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1、第3课时导数在不等式中的应用考点一构造函数证明不等式【例1】 已知函数f(x)1，g(x)xln x.(1)证明：g(x)1；(2)证明：(xln x)f(x)1.证明(1)由题意得g(x)(x0)，当0x1时，g(x)1时，g(x)0，即g(x)在(0，1)上是减函数，在(1，)上是增函数.所以g(x)g(1)1，得证.(2)由f(x)1，得f(x)，所以当0x2时，f(x)2时，f(x)0，即f(x)在(0，2)上是减函数，在(2，)上是增函数，所以f(x)f(2)1(当且仅当x2时取等号).又由(1)知xln x1(当且仅当x1时取等号)，且等号不同时取得，所以(xln x)f(x)1.
2、规律方法1.证明不等式的基本方法：(1)利用单调性：若f(x)在a，b上是增函数，则xa，b，有f(a)f(x)f(b)，x1，x2a，b，且x1x2，有f(x1)f(x2).对于减函数有类似结论.(2)利用最值：若f(x)在某个范围D内有最大值M(或最小值m)，则xD，有f(x)M(或f(x)m).2.证明f(x)g(x)，可构造函数F(x)f(x)g(x)，证明F(x)g(x)max，则f(x)g(x)”证明不等式【例2】 已知函数f(x)xln xax.(1)当a1时，求函数f(x)在(0，)上的最值；(2)证明：对一切x(0，)，都有ln x1成立.(1)解函数f(x)xln xax的
3、定义域为(0，).当a1时，f(x)xln xx，f(x)ln x2.由f(x)0，得x.当x时，f(x)时，f(x)0.所以f(x)在上单调递减，在上单调递增.因此f(x)在x处取得最小值，即f(x)minf，但f(x)在(0，)上无最大值.(2)证明当x0时，ln x1等价于x(ln x1).由(1)知a1时，f(x)xln xx的最小值是，当且仅当x时取等号.设G(x)，x(0，)，则G(x)，易知G(x)maxG(1)，当且仅当x1时取到，从而可知对一切x(0，)，都有f(x)G(x)，即ln x1.规律方法1.在证明不等式中，若无法转化为一个函数的最值问题，则可考虑转化为两个函数的最
4、值问题.2.在证明过程中，等价转化是关键，此处f(x)ming(x)max恒成立.从而f(x)g(x)，但此处f(x)与g(x)取到最值的条件不是同一个“x的值”.【训练2】 已知三次函数f(x)的导函数f(x)3x23且f(0)1，g(x)xln x(a1).(1)求f(x)的极值；(2)求证：对任意x1，x2(0，)，都有f(x1)g(x2).(1)解依题意得f(x)x33x1，f(x)3x233(x1)(x1)，知f(x)在(，1)和(1，)上是减函数，在(1，1)上是增函数，所以f(x)极小值f(1)3，f(x)极大值f(1)1.(2)证明易得x0时，f(x)最大值1，由a1知，g(x
5、)xln x(x0)，令h(x)xln x(x0)，则h(x)ln x1ln x，注意到h(1)0，当x1时，h(x)0；当0x1时，h(x)0，即h(x)在(0，1)上是减函数，在(1，)上是增函数，h(x)最小值h(1)1，即g(x)最小值1.综上知对任意x1，x2(0，)，都有f(x1)g(x2).考点三不等式恒成立或有解问题多维探究角度1不等式恒成立求参数【例31】 已知函数f(x)(x0).(1)判断函数f(x)在区间上的单调性；(2)若f(x)a在区间上恒成立，求实数a的最小值.解(1)f(x)，令g(x)xcos xsin x，x，则g(x)xsin x，显然，当x时，g(x)x
6、sin x0，即函数g(x)在区间上单调递减，且g(0)0.从而g(x)在区间上恒小于零，所以f(x)在区间上恒小于零，所以函数f(x)在区间上单调递减.(2)不等式f(x)a，x恒成立，即sin xax0恒成立.令(x)sin xax，x，则(x)cos xa，且(0)0.当a1时，在区间上(x)0，即函数(x)单调递减，所以(x)(0)0，故sin xax0恒成立.当0a0，故(x)在区间(0，x0)上单调递增，且(0)0，从而(x)在区间(0，x0)上大于零，这与sin xax0，即函数(x)单调递增，且(0)0，得sin xax0恒成立，这与sin xax0，f(x)是增函数；当x(1
7、，)时，f(x)0，f(x)是减函数；所以x1为函数f(x)的极大值点，且是唯一极值点，所以0a1a，故a0，所以g(x)是增函数，所以g(x)g(1)2，故k2，即实数k的取值范围是(，2.角度2不等式能成立求参数的取值范围【例32】 已知函数f(x)x2(2a1)xaln x(aR).(1)若f(x)在区间1，2上是单调函数，求实数a的取值范围；(2)函数g(x)(1a)x，若x01，e使得f(x0)g(x0)成立，求实数a的取值范围.解(1)f(x)，当导函数f(x)的零点xa落在区间(1，2)内时，函数f(x)在区间1，2上就不是单调函数，即a(1，2)，所以实数a的取值范围是(，12
8、，).(2)由题意知，不等式f(x)g(x)在区间1，e上有解，即x22xa(ln xx)0在区间1，e上有解.因为当x1，e时，ln x1x(不同时取等号)，xln x0，所以a在区间1，e上有解.令h(x)，则h(x).因为x1，e，所以x222ln x，所以h(x)0，h(x)在1，e上单调递增，所以x1，e时，h(x)maxh(e)，所以a，所以实数a的取值范围是.规律方法1.含参数的能成立(存在型)问题的解题方法af(x)在xD上能成立，则af(x)min；af(x)在xD上能成立，则af(x)max.2.含全称、存在量词不等式能成立问题(1)存在x1A，任意x2B使f(x1)g(x
9、2)成立，则f(x)maxg(x)max；(2)任意x1A，存在x2B，使f(x1)g(x2)成立，则f(x)ming(x)min.【训练4】 已知函数f(x)m2ln x(mR)，g(x)，若至少存在一个x01，e，使得f(x0)g(x0)成立，求实数m的取值范围.解依题意，不等式f(x)g(x)在1，e上有解， mx2ln x在区间1，e上有解，即能成立.令h(x)，x1，e，则h(x).当x1，e时，h(x)0，h(x)在1，e上是增函数，h(x)的最大值为h(e).由题意，即m时，f(x)0f(x)min0；xD，f(x)0f(x)max0f(x)max0；xD，f(x)0f(x)mi
10、n0)，当且仅当x1时，等号成立.(2)指数形式：exx1(xR)，当且仅当x0时，等号成立.进一步可得到一组不等式链：exx1x1ln x(x0，且x1).【例1】 (1)已知函数f(x)，则yf(x)的图象大致为()解析因为f(x)的定义域为即x|x1，且x0，所以排除选项D.当x0时，由经典不等式x1ln x(x0)，以x1代替x，得xln(x1)(x1，且x0)，所以ln(x1)x1，且x0)，即x0或1x0时均有f(x)0，排除A，C，易知B正确.答案B(2)已知函数f(x)ex，xR.证明：曲线yf(x)与曲线yx2x1有唯一公共点.证明令g(x)f(x)exx2x1，xR，则g(
11、x)exx1，由经典不等式exx1恒成立可知，g(x)0恒成立，所以g(x)在R上为单调递增函数，且g(0)0.所以函数g(x)有唯一零点，即两曲线有唯一公共点.【例2】 (2017全国卷改编)已知函数f(x)x1aln x.(1)若f(x)0，求a的值；(2)证明：对于任意正整数n， e.(1)解f(x)的定义域为(0，)，若a0，因为faln 20，由f(x)1知，当x(0，a)时，f(x)0；所以f(x)在(0，a)单调递减，在(a，)单调递增，故xa是f(x)在(0，)的唯一最小值点.因为f(1)0，所以当且仅当a1时，f(x)0，故a1.(2)证明由(1)知当x(1，)时，x1ln
12、x0.令x1，得ln.从而lnlnln11.故e.【例3】 设函数f(x)ln xx1.(1)讨论f(x)的单调性；(2)求证：当x(1，)时，1x.(1)解由题设知，f(x)的定义域为(0，)，f(x)1，令f(x)0，解得x1.当0x0，f(x)在(0，1)上单调递增；当x1时，f(x)0，f(x)在(1，)上单调递减.(2)证明由(1)知f(x)在x1处取得最大值，最大值为f(1)0.所以当x1时，ln xx1.故当x(1，)时，ln x1.因此ln ，x.故当x(1，)时恒有1x.基础巩固题组(建议用时：35分钟)一、选择题1.(2019海南一模)函数f(x)ln xa的导数为f(x)
13、，若方程f(x)f(x)的根x0小于1，则实数a的取值范围为()A.(1，) B.(0，1)C.(1，) D.(1，)解析由函数f(x)ln xa可得f(x)，x0使f(x)f(x)成立，ln x0a，又0x01，ln x01.答案A2.(2019济南调研)已知a为常数，函数f(x)x(ln xax)有两个极值点x1，x2(x10，f(x2)B.f(x1)0，f(x2)0，f(x2)D.f(x1)解析f(x)ln x2ax1，依题意知f(x)0有两个不等实根x1，x2，即曲线y1ln x与直线y2ax有两个不同交点，如图.由直线yx是曲线y1ln x的切线，可知：02a1，0x11x2，a.由
14、0x11，得f(x1)x1(ln x1ax1)0，当x1x0，f(x2)f(1)a.答案D二、填空题3.若对任意a，b满足0abt，都有bln aaln b，则t的最大值为_.解析0abt，bln aaln b，0，解得0xe，故t的最大值是e.答案e4.函数f(x)x2sin x，对任意的x1，x20，恒有|f(x1)f(x2)|M，则M的最小值为_.解析f(x)x2sin x，f(x)12cos x，当0x时，f(x)0，f(x)单调递减；当x0，f(x)单调递增；当x时，f(x)有极小值，即最小值，且f(x)minf2sin .又f(0)0，f()，f(x)max.由题意得|f(x1)f
15、(x2)|M等价于M|f(x)maxf(x)min|.M的最小值为.答案三、解答题5.已知f(x)(1x)ex1.(1)求函数f(x)的最大值；(2)设g(x)，x1且x0，证明：g(x)0，f(x)单调递增；当x(0，)时，f(x)0时，f(x)0，g(x)01.当1x0时，g(x)x.设h(x)f(x)x，则h(x)xex1.当x(1，0)时，0x1，0ex1，则0xex1，从而当x(1，0)时，h(x)0，h(x)在(1，0)上单调递减.当1xh(0)0，即g(x)1且x0时总有g(x)1.6.已知函数f(x)x3ax210.(1)当a1时，求曲线yf(x)在点(2，f(2)处的切线方程
16、；(2)在区间1，2内至少存在一个实数x，使得f(x)x至少有一个实数x使之成立，即a.设g(x)x(1x2)，则g(x)1，因为1x2，所以g(x)，即a的取值范围是.能力提升题组(建议用时：25分钟)7.(2019北京延庆区调研)已知函数f(x)xln x(x0).(1)求f(x)的单调区间和极值；(2)若对任意x(0，)，f(x)恒成立，求实数m的最大值.解(1)由f(x)xln x(x0)，得f(x)1ln x，令f(x)0，得x；令f(x)0，得0x0)，则g(x)，由g(x)0x1，由g(x)00x0，证明(ex1)ln(x1)x2.(1)证明当a0时，f(x)ex1x，f(x)e
17、x1.当x(，0)时，f(x)0.故f(x)在(，0)上单调递减，在(0，)上单调递增，f(x)minf(0)0，f(x)0.(2)解f(x)ex12ax，令h(x)ex12ax，则h(x)ex2a.当2a1，即a时，在0，)上，h(x)0，h(x)单调递增，h(x)h(0)，即f(x)f(0)0，f(x)在0，) 上为增函数，f(x)f(0)0，当a时满足条件.当2a1，即a时，令h(x)0，解得xln (2a)，在0，ln (2a)上，h(x)0，h(x)单调递减，当x(0，ln (2a)时，有h(x)h(0)0，即f(x)f(0)0，f(x)在区间(0，ln (2a)上为减函数，f(x)0时，ex1x，即ex1x，欲证不等式(ex1)ln(x1)x2，只需证ln(x1).设F(x)ln(x1)，则F(x).当x0时，F(x)0恒成立，且F(0)0，F(x)0恒成立.原不等式得证.
