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1、数量关系数学运算,数学运算综述,数学运算的知识点繁杂，需要系统梳理，并且要明确考试目的数学运算题并不一定要把最后的答案算出来，而是要把正确答案“选”出来，因此，掌握做题的技巧十分重要。有时一道题按常规的方法“算”出来可能需要五六分钟甚至更长的时间，但把正确答案“选”出来只需要20秒钟。数学运算基本题型众多，每一基本题型都有其核心的解题公式或解题思路，应通过练习不断熟练。在此基础上，有意识培养自己的综合分析能力，即在复杂数学运算题面前，能够透过现象看到本质，挖掘其中深层次的等量关系。数学运算包括数学计算题和文字应用题两个部分。,知识基础与考点分布,解题方法：列方程、直接计算、反向推导、画图辅助、
2、排除法、特值法、代入法、数字特性。,第一节 算式计算类解题方法,一、四则混合运算1、凑整法：根据交换规律、结合规律将可以凑成1、10、100、1000等整数的数字先运算。0.9+9.9+99.9+999.9+9999.9的和（）A.11105 B.11115.5 C.11110.5 D.11119.5【解析】C。1-0.1=0.9；10-0.1=9.9，以此类推。,2、尾数观察法与位数判断法：运用个位数、末位小数数值或位数确定结果。891*745*810的值是（）A.73951 B.72958 C.73950 D.537673950,3、基准数法：充分运用等差数列求和，或者一些相近的数的加法运
3、算，找到一个基准数，从而计算简单化。2863+2874+2885+2896+2907的值为（）A.14435 B.14425 C.14415 D.14405【解析】B。每相邻两数相差11。2885为中间数，即可转换为2885-22,2885-11,2885,2885+11,2885+22之和。,4、巧用运算规律法：运用交换规律、结合规律等运算规律，从而简化运算。399.6*9-1998*0.8的值是（）A.1998 B.1999 C.2000 D.1997【解析】A。1998*2=3996。所以该式可以变形：3996*0.9-1998*0.8，可以继续变形为：1998*1.8-1998*0.8
4、,二、公式法运算牢记并熟练运用平方差、立方差等运算公式1、平方差公式：a-b=（a+b)(a-b)2、完全平方公式：（ab)=a 2ab+b3、完全立方公式：(ab)=a3ab+3abb4、立方和差公式：a+b=（a+b）（a-ab+b）；a-b=（a-b）（a+ab+b）982+4*98+4的值是（）A.10000 B.1000 C.100000 D.9000,三、数列计算1、等差数列计算（1）等差数列求和公式：S=（a1+a2）*n/2；n=(an-a1)/d+1(2)中位数原理：一个等差数列的项数为奇数时，则中位数就是该数列的平均数。较为高级的考题多考查该原理的运用。10+15+20+5
5、5+60（相邻两项差值为5）的值是（）A.365 B.385 C.405 D.425,2、等比数列计算2+4+8+16+32+1024+2048的值是（）A.5646 B.4096C.4052 D.4258【解析】设原式为S。由2S-S得。,四、分数运算巧解充分利用分数特点进行裂项拆分，后合并运算。1/1*3+1/3*5+1/5*7+1/7*9的值（）A.2/3 B.3/7 C.4/7 D.4/9,五、因式分解计算法运用因式分解方法，将因数的位置变换组合，通过约分或利用乘法结合律等，化繁为简。2005*2006200620062006*200520052005的值为（）A.1 B.-1 C.0
6、 D.1000【解析】变形为2005*2006*1000100012006*2005*100010001=0,六、比较大小分数比较大小、无理数比较大小、三角函数等特殊赋值比较大小。a=96*97/98*99,b=96*99/97*98,c=96*98/97*99,那么a,b,c大小关系为？判断4443/5554,5557/6668,6668/7779的大小关系。,七、特值法简便计算特值法：在某一范围内取一个特殊值，化繁为简。解题关键即为寻求特殊值。如果abc=1,则1/(ab+b+1)+1/(bc+c+1)+1/(ca+a+1)的值是（）A.0 B.-1 C.1 D.不确定,第二节 文字应用类
7、题型及解题方法,一、数的性质该部分知识点较多，考点分散，近几年主要集中在整除、余数、倍数、约数及平均数等内容。1、数的整除性质（1）若一个整数的末位是0、2、4、6、8，则该数能被2整除；（2）若一个整数的数字之和能被3整除，则该整数能被3整除；（3）若一个整数的末尾两位数能被4整除，则该数能被4整除；（4）若一个整数的末位是0或5，则该数能被5整除；,若一个整数能被2和3整除，则这个数能被6整除；若一个整数的个位数截去，再从余下的数中，减去个位数的2倍，如果差是7的倍数，则原数能被7整除。如，判断133能否被7整除。13-3*2=7，即133能被7整除；若一个整数的末三位数能被8整除，则该数
8、能被8整除；若一个整数的数字和能被9整除，则该数能被9整除；若一个整数的奇位数字之和与偶位数字之和的差能被11整除，则该数能被11整除。,某班级选修日语与不选修日语者之比为2:5，后从外班转入2人也选修日语，使比例变为1:2，则该班原来有多少人？（）A.10 B.12 C.21 D.28 甲、乙共有图书260本，其中甲有专业书13%，乙有专业书12.5%，那么甲的非专业书有多少？（）A.75 B.87 C.174 D.67,2、余数问题知识点：被除数除数=商余数（0余数除数）核心口诀：余同取余，和同取和，差同减差，公倍数作周期。如：余同：某数除以4余1，除以5余1，除以6余1，则取1，表示为6
9、0N+1；和同：某数除以4余3，除以5余2，除以6余1，则取7，表示为60N+7；差同：某数除以4余1，除以5余2，除以6余3，则取-3，表示为60N-3.,一个数被3除余2，被5除余3，被7除余2，这个数最小是多少？（）A.18 B.23 C.44 D.78,3、约数、倍数、公约数与公倍数（1）约数、倍数的求取及最大公约数与最小公倍数的求取；（2）类似的“栽树问题”、“剪绳问题”等实质都是倍数、约数及公倍数、公约数的问题。,甲、乙、丙、丁四个人去图书馆借书，甲每隔5天去一次，乙每隔11天去一次，丙每隔17天去一次，丁每隔29天去一次。如果他们5月18日他们四个人在图书馆相遇，问下一次四个人在
10、图书馆相遇时几月几号？（）A.10.8 B.10.14 C.11.18 D.11.14【解析】每隔5天去一次即指每6天去一次。甲乙丙丁分别每6、12、18、30天去一次图书馆。最小公倍数为180天，即为四人每180天遇一次。,4、奇数与偶数问题（1）整数中能被2整除的是偶数，反之为奇数。（2）奇+奇=偶；偶+偶=偶；奇+偶=奇；（3）奇-奇=偶；偶-偶=偶；偶-奇=奇；奇-偶=奇；（4）奇*奇=奇；偶*偶=偶；奇*偶=偶；（5）奇数的n次幂为奇，偶数的n次幂为偶；,一只猫抓住了300只老鼠，猫对老鼠说“你们站成一排，从第一位开始报数，报奇数的就退出，报偶数的不动，然后继续重新报数，如此连续下去
11、，最后一个剩下的，我就放了它。”试问，站在哪个位置的老鼠最后活命了？（）A.128 B.172 C.196 D.256【解析】第一次留下的为2开始的偶数列，第二次留下的为4、8、12、，第三次留下的是8、16、24、，考察每次留下的第一个数，一次为2 的1、2、3、次幂。即300以内2的最大次幂是2的8次幂，即256.,二、日期和年龄问题（一）日期问题1、3、5、7、8、10、12月为31天。4、6、9、11为30天。（大、小月）一般的,能被4整除的年份是闰年,不能被4整除的年份是平年.如:1988年2008年是闰年;2005年2006年2007年是平年.但是如果是世纪年(也就是整百年),就只
12、有能被400整除才是闰年,否则就是平年.如:2000年就是闰年,1900年就是平年。闰年的2月有29天,平年的2月只有28天.星期：一周7天，过7的整数倍，星期不变。,如果某一年的7月份有5个星期四，它们的日期之和为80，那么这个月的3日是星期（）A.一 B.三 C.五 D.日有一天小张发现桌上的台历已经7天没翻了，就一次翻了7张，这7天的日期之和为77，问今天是几号？（）A.13 B.14 C.15 D.17,（二）年龄问题：关键在于比较的两个对象的年龄差距在同一时刻始终不变，在实战中往往采用代入法或方程组求解。甲、乙两人现在的年龄和为63岁，当甲是乙现在年龄的1/2时，乙的年龄是甲现在的年
13、龄。乙比甲大几岁？（）A.32 B.28 C.26 D.24,三、植树和剪绳问题单边线型植树公式：棵树=总长间隔+1；总长=（棵树-1）间隔。单边环型植树公式：棵树=总长间隔；总长=棵树间隔。单边楼间植树公式：棵树=总长间隔-1；总长=（棵树+1）间隔。双边植树问题公式：相应单边植树问题所需棵树的两倍。一根绳子对折n次后从中间剪开后：段数计算公式为2n+1。,两颗柳树相隔165米，中间原本没有任何树。现在这两棵柳树中间等距值种植32棵桃树。第1棵桃树到第20棵桃树间的距离是（）A.90 B.95 C.100 D.前面答案都不对一根绳子对折3次后，从中期剪断，绳子分成几段（）A.5 B.7 C.
14、9 D.11,四、方阵与队列问题方阵总人数=最外层每边人数的平方方阵最外层每边人数=（方阵最外层总人数4）+1方阵外一层总人数比内一层总人数多8个去掉一行、一列，去掉的总人数=去掉的一边人数2-1,有一排士兵排成若干层的方阵，最外层人数共60人，最中间一层共44人，则该方阵士兵的总人数是（）A.156 B.210 C.220 D.280某校的学生刚好排成一个方阵，最外层人数是96，问这个学校学生共有（）人？A.600 B.615 C.625 D.640,五、比例问题比例问题是文字应用题常见题型，主要包括求比值和按比例分配问题，可以采用代入排除法简便求解，或列方程求解。,两个相同的瓶子装满了糖水
15、溶液，一个瓶子中糖精与水的体积比例为3:1，另一个瓶子糖与水的体积比例为4:1。如果把两瓶溶液混合，则混合后糖精与水的体积比为（）A.28：17 B.31：9 C.33：13 D.42：13【解析】把两个比例统一标准，即分别为15:5、16:4.混合后体积比为31:9.,六、浓度问题浓度问题是常见的涉及百分数和千分数的运算题。解题关键是熟悉溶剂、溶液、溶质以及稀释等概念及其运算关系。即浓度=溶质溶液100%；溶液=溶质+溶剂；浓度问题包括溶液混合、溶液稀释以及溶液蒸发等问题。,有含盐15%的盐水20千克，要使盐水的浓度变为20%，需要加盐多少千克（）A.1.25 B.2 C.3.15 D.2.
16、5【解析】本题中溶剂，即水的量不变。,七、容斥问题容斥问题也称集合问题，主要是指相关概念外延的交叉重叠等关系，是解决两个和多个不同集合相交后数量的问题。可以借助欧拉图法求解。常规的模式是两个集合（A,B）相交，则AB=A+B-AB如果三个集合相交（A,B,C），则ABC=A+B+C-AB-BC-CA+ABC实战中需画辅助图。,现有50名学生都做物理、化学实验，如果物理实验做正确的有40人，化学实验做正确的有31人，两种实验都做错的有4人，则两种实验都做对的有（）人？A.27 B.25 C.19 D.10【解析】画图即可,八、工程问题工程问题涉及三个基本变量，即工程量、工作效率和工作时间常规的模
17、式是把工作量看成1，把工作效率看做时间的倒数工程问题中，最重要的信息是工作方式,甲、乙、丙三个工程队效率比为6:5:4，现将A,B两项工作量相同的工程队交给这三个工程队，甲队负责A工程，乙队负责B工程，丙队参与A工程若干天后转而参加B工程，两项工程同时开工，耗时16天后同时结束。问，丙在A工程中施工多少天？（）A.6 B.7 C.8 D.9【解析】设甲乙丙每天分别能完成6份、5份、4份的工作量。三队16天共完成240份的工作量。即A工程有120份工作量，其中甲干了96份。因此丙干了24份，需要6天。,九、路程问题这是数学运算中特别重要的题型，基本原理涉及路程（距离）、时间和速度三者间的关系，但
18、变化形式多样。路程=速度时间相遇问题：相遇路程=速度和时间；追及问题：（大速度-小速度）时间；注：从两地分别同时出发的多次相遇问题中，第n次相遇时，每个人的路程等于他第一次相遇时所走路程的（2n-1）倍。第n次相遇时，两人行程之和为两地间距离的（2n-1）倍。,列车过桥、过隧道问题（注意列车本身有一定长度）轮船顺水、逆水航行问题（注意水有一定速度）。船速=（顺水速度+逆水速度）/2；水速=（顺水速度-逆水速度）/2电梯运动问题：能看到的电梯级数=（人速+电梯速度）沿电梯运动方向运动所需时间；能看到的电梯级数=（人速-电梯速度）逆电梯运动方向运动所需时间。,环型运动问题：环型周长=速度和相向运动
19、的两人两次相遇的时间间隔；环型周长=速度差同向运动的两人两次相遇的时间间隔。方法与技巧：路程问题应注意画图辅助求解。注意把握问题本质。如相同时间下，两人的路程之比等于速度之比。,铁道旁有一小路，一骑车人以每秒5米的速度向前行驶，这是迎面开来一辆每秒行驶25米的火车，已知火车从骑车人身边经过用了12秒，问火车长多少米？（）A.90 B.180 C.207 D.360【解析】火车从对面来经过行人，可以看成火车车尾与行人相遇的问题。车身长即为路程。,十、时钟问题有两个子类：一是分针与时针相遇或追及问题，这个可以转化为路程问题。注意时针的速度为每分钟0.5度，分针的速度为每分钟6度。二是时钟的快慢问题
20、，此类问题可以化为比例问题求解。,有一只钟，每小时慢3分钟，早晨4点30分时，把钟对准标准时间，则钟显示为当天上午10点50分时，标准时间为（）A.11点整 B.11点5分 C.11点10分 D.11点15分【解析】标准钟与慢钟的速度比为60:57。题目中慢钟走了380分钟，根据时间一致时，路程比等于速度比，可得标准钟走了400分钟，即标准时间应为11点10分。,十一、消费问题利润及消费问题域生活实践密切相关，关键是熟悉成本、利润、定价、进价、利润率等概念及相关运算关系。定价=成本+利润；利润=成本利润率；定价=成本（1+利润率）；利润率=利润成本；利润的百分数=（售价-成本）成本100%；售
21、价=定价折扣百分数；利息=本金利率期数；本息和=本金（1+利率 期数）打折，如“三折”即为原价的30%方法与技巧：由于利润问题涉及许多百分数，注意特值法灵活运用。,某个体商贩在一次买卖中，同时卖出两件上衣，每件都以135元出售，若按成本计算，其中一件盈利25%，另一件亏损25%，则他在这次买卖中（）A.不赔不赚 B.赚9元 C.赔18元 D.赚18元,十二、“鸡兔同笼”法简便计算“鸡兔同笼”是有名的中国古计算题。最早出现在孙子算经，许多小学算数应用题都可以转化为这类问题。它其实是一种简便计算的方法。“今有鸡兔同笼，上有35个头，下有94只足，问兔有几只？”（孙子算经）A.10 B.12 C.1
22、4 D.11,某公司职员25人，每季度共发放劳保费用15000元，已知每个男职员每季度发580元，每个女职员比每个男职员每季度多发50元，该公司男女职员数之比是（）A.2：1 B.3：2 C.2：3 D.1：2【解析】假设全部都是男职员，共发放劳保费用14500，少了500，说明有10个女职员按照男职员的标准发放了费用，因此女职员10人，男职员15人。,十三、几何问题（一）立体几何中的染色、切割与组合如把一个立方体分割成棱长为大正方体棱长的1/n的小正方体，则小正方体的个数为n3；巧用立方体切割规律求表面积。将一个表面积为36平方米的正方体等分成两个长方体，再将这两个长方体拼成一个大长方体，则
23、大长方体的表面积是（）A.24平方米 B.30平方米 C.36平方米 D.42平方米,（二）几何定律与公理主要考察考生对几何知识中的一些基本公理、定律的掌握与运用。如：任意一个三角形，都有任意两边之和大于第三边；两个等底等高的三角形面积相等。平面图形：周长一定，越趋近于园，面积越大；面积一定，越趋近于圆，周长越小。立体图形：表面积一定，越趋近于球，体积越大；体积一定，越趋近于球，表面积越小。相同表面积的四面体、六面体、正十二面体及正二十面体，其中提及最大的是（）,十四、抽屉原理1、数学中的抽屉原理源自于生活中的普遍现象：三个苹果放入两个抽屉，总有一个抽屉的苹果有两个以上。2、推广下来，把多于n
24、个的“苹果”放到n个“抽屉”中，至少有一个“抽屉”里的“苹果”数大于2.抽屉原理的解题关键是运用反向思维，找到最大的不利条件。,鱼缸里有5个品种的鱼若干条，问至少捞出多少条才能保证有4条鱼的品种相同。（）A.8 B.12 C.27 D.16【解析】每个鱼各取3条，即15条，这是最不利的情况。接着再取一条鱼，即可保证有4条品种相同。,十五、牛顿问题牛顿问题是因牛顿提出而出名，及牛顿描述的牛吃草问题，是一种较为普遍的双向变化的数量关系，涉及三个量：原有的存量、增加的速度、减少的速度。问题的难点是牛仔吃草而草在同时生长，解题的关键是要计算出原有的存草量和每天长出的新草数，一般需要把某个量做简化处理，
25、即看做单位“1”牛顿问题的解题原理是：总量=存量+增量，其中总量就是消耗量。牛顿问题有许多变式，如电梯问题、水池问题等。,一片青草地，每天匀速长出新草。这片青草地可供27头牛吃6天，或供23头牛吃9天，问这片青草地可供21头牛吃几天（）A.18 B.12 C.14 D.16【解析】设原有草X份，每头牛每天吃草1份，每天增加的草是Y份。则可得方程组27*6=X+6Y;23*9=X+9Y。得X=72，Y=15。假设21头牛吃Z天，则21Z=72+15Z，得Z=12。,十六、统筹问题涉及方案的优化与配置，涉及成本最小化、效益最大化、路线最优等。要求根据条件统筹择优。如果用4个矿泉水空瓶可以换一瓶矿泉水，现有15个空瓶，不交钱最多可以喝多少瓶矿泉水（）A.3 B.4 C.5 D.6,
