果对于函数的定义域任意一个，都有，那么函数就叫做偶函数。2. 奇函数：一般地，如果对于函数的定义域任一个，都有，那么函数就叫做奇函数。 注意：1判断函数的奇偶性，首先看定义域是否关于原点对称，不关于原点对称是非奇非偶函数，假设函数的定义域是关于原点对称的，再判断 之一是否成立。2在判断与的关系时，只需验证及=是否成立即可来确定函数的奇偶性。题型一 判断以下函数的奇偶性。，2 3(4) (5) (6) (7) ，(8)提示：上述函数是用函数奇偶性的定义和一些性质来判断1判断上述函数的奇偶性的方法就是用定义。2常见的奇函数有：，3常见的奇
2、函数有：，4假设、都是偶函数,那么在与的公共定义域上，+为偶函数，为偶函数。当时，为偶函数。5假设，都是奇函数，那么在与的公共定义域上，+是奇函数，是奇函数，是偶函数，当0时，是偶函数。 6常函数是偶函数，0既是偶函数又是奇函数。7在公共定义域偶函数的和、差、积、商(分母不为零)仍为偶函数;奇函数和、差仍为奇函数;奇(偶)数个奇函数积、商(分母不为零)为奇(偶)函数;一个奇函数与一个偶函数的积为奇函数.8对于复合函数；假设为偶函数,为奇偶函数，那么都为偶函数；假设为奇函数，为奇函数,那么为奇函数;假设为奇函数，为偶函数,那么为偶函数. 题型二 三次函数奇偶性的判断函数，证明：1当时，是偶函数2
3、当时，是奇函数提示：通过定义来确定三次函数奇偶性中的常见题型，如，当，是偶函数；当，是奇函数。题型三 利用函数奇偶性的定义来确定函数中的参数值1函数是偶函数，定义域为，那么2设是定义在上的偶函数，那么的值域是3 是奇函数，那么的值为 14是偶函数，那么的值为 1提示：1上述题型的思路是用函数奇偶性的定义，。（2） 因为是填空题，所以还可以用。（3） 还可以用奇偶性的性质，如奇函数乘以奇函数是偶函数，奇函数乘以偶函数是奇函数等。题型四 利用函数奇偶性的对称1以下函数中为偶函数的是 B ABCD2以下函数中，既不是奇函数，也不是偶函数的是AA BCD3以下函数中，为偶函数的是 C A B C D4
4、函数的图像关于 C A轴对称 B 直线对称 C 坐标原点对称 D 直线对称5函数是上的奇函数，且，那么=-46函数是上的偶函数，那么，那么=-3提示：1上述题型的思路是用函数奇偶性的定义，。(2) 奇函数关于原点对称，偶函数的图像关于轴对称。(3) 在原点有定义的奇函数必有。（4） 函数是上的奇函数，那么关于点对称。(5)是偶函数，那么关于直线对称。题型五 奇偶函数中的分段问题1设为定义在上的奇函数，当时，为常数，那么-3 2是奇函数，且当时，求时，的表达式。3函数是定义在上的奇函数，当时，那么=-454是偶函数，当时，求5设偶函数满足，那么=提示：1奇函数，当，那么当时，。2偶函数，当，那么
5、当时，。类型六 奇函数的特殊和性质1函数，求的和为42，且，那么=03，=_-26_4函数，假设，那么()提示：满足，其中是奇函数，那么有。题型七 函数奇偶性的结合性质1设、是上的函数，且是奇函数，是偶函数，那么结论正确的选项是.是偶函数 .|是奇函数.|是奇函数 .|是奇函数2设函数和分别是上的偶函数和奇函数，那么以下结论恒成立的是 A是偶函 B是奇函数C|是偶函数 D|是奇函数3设函数与的定义域是且,是偶函数,是奇函数,且,求和的解析式, ，。提示：1是奇函数，那么是偶函数。2是上的函数，且也是上的偶函数和也是上的奇函数，满足，那么有，。题型八 函数的奇偶性与单调性1以下函数中，既是偶函数
6、又在区间上单调递减的是 A B C D2以下函数中，既是偶函数，又在区间1,2是增函数的为A，xR B，xR且x0C，xR D，xR3设，那么 B A既是奇函数又是减函数B既是奇函数又是增函数C有零点的减函数D没有零点的奇函数4设奇函数在上为增函数，且，那么不等式的解集为 5偶函数在单调递减，假设，那么的取值围是.6偶函数在区间单调增加，那么满足的取值围是提示：1是奇函数，且在上是增减函数，那么在上也是增减函数。（2） 是偶函数，且在上是增减函数，那么在上也是减增函数。（3） 是偶函数，必有。题型九 函数的奇偶性的综合问题1函数,当时，恒，且，又1求证：是奇函数；2求证：在R上是减函数；3求在
7、区间上的最值。最大值1，最小值-3。2设，且有，求的取值围。练习题一、判断以下函数的奇偶性1 2 3 4 556(7) (8)9，(10)，(11)，(12) (13) ，(14)，(15)，(16),(17)二、利用函数的奇偶性求参数的值1假设函数是偶函数，求的值。02假设函数是奇函数，求的值。43函数是奇函数，定义域为，那么的值是 9 4假设是奇函数，那么5假设函数为偶函数，那么实数_0_.6设函数是偶函数，那么实数_-1_7假设函数是奇函数，那么a= .8假设为奇函数,那么实数_-2_.9假设函数为偶函数，那么 1 10假设是偶函数，那么_.三、 函数奇偶性定义的应用1函数y=的图像AA
8、关于原点对称 B关于直线对称C关于轴对称D关于直线对称2函数，那么 B A. B.为偶函数 C. D.不是偶函数3假设是偶函数，那么为常数 ( A ) A.是偶函数 B.不是偶函数 C.是常数函数 D.无法确定是不是偶函数4函数=那么为 B A.偶函数 B.奇函数 C.既是奇函数又是偶函数 D.既不是奇函数又不是偶函数5为奇函数，那么为 A A奇函数 B.偶函数 C.既不是奇函数又不是偶函数 D.既是奇函数又是偶函数6点是偶函数图像上一点，那么等B A.-3 B.3 C.1 D.-17假设点在奇函数的图象上，那么等于DA.0 B.-1 C.3 D.-38是奇函数,且.假设,那么_-1_ .9设
9、是定义在上的一个函数，那么函数，在上一定是 A A奇函数 B偶函数 C既是奇函数又是偶函数 D非奇非偶函数10设是上的奇函数，且的图象关于直线对称，那么011偶函数的图像关于直线对称，那么_3_.12设函数对于任意都有，求证：是奇函数。13，函数为奇函数，那么 -1 ， -7 14奇函数的，且方程仅有三个根，那么的值 015 设函数是上为奇函数，且，在的值16偶函数，求的个数717 偶函数，求的个数9四、 函数奇偶性的性质1是偶函数，且，那么的值为12，那么的值43其中为常数，假设，那么的值等于( -10 )4，那么的值 -45，那么的值 -46，那么的值 67函数，那么 8函数9函数，那么1
10、0设函数的最大值为，最小值为，那么=_2_11函数是定义在上的奇函数，当时，那么11在上的奇函数和偶函数满足(0,且).假设，那么=12假设函数分别是上的奇函数、偶函数，且满足，那么有 D AB C D13假设函数为上的偶函数，且当时，那么 3 14函数是定义在实数集R上的不恒为零的偶函数，且对任意实数都有，那么的值是0 15函数是定义在实数集R上的不恒为零的偶函数，且对任意实数都有，那么的值是0 16假设函数在上是奇函数,那么的解析式为_.17设是上的奇函数，且当时，那么当时_18定义在上的奇函数，当时，那么时，.19函数在区间上的最大值为，最小值为，那么 4 20奇函数的定义域为，假设为偶
11、函数，且，那么 1 21设定义在上的奇函数，满足，那么的值022函数是上的偶函数，当，都有，且当时，那么有的值 1五、函数奇偶性和单调性的应用1函数是偶函数，那么的递减区间是2设奇函数在上为增函数，且，那么不等式的解集为 3函数，那么A是偶函数，且在R上是增函数B是奇函数，且在R上是增函数C是偶函数，且在R上是减函数D是奇函数，且在R上是减函数4奇函数在上是增函数.假设，那么的大小关系为5是定义在R上的偶函数，且.假设当 时，那么 .6偶函数在单调递减，假设，那么的取值围是.7偶函数在区间单调增加，那么满足的取值围是8假设偶函数在上是增函数，那么以下关系式中成立的是 D A BC D9设偶函数
12、满足，那么10函数是定义在上的奇函数，且在区间上单调递减，假设，那么的取值围是_11是定义在上的偶函数，且在区间上单调递增，假设实数满足，那么的取值围是 12定义在上的函数为实数为偶函数，记，那么的大小关系为13是定义在上的偶函数，在上是减函数，且，那么使得的的取值围是14函数是偶函数，在上单调递减，那么的单调递增区间是15 函数是偶函数，在上单调递减，那么的单调递减区间为16都是奇函数，如果的解集是，的解集为，那么的解集为17 函数是上的偶函数，且在上是增函数，令，那么的大小，18函数是上的奇函数，假设当时，那么满足的解集，19设是奇函数，且在是增函数，又，那么的解集是 20设是定义在上的偶
13、函数，且当时，.假设对任意的，不等式恒成立，那么实数的取值围是21函数是R上的偶函数，且在上单调递增，那么以下各式成立的是 BABCD22 R上的偶函数满足：对任意的，有.那么A.A(B)(C) (D)23设函数，那么是 A A奇函数，且在上是增函数 B奇函数，且在上是减函数C偶函数，且在上是增函数 D偶函数，且在上是减函数24函数，那么A在0,2单调递增B在0,2单调递减Cy=的图像关于直线x=1对称Dy=的图像关于点1,0对称25函数在单调递减，且为奇函数假设，那么满足的的取值围是26函数是奇函数，且当时是增函数，假设，求不等式的解集。 27是奇函数并且是上的单调函数，假设函数只有一个零点
14、，那么函数的最小值是5 28定义在上的奇函数，满足,且在区间上是增函数,假设方程在区间上有四个不同的根,那么-829 函数，求的解集 30上的奇函数，求的解集为六、函数奇偶性综合应用1函数是定义在上的奇函数，当时，。假设,那么实数的取值围为2函数是偶函数，且在上单调递增求的值，并确定的解析式；，求的定义域和值域答案：，；3函数的定义域为，且同时满足以下条件：1是奇函数；2在定义域上单调递减；3求的取值围。4函数的定义域为，且对任意，都有，且当时，恒成立，证明：1函数是上的减函数；2函数是奇函数。5定义在上的奇函数满足(1)求的值；0 (2)求证：函数的图像关于直线对称；(3)假设在区间0,2上
15、是增函数，试比较的大小6函数是奇函数，是偶函数.1求的值；2设，假设对任意恒成立 ，数的取值围.7函数.1求函数的定义域； 2判断函数的奇偶性；3当时，求函数的值域.8函数是定义域为的奇函数.1求，的值；,2假设对任意，不等式恒成立，数的取值围.9定义域为的函数是奇函数1数的值；2判断在上的单调性并证明；3假设对任意恒成立，求的取值围10函数的图像关于原点对称1求的值；2假设函数在区间上为减函数，数的取值围11定义在上的函数是奇函数求的值；假设对任意的，不等式恒成立，数的取值围12设为实数，函数，1讨论的奇偶性； 2求的最小值。13 函数是奇函数，且在上是增函数，（1） 求的值；2当时，讨论函数的单调性。14函数的定义域为，假设与都是奇函数，那么( D )(A) 是偶函数 (B) 是奇函数 (C) (D)是奇函数
