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1、学习目标1.进一步掌握常用的函数模型解析式的求法及应用；2.提高在面临实际问题时，通过自己建立函数模型来解决问题的能力；3.培养借助表格、图象处理数据的能力1(1)求给定的函数模型的解析式，通常使用_法(2)使用待定系数法求解析式时，假设有n个系数待定，则需要列_个关于待定系数的方程答案(1)待定系数(2)n2回想一下当你面临实际问题时，是如何建立函数模型的，特别需要注意哪些要点？答案处理实际问题的关键是：全面、准确地接收题目提供的信息，根据需求整理信息，正确表达其中蕴含的数量关系，注意变量的实际意义对取值范围的影响3回顾上节例3人口增长问题的处理方法，回答下列问题：(1)如何寻找拟合函数？(
2、2)当有多个候选拟合函数模型时，如何进行选择？(3)使用拟合函数预测的结果一定准确吗？预报准确度受哪些因素影响？答案(1)根据原始数据、表格，绘出散点图；考察散点图，画出拟合曲线；从函数模型中挑出“最贴近”拟合曲线的函数类型，求出其待定系数(2)把已知数据特别是远期数据分别代入候选函数，根据拟合效果择优录用(3)利用拟合函数得到的结果不一定准确预报准确度与建立拟合函数依据的制约因素全面与否，数据采集密集度，采集区间长度都有关系4我们在处理以往案例中，大量使用了表格、图象用它们处理数据有什么优势？答案表格便于我们定量观察量与量之间的依存关系单调性及增长速度，图象则更直观.类型一二次函数模型的应用
3、例1某桶装水经营部每天的房租、人员工资等固定成本为200元，每桶水的进价是5元，销售单价与日均销售量的关系如下表所示：销售单价/元6789101112日均销售量/桶480440400360320280240请根据以上数据作出分析，这个经营部怎样定价才能获得最大利润？解由表中可知，销售单价每增加1元，日均销售量就减少40桶，设在进价的基础上增加x元后，日均销售利润为y元，在此情况下的日均销售量为48040(x1)52040x(桶)由于x0,52040x0，即0x13.y(52040x)x20040x2520x200,0x13.易知，当x6.5时，y有最大值所以，只需将销售单价定为11.5元，就可
4、获得最大的利润反思与感悟对于二次函数模型，根据实际问题建立函数解析式后，可利用配方法、判别式法、换元法、函数的单调性等方法来求函数的最值，从而解决实际问题中的最值问题利用二次函数求最值时特别注意取得最值时的自变量与实际意义是否相符跟踪训练1某农家旅游公司有客房300间，每间日房租为20元，每天都客满公司欲提高档次，并提高租金，如果每间客房日租金增加2元，客房出租数就会减少10间若不考虑其他因素，旅社将房间租金提高到多少时，每天客房的租金总收入最高？解设客房日租金每间提高2x元，则每天客房出租数为30010x，由x0，且30010x0得：0x30，设客房租金总收入y元，则有：y(202x)(30
5、010x) 20(x10)28 000(0x30)由二次函数性质可知当x10时，ymax8 000.所以当每间客房日租金提高到2010240元时，客房租金总收入最高，为每天8 000元类型二对数函数模型的应用例21999年10月12日“世界60亿人口日”，提出了“人类对生育的选择将决定世界未来”的主题，控制人口急剧增长的紧迫任务摆在我们的面前(1)世界人口在此前40年内翻了一番，问每年人口平均增长率是多少？(2)我国人口在1998年底达到12.48亿，若将人口平均增长率控制在1%以内，我国人口在2008年底至多有多少亿？以下数据供计算时使用：数N1.0101.0151.0171.3102.00
6、0对数lg N0.004 30.006 50.007 30.117 30.301 0数N3.0005.00012.4813.1113.78对数lg N0.477 10.699 01.096 21.117 61.139 2解(1)设每年人口平均增长率为x，n年前的人口数为y，则y(1x)n60，当n40时，y30，即30(1x)4060，(1x)402，两边取对数，则40lg (1x)lg 2，lg (1x)0.007 525，1x1.017，得x1.7%.故每年人口平均增长率是1.7%.(2)依题意，y12.48(11%)10，得lg ylg 12.4810lg 1.011.139 2，y13
7、.78，故人口至多有13.78亿答每年人口平均增长率为1.7%,2008年人口至多有13.78亿反思与感悟1.解决应用题的基础是读懂题意，理顺数量关系，关键是正确建模，要注意数学模型中元素的实际意义2对数函数模型的一般表达式为：f(x)mlogaxn(m，n，a为常数，a0，a1)跟踪训练2燕子每年秋天都要从北方飞到南方过冬，研究燕子的科学家发现，两岁燕子的飞行速度可以表示为函数v5log2，单位是m/s，其中Q表示燕子的耗氧量(1)计算：燕子静止时的耗氧量是多少个单位？(2)当一只燕子的耗氧量是80个单位时，它的飞行速度是多少？解(1)由题意知，当燕子静止时，它的速度为0，代入题目所给公式可
8、得05log2.解得Q10，即燕子静止时的耗氧量为10个单位(2)将耗氧量Q80代入公式得：v5log25log2815 (m/s)，即当一只燕子耗氧量为80个单位时，速度为15 m/s.类型三选择函数的拟合问题例3某地区不同身高的未成年男性的体重平均值如表：身高/cm60708090100110120130140150160170体重/kg6.137.909.9012.1515.0217.5020.9226.8631.1138.8547.2555.05(1)根据表中提供的数据，能否建立恰当的函数模型，使它能比较近似地反映这个地区未成年男性体重y kg与身高x cm的函数关系？试写出这个函数模
9、型的解析式(2)若体重超过相同身高男性体重平均值的1.2倍为偏胖，低于0.8倍为偏瘦，那么这个地区一名身高为175 cm，体重为78 kg的在校男生的体重是否正常？解(1)以身高为横坐标，体重为纵坐标，画出散点图根据点的分布特征，可考虑以yabx作为刻画这个地区未成年男性的体重与身高关系的函数模型取其中的两组数据(70,7.90)，(160,47.25)，代入yabx得：，用计算器算得a2，b1.02.这样，我们就得到一个函数模型：y21.02x.将已知数据代入上述函数解析式，或作出上述函数的图象，可以发现，这个函数模型与已知数据的拟合程度较好，这说明它能较好地反映这个地区未成年男性体重与身高
10、的关系(2)将x175代入y21.02x得y21.02175, 由计算器算得y63.98.由于7863.981.221.2, 所以，这个男生偏胖反思与感悟依据问题给出的数据，建立反映数据变化规律的函数模型的探索方法：(1)首先建立直角坐标系，画出散点图；(2)根据散点图设出比较接近的可能的函数模型的解析式；(3)利用待定系数法求出各解析式；(4)对模型拟合程度进行检验，若拟合程度差，重新选择拟合函数，若拟合程度好，符合实际问题，就用这个函数模型解释实际问题跟踪训练3为了估计山上积雪融化后对下游灌溉的影响，在山上建立了一个观察站，测量最大积雪深度x与当年灌溉面积y.现有连续10年的实测资料，如表
11、所示年序最大积雪深度x(cm)灌溉面积y(公顷)115.228.6210.421.1321.240.5418.636.6526.449.8623.445.0713.529.2816.734.1924.045.81019.136.9(1)描点画出灌溉面积随积雪深度变化的图象；(2)建立一个能基本反映灌溉面积变化的函数模型，并画出图象；(3)根据所建立的函数模型，若今年最大积雪深度为25 cm，可以灌溉土地多少公顷？解(1)利用计算机几何画板软件，描点如图甲(2)从图甲中可以看到，数据点大致落在一条直线附近，由此，我们假设灌溉面积y和最大积雪深度x满足线性函数模型yabx.取其中的两组数据(10.
12、4,21.1)，(24.0,45.8)，代入yabx，得用计算器可得a2.4，b1.8.这样，我们得到一个函数模型：y2.41.8x.作出函数图象如图乙，可以发现，这个函数模型与已知数据的拟合程度较好，这说明它能较好地反映积雪深度与灌溉面积的关系(3)由y2.41.825，求得y47.4，即当积雪深度为25 cm时，可以灌溉土地47.4公顷1若每隔3年计算机价格降低，则现在价格为8 100元的计算机，9年后的价格可降为()A2 400元 B900元C300元 D3 600元答案A2某种电热水器的水箱盛满水是200升浴用时，已知每分钟放水34升，在放水的同时注水，t分钟注水2t2升，当水箱内水量
13、达到最小值时，放水自动停止现假定每人洗浴用水65升，则该热水器一次至多可供几人洗澡()A3 B4 C5 D6答案B解析设t分钟时水箱的水有y升，依题意有y2002t234t，当t8.5时，y有最小值，共放水289升，可供4人洗澡3某种商品第一年提价25%，第二年欲恢复成原价，则应降价()A30% B25% C20% D15%答案C4某电信公司推出两种手机收费方式：A种方式是月租20元，B种方式是月租0元一个月的本地网内打出电话时间t(分钟)与打出电话费s(元)的函数关系如图，当打出电话150分钟时，这两种方式电话费相差()A10元 B20元 C30元 D.元答案A5一个高为H，盛水量为V0的水
14、瓶的轴截面如图所示，现以均匀速度往水瓶中灌水，直到罐满为止，如果水深h时水的体积为V，则函数Vf(h)的图象大致是()答案D1函数模型的应用实例主要包括三个方面(1)利用给定的函数模型解决实际问题；(2)建立确定的函数模型解决问题；(3)建立拟合函数模型解决实际问题2函数拟合与预测的一般步骤(1)能够根据原始数据、表格，绘出散点图(2)通过考察散点图，画出“最贴近”的直线或曲线，即拟合直线或拟合曲线如果所有实际点都落到了拟合直线或曲线上，滴“点”不漏，那么这将是个十分完美的事情，但在实际应用中，这种情况是一般不会发生的因此，使实际点尽可能均匀分布在直线或曲线两侧，使两侧的点大体相等，得出的拟合
15、直线或拟合曲线就是“最贴近”的了(3)根据所学函数知识，求出拟合直线或拟合曲线的函数关系式(4)利用函数关系式，根据条件对所给问题进行预测和控制，为决策和管理提供依据一、选择题1根据统计，一名工人组装第x件某产品所用的时间(单位：分钟)为f(x)(A，c为常数)已知工人组装第4件产品用时30分钟，组装第A件产品用时15分钟，那么c和A的值分别是()A75,25 B75,16C60,25 D60,16答案D解析由函数解析式可以看出，组装第A件产品所需时间为15，故组装第4件产品所需时间为30，解得c60，将c60代入15，得A16.2衣柜里的樟脑丸，随着时间会挥发而体积缩小，刚放进的新丸体积为a
16、，经过t天后体积V与天数t的关系式为：Vaekt.已知新丸经过50天后，体积变为a.那么一个新丸体积变为a，需经过的天数为()A125 B100 C75 D50答案C解析由已知，得aae50k，ek.设经过t1天后，一个新丸体积变为a，则aae ，(ek)，t175.3某地区植被破坏、土地沙化越来越严重，最近三年测得沙漠增加值分别为0.2万公顷、0.4万公顷和0.76万公顷，则下列函数中与沙漠增加数y万公顷关于年数x的函数关系较为相似的是()Ay0.2x By(x22x)Cy Dy0.2log16x答案C解析将(1,0.2)，(2,0.4)，(3,0.76)与x1,2,3时，选项A、B、C、D
17、中得到的y值做比较，y的y值比较接近，故选C.4一种商品在销售收入不变的条件下，其销量y与价格x之间的关系图最可能是下图中的()答案C解析销售收入不变，xyc(定值)，y.5某债券市场发行三种债券，甲种面值为100元，一年到期本息和为103元；乙种面值为50元，一年到期本息和为51.4元；丙种面值为100元，但买入价为97元，一年到期本息和为100元作为购买者，分析这三种债券的收益，从小到大排列为()A乙甲丙 B甲丙乙C甲乙丙 D丙甲乙答案A解析三者的增长率分别为甲：；乙：；丙：.乙甲30，正确，当y4时，由42t1知t12，当y12时，由122t2知t2log2122log23.t2t1lo
18、g231.5，故错误；浮萍每月增长的面积不相等，实际上增长速度越来越快，错误三、解答题11设某企业每月生产电机x台，根据企业月度报表知，每月总产值m(万元)与总支出n(万元)近似地满足下列关系：mx，nx25x，当mn0时，称不亏损企业；当mn0，所以x4.故企业要成为不亏损企业，每月至少要生产4台电机(2)若企业亏损最严重，则nm取最大值因为nmx25xx(x1)29(x1)2.所以当x1时，nm取最大值，此时m.故当月总产值为万元时，企业亏损最严重，最大亏损额为万元12根据市场调查，某种商品在最近的40天内的价格f(t)与时间t满足关系f(t)(tN)，销售量g(t)与时间t满足关系g(t
19、)t(0t40，tN)求这种商品的日销售额(销售量与价格之积)的最大值解据题意，商品的价格随时间t变化，且在不同的区间0t20与20t40上，价格随时间t的变化的关系式也不同，故应分类讨论设日销售额为F(t)当0t20，tN时，F(t)(t11)(t)(t)2(946)，故当t10或11时，F(t)max176.当20t40，tN时，F(t)(t41)(t)(t42)2，故当t20时，F(t)max161.综合知当t10或11时，日销售额最大，最大值为176.13某地政府招商引资，为吸引外商，决定第一年产品免税某外资厂该年A型产品出厂价为每件60元，年销售量为11.8万件，第二年，当地政府开始
20、对该商品征收税率为p%(0p100，即销售100元要征收p元)的税收，于是该产品的出厂价上升为每件元，预计年销售量将减少p万件(1)将第二年政府对该商品征收的税收y(万元)表示成p的函数，并指出这个函数的定义域；(2)要使第二年该厂的税收不少于16万元，则p的取值范围是多少？(3)在第二年该厂的税收不少于16万元的前提下，要让厂家获得最大销售金额，则p应为多少？解(1)依题意知，第二年该商品年销售量为(11.8p)万件，年销售收入为(11.8p)万元，政府对该商品征收的税收y(11.8p)p%(万元)故所求函数为y(11.8p)p.由11.8p0及p0，得函数定义域为p|0p11.8(2)由y16得(11.8p)p16，化简得p212p200，即(p2)(p10)0，解得2p10，故当2p10时，税收不少于16万元(3)第二年，当税收不少于16万元时，厂家的销售收入为g(p)，则g(p)(11.8p)(2p10)，g(p)(11.8p)800在区间2,10上是减函数，g(p)maxg(2)800，故当p2时，厂家销售金额最大
