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1、空间向量的应用一、基本知识点 空间向量为解决三维空间中图形的位置关系与度量问题提供了一个十分有效的工具.学生在运用空间向量解决有关直线、平面位置关系的问题时，可以到体会向量方法在研究几何图形中的巨大作用，可以减少繁琐的推理过程，直接通过公式计算解决问题.1、 利用向量表示空间直线与平面 设点是直线上一定点，是上任意一点，是的一个方向向量，则的向量表示形式为，其中为实数.（）设为平面内一定点，是内任意一点，分别是内两个不共线的向量，则有向量表示形式，其中，为实数.（）设为平面内一定点，是内任意一点，是平面的一个法向量，则有向量表示形式（点法式）.2、利用向量表示空间直线与平面的位置关系 设直线，
2、的方向向量分别为，平面，的法向量分别为，则：线线平行 ； 线面平行 ；面面平行 . 线线垂直 ；线面垂直 ； 面面垂直 .线线夹角 ，的夹角为（），；线面夹角 ，的夹角为（），；面面夹角 ，的夹角为（），.注意：（）这里的线线平行包括重合，线面平行包括线在面内，面面平行包括面面重合.（）这里线线夹角、线面夹角、面面夹角的范围是.二面角的大小可以用其平面角的大小来定义，它的取值范围是，具体取，还是取，建议结合具体问题（例如结合图形）而定.（1）直线与平面、平面与平面的平行与垂直的向量坐标运算方法设直线l的方向向量分别为a(a1，b1，c1)，平面，的法向量分别为(a2，b2，c2)，v(a3，b
3、3，c3)，则(1)线面平行：laa0a1a2b1b2c1c20.(2)线面垂直：laaka1ka2，b1kb2，c1kc2.(3)面面平行：vva2a3，b2b3，c2c3.(4)面面垂直：v0a2a3b2b3c2c30.（2）空间角的计算(1)两条异面直线所成的角来源:学科网设直线a，b的方向向量为a，b，其夹角为，则cos |cos |(其中为异面直线a，b所成的角)(2)直线和平面所成的角如图所示，设直线l的方向向量为e，平面的法向量为n，直线l与平面所成的角为，两向量e与n的夹角为，则有sin |cos |.(3)二面角如图所示，二面角l，平面的法向量为n1，平面的法向量为n2，n1
4、，n2，则二面有l的大小为或.二、 “三部曲”解决问题的基本思想方法 用向量方法解决立体几何问题的三部曲是向量应用的一个重要思想方法，它的重要性等同于解析几何中的解析法，我们建议它的教学可以先给出一些具体问题的解法，启发学生归纳出过程中的这三步：建立立体图形与空间向量的联系，用空间向量表示问题中涉及的点、直线、平面，把立体几何问题转化为向量问题；进行向量运算，研究点、直线、平面之间的关系（距离和夹角等）；根据运算结果的几何意义来解释相关问题.例 如图，一个结晶体的形状为平行六面体，其中，以顶点A为端点的三条棱长都相等，且它们彼此的夹角都是.那么以这个顶点为端点的晶体的对角线的长与棱长有什么关系
5、？题型一：建系中的问题 向量坐标方法在使用时建立坐标系是重要的一环，我们应针对几何体的形状以有利于求向量的坐标为原则来建系. 在利用向量坐标方法的初级阶段，试题所给的几何体都是非常规整的，一般会出现“三个垂直”，可以直接利用题目所给的图形和其中的线段建立坐标系，一般不需要添加辅助线，有利于向量方法解题.但随着课程的推进，对题目的设计就会逐渐按照题目本身的面目出现，而不再刻意追求规整的“三个垂直”，目的是使得大家对空间向量方法的有一个全面正确的认识和熟练的使用，即认识到向量方法中也有空间想象能力和推理论证能力的要求.因此，利用向量方法中的“算”应该是以一定的空间想象和思辨论证为基础的.我们看几个
6、例子：1、选择适合位置建系例1、 如图，直三棱柱中，为的中点，为上的一点，（）证明：为异面直线与的公垂线；（）设异面直线与的夹角为45，求二面角的大小非常规位置放置，考查概念、空间想象能力，建系的灵活性.本题中这样建系，对于平面内的点的坐标是比较容易求解的选择适合位置建系.变式：如图，平面平面，是以为斜边的等腰直角三角形，分别为，的中点，（）设是的中点，证明：平面；（）证明：在内存在一点，使平面，并求点到，的距离注意：比较两种方法，显然综合法要简捷一些；另外学生利用向量方法计算时的准确率是至关重要的，要注意运算技能的指导与训练.2、先证明后建系例1 如图，正方形和四边形所在的平面互相垂直，.（
7、）求证：平面；（）求证：平面；（）求二面角的大小.题型二：求点的坐标问题在建立适当的坐标系后，求向量的坐标是运用向量方法的第二个环节，如果几何体比较规整，则向量的坐标一般比较好求，但有时向量坐标的求解也要与其他方法相结合.例1：如图，四棱锥的底面是菱形，其对角线，都与平面垂直，.（）求二面角的大小；（）求四棱锥与四棱锥公共部分的体积.题型三：含参数问题的处理例1 如图，四边形是边长为1的正方形，平面，平面，且，为的中点.（）求异面直线与所成角的余弦值；（）在线段上是否存在点，使得平面？若存在，求线段的长；若不存在，请说明理由. 变式：1、在四棱锥中，侧面底面，为中点，底面是直角梯形，.（）求证
8、：平面； （）求证：平面；（）设为侧棱上一点，试确定的值，使得二面角为.2. （本小题满分12分）如图，在四棱柱ABCDA1B1C1D1中，侧棱AA1底面ABCD，ABDC，（）求证：CD平面ADD1A1；（）若直线AA1与平面AB1C所成角的正弦值为，求k的值.题型四：基向量方法的运用用坐标向量法求解的难点在于建立空间直角坐标系及求出某些点的坐标（如上底面的顶点）；用传统综合几何方法求解的难点在于作出合适的辅助线，以及需要利用某些特殊性质作为基本性质，而在某些情况下利用非坐标向量方法求解，一方面不需要作辅助线，极大地降低了难度，另一方面由于基底可以自由选择，降低了建立空间直角坐标系所需要的某些苛刻要求，从而使得求解过程简洁明了.例1：已知矩形所在平面和矩形所在平面垂直，为公共边.点，分别在对角线，上，且|=|，|=|.变式：1、如图，已知正三棱柱的各条棱长都相等，是侧棱的中点，则异面直线和所成的角的大小是 .例2：在如图所示的几何体中，平面，平面，且，是的中点.（）求证：；（）求与平面所成的角.变式：1、已知三棱柱的侧棱与底面边长都相等，在底面内的射影为的中心，则与底面所成角的正弦值等于 （ ）A B C D
