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1、3I卜卫，则图中阴影部分的面积为（=n C.3)EC.6.（ 2015?黄冈中学自主招生）圆经典重难点真题一选择题（共10小题）1. （ 2015?安顺）如右图， O O的直径AB垂直于弦 CD，垂足为 E，/ A=22.5 OC=4 , CD 的长为（）A . 2 二 B . 4 C. 4 D. 82. （ 2015?酒泉） ABC为O O的内接三角形，若/ AOC=160 贝U / ABC 的度数是（）A . 80 B. 160 C. 100 D. 80或 1003. （2015?兰州）如右图，已知经过原点的 OP与x、y轴分别交于A、B两点，点 C是劣弧OB上一点，贝U / ACB=（）
2、A . 80 B. 90 C. 100 D .无法确定4 .（ 2015?包头）如右图，在 ABC 中，AB=5 , AC=3 , BC=4 ,将厶ABC绕点A逆时针旋转30 后得到 ADE，点B经过的路径为-n D.45. （ 2015?黄冈中学自主招生）经过点C （0, 5）和点O （ 0, 上一点，贝U / OBC的正弦值为点 D，若 AD=4 , DB=5，则A . 3 7 B . 8 C.丿琴 D . 21 口7. （2015?齐齐哈尔）如图，两个同心圆，大圆的半径为 5, 小圆的半径为3，若大圆的弦AB与小圆有公共点，则弦 AB 的取值范围是（）A . 8B 10 B . 8 V
3、AB 10C . 4AB 9=63 ；故 BC=3 .故选A .【点评】此题考查的是折叠的性质、圆周角定理、以及射影定理；能够根据圆周角定理来判 断出 ACD是等腰三角形，是解答此题的关键.7. （ 2015?齐齐哈尔）如图，两个同心圆，大圆的半径为5，小圆的半径为3,若大圆的弦AB与小圆有公共点，则弦 AB的取值范围是（）A . 8B 10 B . 8 V AB 10C . 4AB 5 D . 4 V AB 老【考点】 直线与圆的位置关系；勾股定理；垂径定理.【分析】此题可以首先计算出当 AB与小圆相切的时候的弦长连接过切点的半径和大圆的 一条半径，根据勾股定理和垂径定理，得AB=8 .若大
4、圆的弦AB与小圆有公共点，即相切或相交，此时 AB为；又因为大圆最长的弦是直径10，贝U 8B 0 .【解答】解：当AB与小圆相切，大圆半径为5，小圆的半径为3, AB=2 一 ：t=8.大圆的弦AB与小圆有公共点，即相切或相交， 8AB 2=6,因此弦AB的长是6.【点评】 解答此题不仅要用到垂径定理，还要作出辅助线AO,这是解题的关键.三解答题(共5小题)16. ( 2015?永州)如图，已知 ABC内接于 OO,且AB=AC，直径 AD交BC于点E, F 是OE上的一点，使 CF/ BD .(1) 求证：BE=CE ;(2) 试判断四边形 BFCD的形状，并说明理由；(3 )若 BC=8
5、, AD=10，求 CD 的长.【考点】 垂径定理；勾股定理；菱形的判定.【分析】(1)证明 ABD ACD，得到/ BAD= / CAD，根据等腰三角形的性质即可证明；(2) 菱形，证明 BFECDE，得到BF=DC，可知四边形 BFCD是平行四边形，易证 BD=CD，可证明结论；(3) 设DE=x，则根据CE2=DE?AE列方程求出DE,再用勾股定理求出 CD .【解答】(1)证明：T AD是直径， / ABD= / ACD=90 在 Rt ABD 和 Rt ACD 中，fAB=ACI AD 二 AD Rt ABD 也 Rt ACD , / BAD= / CAD ,/ AB=AC , BE
6、=CE ；(2)四边形BFCD是菱形.证明：/ AD是直径，AB=AC , AD 丄BC, BE=CE,/ CF / BD , / FCE= / DBE ,在厶BED和厶CEF中ZFCE=ZDBEBE=CE, BED CEF, CF=BD ,四边形BFCD是平行四边形，/ / BAD= / CAD ,BD=CD ,四边形BFCD是菱形；(3) 解：/ AD 是直径，AD 丄BC , BE=CE ,2 CE =DE?AE ,设 DE=x ,/ BC=8 , AD=10 ,2 4 =x (10 - x),解得：x=2或x=8 (舍去)在 Rt CED 中，CD= ： r - | - 一= J =2
7、 .；【点评】 本题主要考查了圆的有关性质：垂径定理、圆周角定理，三角形全等的判定与性 质，菱形的判定与性质，勾股定理，三角形相似的判定与性质，熟悉圆的有关性质是解决 问题的关键.17. ( 2015?安徽)在O O中，直径 AB=6 , BC是弦，/ ABC=30 点P在BC上，点Q在 O O上，且OP丄PQ.(1) 如图1,当PQ/ AB时，求PQ的长度；(2) 如图2,当点P在BC上移动时，求PQ长的最大值.【考点】圆周角定理；勾股定理；解直角三角形.【专题】计算题.【分析】(1)连结OQ,如图1,由PQ / AB , OP丄PQ得到OP丄AB，在Rt OBP中，利 用正切定义可计算出
8、OP=3tan30；，然后在Rt OPQ中利用勾股定理可计算出PQ= ；(2)连结OQ，如图2,在Rt OPQ中，根据勾股定理得到 PQ=| -,则当OP的长最小时，PQ的长最大，根据垂线段最短得到 OP丄BC,则OP千OB=W，所以PQ长的最大 值=：:;.2【解答】解：(1)连结OQ,如图1,/ PQ / AB , OP丄 PQ, OP 丄 AB ,在 Rt OBP 中，/ tan/ B=, OP=3ta n30 ；,在 Rt OPQ 中，/ OP=_ ；, OQ=3 , PQ=&Q龙 _0p2=V；(2)连结OQ，如图2,在 Rt OPQ 中，PQ= i.二 I ： = - ! H -,
9、当OP的长最小时，PQ的长最大, 此时OP丄BC,贝U OP二丄OB二上, PQ长的最大值为. 二；.【点评】本题考查了圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于 这条弧所对的圆心角的一半.也考查了勾股定理和解直角三角形.18. ( 2015?滨州)如图， O O的直径AB的长为10,弦AC的长为5, / ACB的平分线交 O O于点D .(1) 求匸詁勺长.(2) 求弦BD的长.【考点】圆周角定理；含30度角的直角三角形；等腰直角三角形；弧长的计算.【分析】(1)首先根据AB是O O的直径，可得/ ACB= / ADB=90 然后在Rt ABC中，求出/ BAC的度数，即
10、可求出 / BOC的度数；最后根据弧长公式，求出I 的长即可.(2)首先根据CD平分/ ACB，可得/ ACD= / BCD ;然后根据圆周角定理，可得/ AOD= / BOD，所以 AD=BD , / ABD= / BAD=45 最后在 Rt ABD 中，求出弦 BD 的 长是多少即可.【解答】解：(1)如图，连接OC, OD,/ AB是O O的直径， / ACB= / ADB=90 在 Rt ABC 中， / BAC=60 / BOC=2 / BAC=2 60 120 (2) / CD 平分/ ACB , / ACD= / BCD , / AOD= / BOD , AD=BD , / AB
11、D= / BAD=45 在 Rt ABD 中，BD=AB Sin45【点评】（1）此题主要考查了圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相 等，都等于这条弧所对的圆心角的一半，要熟练掌握.（2）此题还考查了含30度角的直角三角形，以及等腰直角三角形的性质和应用，要熟练掌 握.弧长公式:（3）此题还考查了弧长的求法，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确:匸. （弧长为I，圆心角度数为n,圆的半径为R）.在弧长的计算公式中，n是表示1801 勺圆心角的倍数，n和180都不要带单位.19. （2015?丹东）如图，AB是OO的直径，丨匸I I,连接ED、BD，延长AE交BD的延长线于点M，过
12、点D作O O的切线交AB的延长线于点C .（1 ）若OA=CD=2 .：,求阴影部分的面积；（2）求证：DE=DM .【考点】切线的性质；扇形面积的计算.【专题】证明题.【分析】（1）连接OD，根据已知和切线的性质证明 OCD为等腰直角三角形，得到/ DOC=45 根据S阴影=Saocd S扇OBD计算即可；（2）连接AD，根据弦、弧之间的关系证明DB=DE，证明 AMD ABD，得到DM=BD，得到答案.【解答】（1）解：如图，连接OD ,CD是O O切线，OD 丄 CD , OA=CD=2 . ：, OA=OD , OD=CD=2 OCD为等腰直角三角形， / DOC= / C=45 .s
13、 阴影=SOCD S 扇 OBD=（2）证明：如图，连接 AD ,/ AB是O O直径， / ADB= / ADM=90 又=二 ED=BD , / MAD= / BAD ,在厶AMD和厶ABD中，ZADM=ZADBAD 二 AD,Zkad=Zbad AMD ABD , DM=BD , DE=DM .【点评】本题考查的是切线的性质、弦、弧之间的关系、扇形面积的计算，掌握切线的性质 定理和扇形的面积公式是解题的关键，注意辅助线的作法.20. ( 2014?湖州)已知在以点 O为圆心的两个同心圆中，大圆的弦AB交小圆于点C, D(如图).(1) 求证：AC=BD ;(2) 若大圆的半径 R=10，
14、小圆的半径r=8，且圆O到直线AB的距离为6，求AC的长. 【考点】 垂径定理；勾股定理.【专题】几何综合题.【分析】(1)过O作OE丄AB，根据垂径定理得到 AE=BE , CE=DE，从而得到 AC=BD ;(2)由(1)可知，OE丄AB且OE丄CD，连接OC, OA，再根据勾股定理求出 CE及AE 的长，根据AC=AE - CE即可得出结论.【解答】(1)证明：过 O作OE丄AB于点E,贝U CE=DE, AE=BE, BE - DE=AE - CE,即卩 AC=BD ;(2)解：由(1)可知，OE丄AB且OE丄CD，连接OC , OA, OE=6 , CE=Joc2 _ OeJ* _ 护=2佰,AE=Jo八 一 oe=J12 - / =8, AC=AE - CE=8 - 2.【点评】本题考查的是垂径定理，根据题意作出辅助线，构造出直角三角形是解答此题的关 键.
