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1、2023/4/13,1,第一节 概率基础知识一、事件与概率1.事件随机事件可能发生，也可能不发生的事件称为随机事件。必然事件肯定发生的事件称为必然事件 不可能事件 肯定不发生的事件称为不可能事件 样本空间所有的基本事件构成样本空间，记为,2023/4/13,2,例1：若批产品有10000件，它们只区分为合格品与不合格品，其中合格品与不合格品各占50%，从中抽取2件，并记合格品为“0”，不合格品为“1”；写出其样本空间。样本空间由以下四个样本点构成：=(0,0),(0,1),(1,0)(1,1),2023/4/13,3,例2：若批产品有10000件，它们只区分为合格品与不合格品，其中合格品与不合
2、格品各占50%，从中抽取3件，并记合格品为“0”，不合格品为“1”；写出其样本空间。0 0 00 0 10 1 00 1 11 0 01 0 11 1 01 1 1,2023/4/13,4,例3：若批产品有10000件，它们只区分为合格品与不合格品，其中合格品与不合格品各占50%，从中抽取4件，并记合格品为“0”，不合格品为“1”；写出其样本空间。,2023/4/13,5,例4：若批产品有10000件，它们只区分为合格品与不合格品，其中合格品与不合格品各占50%，从中抽取2件，并记合格品为“0”，不合格品为“1”；样本空间由以下四个样本点构成：=(0,0),(0,1),(1,0)(1,1)A=
3、“至少有一件合格品”=(0,0),(0,1),(1,0)B=“至少有一件不合格品”=(0,1),(1,0),(1,1)C=“恰好有一件合格品”=(0,1),(1,0)=“至多有两件不合格品”=(0,0),(0,1),(1,0)(1,1)=“有三件不合格品”,2023/4/13,6,2.随机事件之间的关系包含若事件A中任一样本点必在B中，则称A被包含在B中，或B包含A记为A=“至少有一件合格品”=(0,0),(0,1),(1,0)C=“恰好有一件合格品”=(0,1),(1,0)互不相容若事件A与事件B没有相同的样本点，则称事件A与事件B互不相容。这时事件A与事件B不可能同时发生。,2023/4/
4、13,7,A=“两件都是合格品”=(0,0)B=“两件都是不合格品”=(1,1)相等若事件A与事件B含有相同的样本点，则称事件A与B相等。桶内有球10000个，黑白两种各占50%，从中抽2个。A=“两个都是白球”B=“没抽到黑球”,2023/4/13,8,3.事件的运算对立事件 事件A的对立事件记为事件的并 AB，A与B中至少有一个发生A=“抽到一件合格品”=(0,1),(1,0)B=“抽到两件合格品”=(0,0)AB=“抽到了合格品”,2023/4/13,9,事件的交 AB，A与B同时发生在北京市随机抽取一个人A=抽到的是60岁以上的老人B=抽到的是男性AB表示：事件的差 A-B，A发生B不
5、发生A=抽到的是60岁以上的老人B=抽到的是男性A-B表示：,2023/4/13,10,例1.一坛子球中黑球白球各占一半，从中抽两个球，记事件A=“至少有一个黑球”，B=“两个球颜色不同”，则A与B之间的关系是（）。单选 A、B A；B、A=B；C、A B；D、互不相容,2023/4/13,11,例2.设A与B是任意两个随机事件，则A-B=（）多选A、A-AB；B、B-AB；C、；D、；,2023/4/13,12,4.随机事件发生的概率随机事件发生的可能性的大小，称为随机事件发生的概率。,2023/4/13,13,二、概率的古典定义与统计定义1.概率的古典定义所涉及的随机现象有n个样本点每个样
6、本点出现的可能性相同被考察的事件A含有k个样本点，则事件A的概率定义为：P(A)=k/n=A中所含样本点的个数/中样本点的个数,2023/4/13,14,例1：设桶内有10000个球，其中有5000个白球，5000个黑球，从中随机抽取2个球，1）求抽到的两个都是白球(A)的概率，2）求抽到的一个是白球，一个是黑球(B)的概率。a b1 W W2 W B3 B W4 B B P(A)=1/4,P(B)=2/4,2023/4/13,15,例2：投3枚硬币，1）求3枚都正面朝上（A）的概率，2）求恰有2枚正面朝上（B）的概率，3）求正面朝上不超过2枚（C）的概率。,2023/4/13,16,0表示正
7、面朝上，1表示背面朝上0 0 00 0 10 1 00 1 11 0 01 0 11 1 01 1 1P(A)=1/8,P(B)=3/8,P(C)=7/8,2023/4/13,17,例3：掷两颗六面体的骰子，一个是黑色，一个是白色，x表示黑色骰子出现的点数，y表示白色骰子出现的点数，其样本点可用数对(x,y)表示。样本空间为：=(1,1),(1,2)(1,6),(2,1),(2,2)(2,6),(3,1),(3,2)(3,6),(4,1),(4,2)(4,6),(5,1),(5,2)(5,6),(6,1),(6,2)(6,6),2023/4/13,18,事件A=“点数之和为2”，事件A仅有一个
8、样本点(1,1);P(A)=1/36 事件B=“点数之和为5”，事件B有4个样本点(1,4)，(2,3)，(3,2)，(4,1)，;P(B)=4/36事件C=“点数之和大于9”，事件C有6个样本点(4,6)，(5,5)，(6,4)，(5,6)，(6,5)，(6,6);P(B)=6/36 事件D=“点数之和大于3，而小于7”事件D有12个样本点(1,3),(1,4),(1,5),(2,2),(2,3),(2,4),(3,2),(3,3),(4,1),(4,2),(5,1),(3,3);P(D)=12/36,2023/4/13,19,三、排列与组合1.乘法原理：如果做某件事需经k步才能完成，其中做
9、第一步有m1 种方法,第二步有m2 种方法,第k步有mk 种方法,那么完成这件事共有m1 m1 mk种方法。例：甲城到乙城有3条线路，乙城到丙城有2条线路，那么从甲城到丙城有32=6条线路。,2023/4/13,20,2.加法原理：如果做某件事可由k类不同方法之一完成，其中在第一类方法中又有m1 种完成方法,在第二类方法中又有m2 种完成方法,在第k类方法中又有mk 种完成方法,那么完成这件事共有m1+m1+mk 种方法。例如，由甲城到乙城有三类交通工具：汽车、火车和飞机，而汽车有5个班次，火车有3个班次，飞机有2个班次，那么从甲城到乙城共有5+3+2=10个班次供选择。,2023/4/13,
10、21,3.不重复排列3.1选排列例1，用1,2,3,4四个数码，可以写出多少个不重复的三位数？解：这时从4个不同数码任取3个排列问题。可以作如下考虑：我们把“写出一个三位数”这件事分作三步，第一步选取一个数码作百位数，第二步选取一个数码作十位数，第三步选取一个数码作个位数；第一步有4种选法，第二步有3种选法，第三步有2种选法；根据乘法原理，共写出：4 3 2=24个数码不重复的三位数。图（另外文件）,2023/4/13,22,例2，用1,9九个数码，可以写出多少个不重复的四位数？共写出：9 8 7 6=3024个数码不重复的四位数。,2023/4/13,23,定义：从n个不同的元素a1,a2,
11、an中任取r(r不超过n)个元素按一定顺序排成一列，成为一个排列。按乘法原理，此种排列共有n(n-1)(n-r+1)个，记为，它称为选排列。若r=n，称为全排列，全排列数共有 个，记为，即,2023/4/13,24,4.重复排列：例1，以“8”为首位的八位电话号码，一共可以设多少？解：首位已确定，第2位可以是0,1,9这10个数字中的任何一个，即有10种选法；同理，第3位、第4位第8位也都有10种选法，所以一共有 10 10 10 10 10 10 10 个 1 2 3 4 5 6 7,2023/4/13,25,定义：从n个不同的元素a1,a2,an中选出r个，排成一列，每个元素可以重复出现，
12、这种排列称为有重复排列。按乘法原理，此种重复排列种数共有 个。例1,19数字中任意抽取2个数字，可组成9 9=81个数。例2,从19数字中任意抽取3个数字，可组成9 9 9=729个数。,2023/4/13,26,5.组合 从n个不同的元素a1,a2,an中任取r个为一组（两组元素有不同时才看成不同的组，即不考虑其间顺序),所能得出的全部不同的组数，称为从n个元素中取r个的组合数，记作,2023/4/13,27,例，有30个篮球队参加比赛，第一轮比赛中，每两个球队都进行一次比赛，第一轮共要安排多少场比赛？解：从30个队中任取2个队比赛，是不考虑顺序的，是组合问题。我们可以这样考虑：从30个中任
13、取2个的选排列就等于“从30个中任取2个的组合”，“再对这2个进行全排列”这样两个步骤合成。应用乘法原理有：,2023/4/13,28,得：从此例可得出定义，从n个不同元素任取r个的组合数为：,2023/4/13,29,三、概率的性质及加法定理与乘法定理1.概率的基本性质性质1，对任意事件A，有性质2，,2023/4/13,30,例1，抛三枚硬币，求至少出现一个正面的概率。解，设A=“至少出现一个正面”=“都是反面”,2023/4/13,31,性质3，若A B，则：P(A-B)=P(A)-P(B)2.加法定理P(AB)=P(A)+P(B)-P(AB)用维恩图说明。当A与B互不相容时P(AB)=
14、P(A)+P(B),2023/4/13,32,3.乘法定理当事件A、B相互独立时，P(AB)=P(A)P(B)所以有P(AB)=P(A)+P(B)-P(AB)=P(A)+P(B)-P(A)P(B)x+y-xy=1-(1-x)(1-y),2023/4/13,33,例1：甲乙两门火炮向某一目标射击，甲火炮射中的概率是0.9,乙火炮射中的概率是0.8,求目标被击中的概率？解法一:P(A)=0.9,P(B)=0.8,P(A+B)=P(A)+P(B)-P(AB)=P(A)+P(B)-P(A)P(B)=0.9+0.8-0.9 0.8=1.7-0.72=0.98解法二:1-0.1 0.2=0.98,2023
15、/4/13,34,例2，加工某一零件需经三道工序，设第一、二、三道工序的次品率分别是0.02、0.03、0.04，并假定各道工序是互不影响的，求加工的零件是次品的概率。1-(1-0.02)(1-0.03)(1-0.04)例3，某电路由4个相互独立的电子元件串联而成，4个相互独立的电子元件失效的概率分别为：0.001，0.002，0.003，0.004，求电路失效的概率。1-(1-0.001)(1-0.002)(1-0.003)(1-0.004),2023/4/13,35,例3,设A与B相互独立,且P(AB)0,且有:P(A)=0.6,P(AB)=0.8,求P(B)=？0.8=0.6+x-0.6
16、x0.4x=0.2x=0.5,2023/4/13,36,例4,甲乙两门火炮向某一目标射击，甲火炮射中的概率是0.6,目标被击中的概率0.9,求乙火炮射中的概率？0.9=0.6+x-0.6x0.4x=0.3 x=0.75,2023/4/13,37,例5，某系统由两个元件并联构成，其中一个元件失效的概率为0.03,要求系统失效的概率不得超过千分之三，求与之并联的另一个元件失效的概率不得超过多少？0.03x 0.003 x 0.1 0.997=0.97+x-0.97x 0.997 0.97+x-0.97x0.03x 0.27 x 0.9 1-0.9=0.10.03y0.003y0.1,2023/4/
17、13,38,例6，某系统由两个元件串联构成，其中一个元件失效的概率为0.03,要求系统失效的概率不得超过0.0785，与之串联的另一个元件失效的概率不得超过（）。A、0.1；B、0.02；C、0.0007；D、0.05,2023/4/13,39,6、设P(A)=0.4,P(B)=0.6,P(AB)=0.8A、A与B相互独立；B、A与B互不相容；C、；P(AB)0D、A与B互为对立,2023/4/13,40,4.条件概率及事件的独立性条件概率 在事件B已发生的条件下，事件A再发生的概率。记为P(AB),2023/4/13,41,一坛子球中有 白球 7铜球 黑球 8 白球 10铁球 黑球 20 A
18、表示抽到白球 B表示抽到铜球P(A)=17/45 P(A|B)=7/15P(B)=15/45 P(B|A)=7/17P(AB)=7/45 P(AB)=P(A)P(B|A)=7/45P(AB)=P(B)P(A|B)=7/45,2023/4/13,42,由于增加了新的条件，一般来说，P(AB)P(A)例，10件产品中，有7件合格品（合格品中又分为一等品与二等品，2个一等品5个二等品），3个不合格品。现从这10件中任取一件，用A表示“取到一等品”，B表示“取到合格品”，求P(A)及P(AB),2023/4/13,43,解：从10件产品中任取1件，共有10种等可能的结果；其中导致A出现的结果有3种，故
19、 P(A)=2/10若已知B已发生，即已知所取产品为合格品的条件下，可能出现的结果不再是10种，而是仅有7种，其中导致A出现的结果有3种，故P(AB)=2/7已知B已发生，使我们在缩小了的范围内考虑问题。,2023/4/13,44,不难看出，条件概率的计算公式,2023/4/13,45,独立性和独立事件的概率例：掷两枚硬币，设B表示“第一枚出正面”，A表示“第二枚出正面”，我们知道P(A)=1/2,即使B已发生，A的条件概率P(AB)=1/2，B的发生并不影响A发生的概率，即P(AB)=P(A)，我们称事件A独立于事件B。对于任意两个随机事件A与B，有P(AB)=P(B)P(AB)=P(A)P
20、(BA),2023/4/13,46,由于P(AB)=P(B)P(AB)当事件A独立于事件B时，有P(AB)=P(B)P(A)当事件A、B、C相互独立时，有P(ABC)=P(A)P(B)P(C),2023/4/13,47,例，设某试验的样本空间共有25个样本点，其中事件A含有15个样本点，事件B含有7个样本点，事件A与事件B的交含有4个样本点，则下列结论正确的有（）A、P(A|B)=4/7 B、P(A|B)=7/15 C、P(B|A)=4/15；D、P(B|A)=7/25。,2023/4/13,48,互不相容：不可能同时发生互相独立：互不影响例1，A：正月十五雪打灯B：八月十五云遮月例2，某君现
21、年50岁且身体健康。A：某君寿命低于75岁B：该君寿命高于80岁,2023/4/13,49,第二节 随机变量及其分布一、随机变量用一个量值表示随机事件，该量值就是随机变量。在北京市随机抽取一个人抽到的人年龄是：1 2 3 1201岁以下 1岁至2岁 2岁至3岁 119岁至120岁,2023/4/13,50,我们把这种取值带有随机性的变量称作随机变量。二、离散随机变量的分布2.1 随机变量的分布列例：掷两颗骰子，其样本空间为：(1,1)(1,2)(1,3)(1,4)(1,5)(1,6)(2,1)(2,2)(2,3)(2,4)(2,5)(2,6)(3,1)(3,2)(3,3)(3,4)(3,5)(
22、3,6)(4,1)(4,2)(4,3)(4,4)(4,5)(4,6)(5,1)(5,2)(5,3)(5,4)(5,5)(5,6)(6,1)(6,2)(6,3)(6,4)(6,5)(6,6),2023/4/13,51,设X表示“掷两颗骰子，6点出现的个数”，它的分布列为：X 0 1 2 P 25/36 10/36 1/366点不出现（X=0)的概率最大。两个都是6点（X=2)的概率最小。,2023/4/13,52,设Y表示“掷两颗骰子，点数之和”，它的分布列为：Y 2 3 4 5 6 7 1/36 2/36 3/36 4/36 5/36 6/36 8 9 10 11 12 5/36 4/36 3
23、/36 2/36 1/36,2023/4/13,53,分布列满足,2023/4/13,54,例，下列()可以作为离散型随机变量的分布列A、B、X-3 5 7 X 0 2 5P 0.3 0.4 0.4 P 0.1 0.5 0.2C、D、X 3 6 8 X-1 7 9P 0.2 0.3 0.5 P-0.1 0.7 0.4,2023/4/13,55,本拉登的藏身处阿富汗 巴基斯坦 埃及 其它地0.5 0.3 0.1 0.1,2023/4/13,56,某试验的结果如下表，它们互不相容：结果 a b c d e P 0.2 0.3 0.2 0.1 0.2记事件A=b,c,d,e,B=a,d,e 则P(A
24、-B)=()A、0.1 B、0.5 C、0.3 D、0.2,2023/4/13,57,随机试验的结果可以用数量来表示。例如，100件产品中有10件不合格品，从中随机抽取3件，抽到的不合格品的数量就是一个变量，它可能取0，1，2，3中的一个值，每次抽取，取到哪个值，在抽取之前不能确切预言，但是，取每个值的概率则是确定的。,2023/4/13,58,2.2 离散随机变量的均值2.3 离散随机变量的方差2.4 离散随机变量的标准差,2023/4/13,59,例1，离散随机变量分布列为:X-1 0 1 P 0.1 0.2 0.7求该随机变量的均值、方差和标准差 E(X)=-10.1+00.2+10.7
25、=0.6Var(X),2023/4/13,60,例2，离散随机变量分布列为1.8 1.9 2 2.1 2.20.1 0.2 0.4 0.2 0.1求该随机变量的均值、方差和标准差,2023/4/13,61,例3，某工程队完成某项工程的天数X是一个随机变量，其概率分布为：X 10 11 12 13P 0.4 0.3 0.2 0.1 该工程队完成此项工程所需的平均天数10 0.4+11 0.3+12 0.2+13 0.1=11它的标准差是（）天1 0.4+0 0.3+1 0.2+4 0.1=1,2023/4/13,62,例4，某工厂生产的产品，一等品占1/2，二等品占1/3，次品占1/6。如果生产
26、一件次品要损失1元，而生产一件一等品要获利2元，生产一件二等品要获利1元。若生产了大量产品，求平均每件获得的利润。X 2 1-1P 1/2 1/3 1/62 1/2+1 1/3+(-1)1/6=7/6,2023/4/13,63,例5，某保险公司售出30000万份人身意外保险，每份20元，A级理赔率为1000万之1，理赔额为40万并退保险费，B级理赔率为1000万之6，理赔额为10万并退保险费，C级理赔率为100万之2，理赔额为5万并退保险费，求保险公司获得的利润。2030000万+-20（1000万之1+1000万之6+100万之2）+(-40万)1000万之1+(-10万)1000万之6+(
27、-5万)100万之2 30000万,2023/4/13,64,三、常用离散随机变量的分布1.二项分布1.1二项分布的记法1.2二项分布的概率函数,2023/4/13,65,例1.一批产品的不合格品率为千分之三，从中随机抽取10个，求抽到了一件不合格品的概率。,2023/4/13,66,例2.一批产品的不合格品率为1%，从中随机抽取10个，求抽到了不合格品的概率。例3.一批产品的不合格品率为10%，从中随机抽取10个，求抽到了不合格品的概率。,2023/4/13,67,例4.一批产品的不合格品率为千分之三，从中随机抽取10个，求抽到了不合格品的概率。,2023/4/13,68,中P26P(Y1)
28、=P(Y=0)+P(Y1)P(1X3)=P(X=0)+P(X=1)+P(X=3)P(X5)=P(X=6)+P(X=7)+P(X=8),2023/4/13,69,1.3二项分布的均值、方差与标准差,2023/4/13,70,例1，设随机变量X服从二项分布b(n,p),已知E(X)=2,Var(X)=1.6,则两个参数n与p为（）np=2np(1-p)=1.6 n=10 p=0.2例2，设随机变量X服从二项分布b(n,p),已知E(X)=3,Var(X)=2.7,则两个参数n与p为（）np=3np(1-p)=2.7 n=30 p=0.1,2023/4/13,71,2.两点分布当n=1时，二项分布退
29、化为两点分布2.1两点分布的概率函数,2023/4/13,72,2.2两点分布的均值、方差与标准差,2023/4/13,73,3.泊松分布3.1 泊松分布的记法3.2 泊松分布的概率函数,2023/4/13,74,例1，某人在一天接到的电话次数服从=8的泊松分布，求一天没有接到的电话的概率。求一天接到的7次电话的概率。求一天接到的30次电话的概率。,2023/4/13,75,3.3泊松分布的均值、方差与标准差,2023/4/13,76,某城市的立交桥1分钟内通过的车数X服从=12的泊松分布，求该立交桥1分钟内通过的平均车数和通过车数的标准差。,2023/4/13,77,4.超几何分布4.1超几
30、何分布的记法4.2超几何分布的概率函数,2023/4/13,78,一坛子球中有5个球，3个白球2个黑球，从中抽出两个球，求抽到一黑一白的概率。0.6,2023/4/13,79,4.3超几何分布的均值、方差与标准差,2023/4/13,80,四、均值与方差的运算性质4.1 设X为随机变量，a与b为任意常数，则有：4.2对任意两个随机变量X1，X2，有：4.3设随机变量X1与 X2独立，则有：,2023/4/13,81,X 0 1 2 3 4P 0.2 0.2 0.2 0.2 0.2Y 5 6 7P 0.7 0.2 0.1X+Y 5 6 7P 0.20.7 0.20.2+0.20.7 0.20.1
31、+0.20.2+0.20.7X+Y 8 9 10 11P 0.20.1,2023/4/13,82,例1，两个相互独立的随机变量的标准差分别为 和，求其差X-Y的标准差,2023/4/13,83,则其差的标准差为,2023/4/13,84,例2、设随机变量X与Y相互独立，Var(X)=3,Var(Y)=2,Z=3X-2Y,求 Var(Z)=()35,2023/4/13,85,例3、某种产品的日产量很大，不合格品率为0.001，从当日产量中随机抽取三件，则其中恰有0件不合格品的概率为（）。例4、设随机变量X服从二项分布，则（1）为（）。A、1；B、0.1；C、0.9；D、100（2）Var（X）为（）。A、0.9；B、1；C、0.099；D、1.1,2023/4/13,86,例5，设随机变量X服从二项分布b(n,p),已知E(X)=3,Var(X)=2.7,则两个参数n与p为（）np=3np(1-p)=2.7,
