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1、二次函数中的最值问题重难点复习一般地，如果是常数，那么叫做的二次函数.二次函数用配方法可化成：的形式的形式，得到顶点为(,)，对称轴是.，顶点是，对称轴是直线.二次函数常用来解决最值问题，这类问题实际上就是求函数的最大(小)值。一般而言，最大(小)值会在顶点处取得，达到最大(小)值时的即为顶点横坐标值，最大(小)值也就是顶点纵坐标值。自变量取任意实数时的最值情况（1）当时，函数在处取得最小值，无最大值；（2）当时，函数在处取得最大值，无最小值（3）二次函数最大值或最小值的求法 第一步：确定的符号，有最小值，有最大值； 第二步：配方求顶点，顶点的纵坐标即为对应的最大值或最小值2.自变量在某一范围
2、内的最值如：在（其中）的最值第一步：先通过配方，求出函数图象的对称轴：；第二步：讨论：1若时求最小值（或时求最大值），需分三种情况讨论：(以时求最小值为例) 对称轴小于即，即对称轴在的左侧，在处取最小值； 对称轴，即对称轴在的内部，在处取最小值； 对称轴大于即，即对称轴在的右侧，在处取最小值.2 若时求最大值（或时求最小值），需分两种情况讨论：(以时求最小值为例)对称轴，即对称轴在的中点的左侧，在处取最大值；对称轴，即对称轴在的中点的右侧，在处取最大值小结：对二次函数的区间最值结合函数图象总结如下： 当时 当时 另法：当（其中）的最值：求出函数的对称轴，在以后的数学学习中若，则分别求出处的函数
3、值，则三函数值最大者即最大值，最小者即为最小值；若时，则求出处的函数值，则两函数值中大者即为最大值，最小者即为最小值。基础巩固:将下列函数写成顶点式,并写出对称轴和 顶点坐标 :(1) ；(2) (3)(4) (5) (6)例1.求下列函数的最大值或最小值 （1）； （2）（3） （4） (5) 例1（1） 最小值为 无最大值；（2）最大值为，无最小值.练习: 求下列函数的最大值或最小值(1)(2)(3)(4)(5) 的最小值是_. 例2.、如图，抛物线与直线交于点A（-1，m）、B（4，n），点M是抛物线上的一个动点，连接OM（1）求m，n，p。（2）当M为抛物线的顶点时，求M坐标和OMB的
4、面积；（3）当点M在直线AB的下方且在抛物线对称轴的右侧，M运动到何处时，OMB的面积最大。练习 ：1如图，二次函数y=ax2+bx+c（a0）的图象与x轴交于A（1，0），B（3，0）两点，与y轴交于点C，且二次函数的最小值为4，（1）求二次函数的解析式；（2）若M（m，n）（0m3）为此抛物线上的一个动点，连接MC、MB，试求当m为何值时，MBC的面积最大？并求出这个最大值考点：二次函数综合题1904127专题：代数几何综合题分析：（1）根据点A、B的坐标求出对称轴解析式，从而得到顶点坐标，然后设顶点式解析式，把点A的坐标代入计算即可得解；（2）根据点B、C的坐标求出OB、OC的长度，利用
5、勾股定理求出BC，再求出直线BC的解析式，根据三角形的面积，当平行于BC的直线与抛物线只有一个交点时MBC的面积最大，再根据平行直线的解析式的k值相等设出平行线的解析式，然后与抛物线联立消掉y得到关于x的一元二次方程，然后利用根的判别式=0求出直线的解析式，再根据等腰直角三角形的性质求出点M到BC的距离，然后求解即可；（3）根据抛物线的解析式设点P的坐标为（x，x22x3），根据抛物线的对称性以及点P在点Q的左侧，表示出EF=2（1x），然后根据正方形的四条边都相等列式，再分x1时点P的纵坐标是正数，1x1时，点P的纵坐标是负数两种情况去掉绝对值号，解方程求解即可解答：解：（1）y=x22x3
6、； （2）不难求出，直线BC的解析式为y=x3，SMBC=3=；2已知：如图，抛物线y=ax2+3ax+c（a0）与y轴交于C点，与x轴交于A、B两点，A点在B点左侧点B的坐标为（1，0），OC=3BO（1）求抛物线的解析式；（2）若点D是线段AC下方抛物线上的动点，求四边形ABCD面积的最大值；解答：解：（1）抛物线的解析式为：（2分）（2）AC的解析式为：（3分）S四边形ABCD=SABC+SADC=设，当x=2时，DM有最大值3此时四边形ABCD面积有最大值例3.(1) 当时，求函数的最大值和最小值(2)当时，求函数的最大值和最小值例2.(2)当时，当时，巩固练习 (1) 函数在区间 上
7、的最大值是_，最小值是_.（2）已知，求函数的最值. 最小值为1，最大值为 (3) 函数在区间 上的最大值是_，最小值是_.（4）函数在区间 上的最大值是_，最小值是_. 2， -2 (5) ,求函数的取值范围(6) 函数在区间 上的最大值是_，最小值是_.(a为常数)例4. 已知关于的函数在上(1) 当时，求函数的最大值和最小值；(2) 当为实数时，求函数的最值(1) 当时，；当时， (2) 当时，；当时，练习 ：求关于的二次函数在上的最值(为常数)【课后作业】1.抛物线，当= 时，图象的对称轴是轴；当= 时，图象的顶点在轴上；当= 时，图象过原点 4 14或2，2用一长度为米的铁丝围成一个
8、长方形或正方形，则其所围成的最大面积为_ 3求下列二次函数的最值：(1) ；(2) (1) 有最小值3，无最大值；(2) 有最大值，无最小值4求二次函数在上的最大值和最小值，并求对应的的值当时，；当时，5函数在区间上的最小值和最大值分别是（ ） B （C） （D）6函数在区间上的最小值是（）C 27函数的最值为 （） B最大值为8，最小值为0不存在最小值，最大值为8（C）最小值为0, 不存在最大值 不存在最小值，也不存在最大值8.已知二次函数的最小值为1，那么的值为 .109对于函数，当时，求的取值范围10求函数的最小值当时，；当或1时，11.已知关于的函数在上(1) 当时，求函数的最大值和最小值；2) 当为常数时，求函数的最大值.(1) 当时，；当时， (2) 当时，；当时，12已知关于的函数，当取何值时，的最小值为0？当时，13求关于的二次函数在上的最大值(为常数)13当时，此时；当时，此时
