第13讲初二暑期课程讲义一元二次方程的应用(学生版).doc

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1、学科教师辅导讲义学员编号： 年 级： 课 时 数：学员姓名： 辅导科目： 学科教师： 授课类型T一元二次方程根与系数关系T 一元二次方程与实际问题T 综合运用授课日期时段教学内容一、整理你所学到的知识：一元二次方程四种解法（1）直接开平方法：形如或类型的方程，均可用直接开平方法（2）因式分解法：这是较为简单的解一元二次方程的方法（3）配方法：形如的方程变形为 的形式，形如的一元二次方程要先将二次项的系数化为1，然后方程两边同时加上一次项系数一半的平方将方程变形为 的形式（4）公式法：这是解一元二次方程通用的方法，只要化成利用求根公式：二、巩固与提升 解方程(1) x25x60 ； (2) 3x

2、24x10（用公式法）；(3) 4x28x10（用配方法）；（4）xx+1=0（5）、（2x3）22（2x3）30三、我仍需要继续关注的问题是 四、预习作业检查 一、 同步知识梳理准备知识回顾：1、 一元二次方程的求根公式为。2、 一元二次方程根的判别式为：（1）当b2-4ac0时，一元二次方程ax2+bx+c=0（a0）有两个不相等实数根即x1=，x2= （2）当b-4ac=0时，一元二次方程ax2+bx+c=0（a0）有两个相等实数根即x1=x2= （3）当b2-4ac0时，一元二次方程ax2+bx+c=0（a0）没有实数根反之：方程有两个不相等的实数根，则 ；方程有两个相等的实数根，则

3、；方程没有实数根，则 。韦达定理相关知识如果方程的两个实数根是，那么,也就是说，对于任何一个有实数根的一元二次方程，这个方程的两个根与系数的关系是：两根之和，等于方程的一次项系数除以二次项系数所得的商的相反数；两根之积，等于常数项除以二次项系数所得的商 韦达定理的逆定理：如果实数满足，那么是一元二次方程的两个根利用韦达定理的逆定理，可以比较简捷地检验解一元二次方程所得结果是否正确 韦达定理的两个重要推论：推论1：如果方程的两个根是，那么，推论2：以两个数为根的一元二次方程(二次项系数为1)是 一元二次方程的根与系数的关系的应用：(1)验根，不解方程，利用韦达定理可以检验两个数是不是一元二次方程

4、的两个根(2)由已知方程的一个根，求出另一个根及未知系数(3)不解方程，可以利用韦达定理求关于的对称式的值，如等等说明：如果把含的代数式中互换，代数式不变，那么，我们就称这类代数式为关于的对称式(4)已知方程的两根，求作这个一元二次方程(5)已知两数的和与积，求这两个数(6)已知方程两个根满足某种关系，确定方程中字母系数的值(7)证明方程系数之间的特殊关系(8)解决其它问题，如讨论根的范围，判定三角形的形状等根的符号的讨论：利用韦达定理，还可进一步讨论根的符号，设一元二次方程的两根为，则：(1)当时，两根同号当时，两根同为正数；当时，两根同为负数(2)当时，两根异号当时，两根异号且正根的绝对值

5、较大；当时，两根异号且负根的绝对值较大二、同步题型分析题型一：由已知方程的一个根，求出另一个根及未知系数1、已知方程5x2+kx-6=0 有一个根为2，求另一个根和k的值变式训练1已知方程的一个根是1，则另一个根是 ， 。2、方程的两个根都是整数，则的值是多少？题型二：不解方程，可以利用韦达定理求关于的对称式的值1、若方程x2+x-1=0的两根为x1,x2,用韦达定理计算(1)x21+x22;(2)+;(3)|x1-x2|;(4) (x1-1)(x2-1)变式训练1：设是方程，的两个根，利用根与系数关系求下列各式的值：（1） （2） （3） （4）题型三：根的符号的讨论1、已知关于的方程有实数

6、根，求满足下列条件的值：（1）有两个实数根。 （2）有两个正实数根。 （3）有一个正数根和一个负数根。（4）两个根都小于2变式训练1、已知关于的方程。（1）求证：方程必有两个不相等的实数根。（2）取何值时，方程有两个正根。（3）取何值时，方程有两异号根，且负根绝对值较大。（4）取何值时，方程到少有一根为零？题型四：已知方程两个根满足某种关系，确定方程中字母系数的值1、已知关于的方程有两个实数根，并且这两个根的平方和比两个根的积大16，求的值。变式训练1、已知关于的方程 （1）当取何值时，方程有两个不相等的实数根？ （2）设、是方程的两根，且，求的值。题型五：综合运用1、方程x2-6x-k=1与

7、x2-kx-7=0有相同的根，求k值及相同的根2、已知、是方程的两个实数根，则的值为_3、求作一个一元二次方程使它的两根分别是1和1+。5已知两个数的和等于，积等于7，求这两个数变式训练1求一个一元二次方程使它的两个根是1、52已知，则，试求的值三、课堂达标检测一. 填空题 1. 如果是方程的两个根，那么_。 2. 已知一元二次方程的两根分别为，那么的值是_。 3. 若方程的两根的倒数和是，则_。二. 选择题 1. 下列方程中，两实数根之和等于2的方程是（ ） A. B. C. D. 2. 如果一元二次方程的两个根为，那么与的值分别为（ ） A. 3，2B. C. D. 3. 如果方程的两个实

8、数根分别为，那么的值是（ ） A. 3B. C. D. 4. 如果是方程的两个根，那么的值等于（ ） A. B. 3C. D. 5. 已知关于x的方程有两个相等的正实数根，则k的值是（ ） A. B. C. 2或D. 6. 若方程两实数根的平方差为16，则m的值等于（ ） A. 3B. 5C. 15D. 7. 如果是两个不相等的实数，且满足，那么等于（ ） A. 2B. C. 1D. 8. 对于任意实数m，关于x的方程一定（ ） A. 有两个正的实数根B. 有两个负的实数根 C. 有一个正实数根、一个负实数根 D. 没有实数根三. 解答题 1. 已知关于x的方程的两上实数根的平方和等于4，求实

9、数k的值。 2. 已知一元二次方程 （1）当m取何值时，方程有两个不相等的实数根？（2）设是方程的两个实数根，且满足，求m的值。 3. 已知关于x的方程 （1）k取什么值时，方程有两个实数根？（2）如果方程的两个实数根满足，求k的值。 4. 已知关于x的一元二次方程 （1）求证：对于任意非零实数a，该方程恒有两个异号的实数根；（2）设是方程的两个实数根，若，求a的值。 一、 同步知识梳理列方程解应用题的步骤及注意的问题：（1）设未知数和做答时，单位要写清楚.（2）列方程时，方程两边的量应该相同，并且各项的单位应该一致.（3）在找相等关系时，对题中所给出的条件应该充分利用，不要漏掉.（4）对于求

10、得的方程的解，还要看它是否有实际意义.因此在学习时要特别注意以上几个方面的问题，在今后的学习中逐步体会到用方程解决问题的优越性 . 二、同步题型分析传播问题审题；设未知数；列方程；解方程；检验根是否符合实际情况；作答。1.有一人患了流感，经过两轮传染后共有121人患了流感，每轮传染中平均一个人传染了几个人？变式训练1.某种植物的主干长出若干数目的支干，每个支干又长出同样数目的小分支，主干、支干和小分支的总数是91，每个支干长出多少小分支？比赛问题1. 一次篮球联赛，每两个队之间都要进行一场比赛，总共要比赛36场，你能计算出有多少个队参加比赛吗？2.参加一次足球联赛的每两队之间都进行两次比赛，共

11、比赛90场比赛，共有多少个队参加比赛？变式训练1.生物兴趣小组的学生，将自己收集的标本向本组其他成员各赠送一件，全组共互赠了182件，这个小组共有多少名同学？2.一个小组有若干人，新年互送贺卡，若全组共送贺卡72张，这个小组共有多少人？【同步练习】1、有一人患了流感，经过两轮传染后共有100人患了流感，那么每轮传染中平均一个人传染的人数为（ ）A8人B9人C10人D11人2：学校组织了一次篮球单循环比赛（每两队之间都进行了一次比赛），共进行了15场比赛，那么有几个球队参加了这次比赛？平均增长率问题变化前数量（1x）n变化后数量1.青山村种的水稻2001年平均每公顷产7200公斤，2003年平均

12、每公顷产8450公斤，求水稻每公顷产量的年平均增长率。2. 某商场今年2月份的营业额为400万元，3月份的营业额比2月份增加10%，5月份的营业额达到633.6万元求3月份到5月份营业额的月平均增长率变式训练1据媒体报道，我国2009年公民出境旅游总人数约5000万人次，2011年公民出境旅游总人数约7200万人次，若2010年、2011年公民出境旅游总人数逐年递增，请解答下列问题：（1）求这两年我国公民出境旅游总人数的年平均增长率； （2）如果2012年仍保持相同的年平均增长率，请你预测2012年我国公民出境旅游总人数约多少万人次？2.为了绿化校园，某中学在2007年植树400棵，计划到20

13、09年底使这三年的植树总数达到1324棵，求该校植树平均每年增长的百分数。（三）商品销售问题售价进价=利润一件商品的利润销售量=总利润单价销售量=销售额1某商店购进600个旅游纪念品，进价为每个6元，第一周以每个10元的价格售出200个，第二周若按每个10元的价格销售仍可售出200个，但商店为了适当增加销量，决定降价销售（根据市场调查，单价每降低1元，可多售出50个，但售价不得低于进价），单价降低x元销售销售一周后，商店对剩余旅游纪念品清仓处理，以每个4元的价格全部售出，如果这批旅游纪念品共获利1250元，问第二周每个旅游纪念品的销售价格为多少元？2：小丽为校合唱队购买某种服装时，商店经理给出

14、了如下优惠条件：如果一次性购买不超过10件，单价为80元；如果一次性购买多于10件，那么每增加1件，购买的所有服装的单价降低2元，但单价不得低于50元按此优惠条件，小丽一次性购买这种服装付了1200元请问她购买了多少件这种服装？3. 商场某种商品平均每天可销售30件，每件盈利50元. 为了尽快减少库存，商场决定采取适当的降价措施. 经调查发现，每件商品每降价1元，商场平均每天可多售出 2件设每件商品降价x元. 据此规律，请回答：（1）商场日销售量增加 件，每件商品盈利 元（用含x的代数式表示）；（2）在上述条件不变、销售正常情况下，每件商品降价多少元时，商场日盈利可达到2100元？变式训练1、

15、某汽车销售公司6月份销售某厂家汽车，在一定范围内，每辆汽车的进价与销售量有如下关系，若当月仅售出1辆汽车，则该汽车的近价为27万元；每多售出1辆，所有售出的汽车的进价均降低0.1万元/辆，月底厂家根据销售量一次性返利给销售公司，销售量在10辆以内（含10辆），每辆返利0.5万元，销售量在10辆以上，每辆返利1万.（1）若该公司当月售出3辆汽车，则每辆汽车的进价为 万元；（2）如果汽车的售价为28万元/辆，该公司计划当月盈利12万元，那么需要售出多少辆汽车？（盈利=销售利润+返利）2.某宾馆有客房100间供游客居住，当每间客房的定价为每天180元时，客房会全部住满当每间客房每天的定价每增加10元

16、时，就会有5间客房空闲(注：宾馆客房是以整间出租的)(1)若某天每间客房的定价增加了20元，则这天宾馆客房收入是_元；(2)设某天每间客房的定价增加了元，这天宾馆客房收入元，则与的函数关系式是_；(3)在(2)中，如果某天宾馆客房收入元，试求这天每间客房的价格是多少元?（四）面积问题判断清楚要设什么是关键1、如图，在长为100米，宽为80米的矩形场地上修建两条宽度相等且互相垂直的道路，剩余部分进行绿化，要使绿化面积为7644米2，则道路的宽应为多少米？设道路的宽为X米，则可列方程为（ ）A.10080100X80X=7644B.(100X)(80X)X2=7644C.(100X)(80X)=7

17、644D.100X80X=3562、兰州某广场准备修建一个面积为200平方米的矩形草坪，它的长比宽多10米，设草坪的宽为x米，则可列方程为（ ）A. x(x-10)=200 B. 2x+2(x-10)=200 C. 2x+2(x+10)=200 D. x(x+10)=200较小。ABCD16米草坪第21题图3 如图所示，某幼儿园有一道长为16米的墙，计划用32米长的围栏靠墙围成一个面积为120平方米的矩形草坪ABCD求该矩形草坪BC边的长.4、图1是边长为30的正方形纸板，裁掉阴影部分后将其折叠成如图2所示的长方体盒子，已知该长方体的宽是高的2倍，则它的体积是 cm3变式训练1 如图，邻边不等

18、的矩形花圃ABCD，它的一边AD利用已有的围墙，另外三边所围的栅栏的总长度是6m若矩形的面积为4m2，则AB的长度是 m（可利用的围墙长度超过6m） 2.在宽20m，长为32m的矩形耕地上修三条同样宽的耕作道路，使耕地面积为，道路宽应为多少？3如图所示，要用防护网围成长方形花坛，其中一面利用现有的一段墙，且在与墙平行的一边开一个2米宽的门，现有防护网的长度为91米，花坛的面积需要1080平方米，若墙长50米，求花坛的长和宽 （1）一变：若墙长46米，求花坛的长和宽 （2）二变：若墙长40米，求花坛的长和宽（3）通过对上面三题的讨论，你觉得墙长对题目有何影响？ 4、如图，在RtABC中B=90，

19、AB=8m，BC=6m，点M、点N同时由A、C两点出发分别沿AB、CB方向向点B匀速移动，它们的速度都是1m/s，几秒后，MBN的面积为RtABC的面积的？蔬菜种植区域前侧空地5. 某村计划建造如图所示的矩形蔬菜温室，要求长与宽的比为在温室内，沿前侧内墙保留3m宽的空地，其它三侧内墙各保留1m宽的通道当矩形温室的长与宽各为多少时，蔬菜种植区域的面积是？三、课堂达标检测1实际问题中常见的基本等量关系。(1)工作效率=_；(2)路程=_2某工厂1993年的年产量为a(a0)，如果每年递增10，则1994年年产量是_，1995年年产量是_，这三年的总产量是_3某商品连续两次降价10后的价格为a元，该

20、商品的原价为_二、选择题4两个连续奇数中，设较大一个为x，那么另一个为( )Ax1Bx2C2x1Dx25某厂一月份生产产品a件，二月份比一月份增加2倍，三月份是二月份的2倍，则三个月的产品总件数是( )A5aB7aC9aD10a三、解答题6三个连续奇数的平方和为251，求这三个数7直角三角形周长为，斜边上的中线长1，求这个直角三角形的三边长8某工厂一月份产量是5万元，三月份的产值是11.25万元，求二、三月份的月平均增长率9如图，在长为10cm，宽为8cm的矩形的四个角上截去四个全等的小正方形，使得留下的图形(图中阴影部分)面积是原矩形面积的80，求所截去小正方形的边长 10如下图甲，在一幅矩

21、形地毯的四周镶有宽度相同的花边，如下图乙，地毯中央的矩形图案长6m、宽3m，整个地毯的面积是40m2，求花边的宽11某县为发展教育事业，加强了对教育经费的投入，2007年投入3000万元，预计2009年投入5000万元设教育经费的年平均增长率为x，则列出的方程为_12一种药品经过两次降价，药价从原来的每盒60元降至现在的48.6元，则平均每次降价的百分率是_13在一幅长50cm，宽30cm的风景画的四周镶一条金色纸边，制成一幅矩形挂图，如图所示，如果要使整个挂图的面积是1800cm2，设金色纸边的宽为xcm，那么x满足的方程为_ 14某汽车销售公司2005年盈利1500万元，到2007年盈利2

22、160万元，且从2005年到2007年，每年盈利的年增长率相同(1)该公司2006年盈利多少万元?(2)若该公司盈利的年增长率继续保持不变，预计2008年盈利多少万元?15某村计划建造如图所示的矩形蔬菜温室，要求长与宽的比为21在温室内，沿前侧内墙保留3m宽的空地，其他三侧内墙各保留1m宽的通道当矩形温室的长与宽各为多少米时，蔬菜种植区域的面积是288m2? 16某人将2000元人民币按一年定期存入银行，到期后支取1000元用作购物，剩下的1000元及所得利息又全部按一年定期存入银行若银行存款的利息不变，到期后得本金和利息共1320元求这种存款方式的年利率(问题中不考虑利息税)17某商场销售一

23、批衬衫，现在平均每天可售出20件，每件盈利40元，为扩大销售量，增加盈利，减少库存，商场决定采用降价措施，经调查发现，如果每件衬衫的售价降低1元，那么商场平均每天可多售出2件商场若要平均每天盈利1200元，每件衬衫应降价多少元?18已知：如图，甲、乙两人分别从正方形场地ABCD的顶点C，B两点同时出发，甲由C 向D运动，乙由B向C运动，甲的速度为1km/min，乙的速度为2km/min，若正方形场地的周长为40km，问多少分钟后，两人首次相距19(1)据2005年中国环境状况公报，我国由水蚀和风蚀造成的水土流失面积达356万km2，其中风蚀造成的水土流失面积比水蚀造成的水土流失面积多26万km

24、2问水蚀与风蚀造成的水土流失面积各多少万平方千米?(2)某省重视治理水土流失问题，2005年治理了水土流失面积400km2，该省逐年加大治理力度，计划2006年、2007年每年治理水土流失面积都比前一年增长一个相同的百分数，到2007年年底，使这三年治理的水土流失面积达到1324km2求该省2006年、2007年治理水土流失面积每年增长的百分数一、 能力培养例1、（2009年新疆乌鲁木齐市）有一批图形计算器，原售价为每台800元，在甲、乙两家公司销售甲公司用如下方法促销：买一台单价为780元，买两台每台都为760元依此类推，即每多买一台则所买各台单价均再减20元，但最低不能低于每台440元；乙

25、公司一律按原售价的75%促销某单位需购买一批图形计算器：（1）若此单位需购买6台图形计算器，应去哪家公司购买花费较少？（2）若此单位恰好花费7 500元，在同一家公司购买了一定数量的图形计算器，请问是在哪家公司购买的，数量是多少？2.如图，ABC中，已知BAC45，ADBC于D，BD2，DC3，求AD的长. 小萍同学灵活运用轴对称知识，将图形进行翻折变换，巧妙地解答了此题.请按照小萍的思路，探究并解答下列问题：(1)分别以AB、AC为对称轴，画出ABD、ACD的轴对称图形，D点的BCAEGDF对称点为E、F，延长EB、FC相交于G点，证明四边形AEGF是正方形； (2)设AD=x，利用勾股定理

26、，建立关于x的方程模型，求出x的值.二、 能力点评 本块内容主要考察学生方程思想的综合运用。课后作业一、选择题（每题2分，共20分）1一元二次方程3x2=5x的二次项系数和一次项系数分别是（ ） A3，5 B3，-5 C3，0 D5，02下列方程中，是关于x的一元二次方程的是（ ） A3（x+1）2=2（x+1） B-2=0 Cax2+bx+c=0 Dx2+2x=x2-13下列方程中，两根是-2和-3的方程是（ ） Ax2-5x+6=0 Bx2-5x-6=0 Cx2+5x-6=0 Dx2+5x+6=04若分式的值为零，则x的值为（ ） A3 B3或-3 C0 D-35若a+b+c=0，则关于x

27、的一元二次方程ax2+bx+c=0（a0）有一根是（ ） A1 B-1 C0 D无法判断6方程2x（x-1）=x-1的解是（ ） Ax1=，x2=1 Bx1=-，x2=1 Cx1=-，x2=1 Dx1=，x2=-17一元二次方程x2-x+2=0的根的情况是（ ） A有两个相等的实数根 B有两个不相等的实数根 C无实数根 D无法确定8某商店将一批夏装降价处理，经过两次降价后，由每件100元降至81元，求平均每次降价的百分率设平均每次降价的百分率为x，可列方程（ ） A100（1-x）2=81 B81（1+x）2=100 C100（1+x）=812 D2100（1-x）=89已知一个三角形的两边长

28、是方程x2-8x+15=0的两根，则第三边y的取值范围是（ ） Ay8 B3y5 c2y8 D无法确定10如果x2+x-1=0，那么代数式x3+2x2-7的值是（ ） A6 B8 C-6 D-8二、填空题（每题2分，共20分）1一元二次方程（x+1）（x+3）=9的一般形式是_2请写出一个根为1，另一根满足-1x0 x1=_，x2=_ 满足要求的矩形B存在 （2）如果已知矩形A的边长分别为a和b，请你仿照小明的方法研究是否存在满足要求的矩形B7.已知关于x的方程4x2-8nx-3n=2和x2-（n+3）x-2n2+2=0，问是否存在这样的n值，使第一个方程的两个实数根的差的平方等于第二个方程的

29、一个整数根?若存在，求出这样的n值；若不存在，请说明理由 请同学们完成下面各题1将如图所示的四边形ABCD平移，使点B的对应点为点D，作出平移后的图形2、如图，已知ABC和直线L，请你画出ABC关于L的对称图形ABC 3圆是轴对称图形吗？等腰三角形呢？你还能指出其它的吗？试一试 1如图，如果把钟表的指针看做三角形OAB，它绕O点按顺时针方向旋转得到OEF，在这个旋转过程中： （1）旋转中心是什么？旋转角是什么？（2）经过旋转，点A、B分别移动到什么位置？ 2如图1，在RtABC中，ACB=90，A=40，以直角顶点C为旋转中心，将ABC旋转到ABC的位置，其中A、B分别是A、B的对应点，且点B在斜边AB上，直角边CA交AB于D，则旋转角等于（ ）A70 B80 C60 D50 (1) (2) (3)3在平面内，将一个图形绕一个定点沿着某个方向转动一个角度，这样的图形运动称为_，这个定点称为_，转动的角为_4如图2，ABC与ADE都是等腰直角三角形，C和AED都是直角，点E在AB上，如果ABC经旋转后能与ADE重合，那么旋转中心是点_；旋转的度数是_5如图3，ABC为等边三角形，D为ABC内一点，ABD经过旋转后到达ACP的位置，则，（1）旋转中心是_；（2）旋转角度是_ADP是_三角形