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1、授课主题：一元二次方程的应用针对的学生年级：江苏初三学生中上等拔高类型教材分析：一元二次方程是中学数学的重要内容之一，在初中数学中占有重要的地位，其中一元二次方程的应用在初中数学应用问题中极具代表性，它是一元一次方程的继续，又是函数学习的基础，它是研究现实世界数量关系和变化规律的重要数学模型。中考形式：一元二次方程的应用是中考数学重点考查的内容之一，它的试题背景与二元一次方程组的应用、简单分式方程的应用、一元一次方程的应用一样，随着改革的继续而更富有时代的气息，更宣于生活化，更贴近学生的实际.【学习目标】1.能根据具体问题中的数量关系，列出一元二次方程，体会方程是刻画现实世界的一个有效的数学模
2、型2.能根据具体问题的实际意义，检验结果是否合理【教学重点】列一元二次方程解有关传播问题、平均变化率问题、图形的面积问题、商品利润类、几何图形运动类的应用题【教学难点】发现传播问题、平均变化率问题、图形的面积问题、商品利润类、几何图形运动类等问题的等量关系。【学习过程】一、知识回顾1、解一元二次方程都是有哪些方法？3.列一元二次方程解应用题又有哪些步骤呢？解一元二次方程的数学应用题的一般步骤（5） 找找出题中的等量关系（6） 设设未知数（7） 列列出方程，即根据找出的等量关系列出含有未知数的等式（8） 解解出所列的方程（9） 验将方程的解代入方程中检验，回到实际问题中检验（10） 答作答下结论
3、 应用1：传播问题问题1：有一人患了流感，经过两轮传染后共有121人患了流感，每轮传染中平均一个人传染了几个人？分析：设每轮传染中平均一个人传染了x个人，那么患流感的这一个人在第一轮中传染了_人，第一轮后共有_人患了流感；第二轮传染中，这些人中的每个人又传染了_人，第二轮后共有_人患了流感。则：列方程 ，解得 即平均一个人传染了 个人。思考：如果按照这样的传染速度，三轮后有多少人患流感？巩固练习1.某种电脑病毒传播非常快，如果一台电脑被感染，经过两轮感染后就会有81台电脑被感染请你用学过的知识分析，每轮感染中平均一台电脑会感染几台电脑？若病毒得不到有效控制，3轮感染后，被感染的电脑会不会超过7
4、00台？2.某种植物的主干长出若干数目的支干，每个支干又长出同样数目的小分支，主干、支干和小分支的总数是91，求每个支干长出多少小分支？应用2：有关平均变化率问题的应用题此类问题是在某个数据的基础上连续增长（降低）两次得到的新的数据。常见的等量关系是：a=b，其中b为增长（或降低）后的数量，a为增长（或降低）前的基数，为增长率（降低率）。例1：两年前生产1吨甲种药品的成本是5000元，生产1吨乙种药品的成本是6000元，随着生产技术的进步，现在生产1吨甲种药品的成本是3000元，生产1吨乙种药品的成本是3600元，哪种药品成本的年平均下降率较大？解：设甲种药品成本的年平均下降率为x，则一年后甲
5、种药品成本为 元，两年后甲种药品成本为 元 依题意，得 解得：x1 ，x2 。根据实际意义，甲种药品成本的年平均下降率约为 。设乙种药品成本的平均下降率为y则，列方程： 解得： 答：两种药品成本的年平均下降率 思考：经过计算，你能得出什么结论？成本下降额较大的药品，它的下降率一定也较大吗？应怎样全面地比较几个对象的变化状态？变式练习：例：某印刷厂元月份印刷课本30万册，第一季度共印了150万册，问2、3月份平均每月的增长率是多少？分析：本题的关键是应用形如a=b形式的问题，但要注意不能盲目套公式，此题没有直接给出增长后的数据，而是直接给出了第一季度印刷的总数量，所以使用的等量关系是：元月份印刷
6、数量30万册2月份印刷数量303月份印刷数量30=150万册解：设2、3月份平均增长率为，则303030=150解得，1=3.56（舍去）2=0.56=56%答：略中考真题：（2014云南昆明）某果园2011年水果产量为100吨，2013年水果产量为144吨，求该果园水果产量的年平均增长率，设该果园水果产量的年平均增长率为x，则根据题意可列方程为A B、 C、 D、应用3：数字问题根据数字问题列方程，只要根据题目中给出的相等关系列出方程即可，但要注意两位数或三位数的表示方式。两位数=（十位数字）10（个位数字）三位数=（百位数字）100（十位数字）10（个位数字）例：一个两位数，十位数字与个位
7、数字之和是5，把这个数的个位数字与十位数字对调后，所得的新的两位数与原来的两位数的乘积是736，求原来的两位数。分析：题中等量关系比较明显，所以两位数与原来的两位数的乘积是736,正确列出方程的关键是熟练掌握用字母表示两位数的方法。两位数=（十位数字）10（个位数字）。解：设原来两位数的十位数字为，则个位数字为（5）。根据题意，得10（5）10（5）=736整理，得56=0，1=2，2=3。当=2时，5=3符合题意，原来的两位数是23；当=3时，5=2符合题意，原来的两位数是32。答：原来的两位数是23或32。应用4：有关特殊图形问题的应用题面积公式是此类问题的等量关系。例： 几何图形的面积问
8、题面积公式是此类问题的等量关系。例：如图11所示，某小区规划在一个长为40m，宽为26m的矩矩形场地ABCD上修建三条同样宽的道路，使其中两条与AB平行，另一条与AD平行，其余部分种草，若使每一块草坪的面积都是144，则道路的宽是多少米? 分析：（1）设路的宽为m，那么道路所在的面积（402622），于是六块草坪的面积为4026（402622），根据题意，得4026（402622）=1446（2）将图11所示中的三条道路分别向上和向左、向右平移图12的位置，若设宽为m，则草坪的总面积为（402）（26）所列方程为（402）（26）=1446解法1：设道路的宽为m，则根据题意，得4026（402
9、622）=1446整理，得4688=0，解得1=44（舍去），2=2解法2：设道路的宽为m，则根据题意，得（402）（26）=1446解得，1=44（舍去），2=2答：略 勾股定理问题：勾股定理是此类问题的等量关系。例：如图21 两只蚂蚁从A点出发，分别沿正北，正东方向爬，甲的速度为每分钟6cm，乙的速度为每分钟8cm，几分钟后，两只蚂蚁相距20cm?分析：假设t分钟后相距20cm，那么甲所爬的距离为6tcm，乙所爬的距离为8tcm，甲乙所爬的距离正好是两个直角边，相距20cm正好是两直角边所对的斜边，此题可用勾股定理作等量关系列方程。解：设t分钟后，相距20cm，由题意得：整理，得 400，
10、2，2（不合题意，舍去）答：略变式1：用一块长方形的铁片，把它的四角各自剪去一个边长是4cm的小方块，然后把四边折起来，做成一个没有盖的盒子，已知铁片的长是宽的2倍，做成盒子的容积是1536,求这块铁片的长和宽变式2：如图所示，在宽为20m，长为32m的矩形耕地上，修筑三条同样宽的耕处道路，使其中两条与AB平行，另一条与AD平行，要使耕地面积504，道路宽应为多少？变式3：如图3-9-2所示要建一个面积为150m2的长方形养鸡场,为了节约材料,鸡场的一边靠着原有的一条墙,墙长为m,另三边用竹篱笆围成,已知篱笆总长为35m.(1)求鸡场的长与宽各为多少米?(2)题中的墙长度m对题目的解起着怎样的
11、作用? 变式4：如图3-9-13，所示一个农户用24m长的篱笆围成一排一面靠墙、大小相等且彼此相连的三个矩形鸡舍.要使三个鸡舍的总面积为36m2,求每个鸡舍的长和宽.中考真题（2014浙江省丽水市）如图，某小区规划在一个长30m、宽20m的长方形ABCD上修建三条同样宽的通道，使其中两条与AB平行，另一条与AD平行，其余部分种花草要使每一块花草的面积都为78，那么通道的宽应设计成多少m？设通道的宽为xm，由题意列得方程_应用5：商品利润类例题4：上海市百货商店服装柜在销售中发现:“宝乐”牌童装平均每天可售出20件，每件盈利40元，为了迎接“六一”国际儿童节，商场决定采取适当的降价措施，扩大销售
12、量，增加盈得，减少库存，经市场调查发现：如果每件童装每降价4元，那么平均每天就可多售出8件，要想平均每天在销售这种童装上盈得1200元，那么每件童装应降价多少元？等量关系式为：童装平均每天售出的件数每件盈利=每天销售这种童装利润分析：假设每件衬衫应降价元，现每件盈利为（40）元，现每天销售衬衫为（202）件，根据等量关系：解：设每件童装应降价x元， 利用童装平均每天售出的件数每件盈利=每天销售这种童装利润 的等量关系列出方程解答即可.得: 因为商家为了扩大销售量，增加盈利，尽快减少库存，所以 答：每件童装应降价20元。小结：销售问题的等量关系：单件的销售利润=售价-进价；总利润=单件的销售利润
13、X销售量注意：单件的销售利润一定是售价-进价，不是用标价-进价。变式1：工艺商场按标价销售某种工艺品时，每件可获利45元；按标价的八五折销售该工艺品8件与将标价降低35元销售该工艺品12件所获利润相等.（1）该工艺品每件的进价、标价分别是多少元？（2）若每件工艺品按（1）中求得的进价进货，标价售出，工艺商场每天可售出该工艺品100件若每件工艺品降价 1元，则每天可多售出该工艺品4件问每件工艺品降价多少元出售，可使每天获得的利润达到4900元？变式2：将进货单价为40元的商品按50元售出时，就能卖出500个.已知这种商品每个涨价1元，其销售量就减少 10个，问为了赚得8000元的利润，售价应定为
14、多少？这时应进货多少个？变式3：某商店从厂家以每件21元的价格购进一批商品，该商店可以自行定价，若每件商品售价为元，则可卖出 件，但物价局限定每次商品加价不能超过进价的20%，商店计划要赚400元，需要卖了多少件商品？ 每件商品应售价多少元？应用6：几何图形运动类此类问题是一般几何题的延伸，要学会用运动的观点看问题，根据条件设出未知数，应想办法把图中变化的线段用未知数表示出来，再根据题中给出的等量关系（可以是图形的面积、勾股定理等）列出方程。例：如图31所示，在ABC中，B=90，点P从A点开始沿AB向B点以1cm/s的速度移动，点Q从点B开始沿BC边向点C以2cm/s的速度移动，如果点P、Q
15、分别从A，B同时出发，经过几秒钟，使PQB的面积等于8cm2？分析：设经过s，点P在AB上移动后所剩的距离PB为（6）cm点Q在BC上移动的距离BQ为2cm因此，可根据三角形面积公式列方程来求解解：设经过s，点P在AB上，点Q在BC上，且使PBQ面积为8根据题意，得 （6）2=868=0，解得1=2，2=4经2s，点P在离A点12=2（cm）处；点Q在离B点22=4（cm）处。经4s点P在离A点14=4（cm）处，点Q在离B点24=8（cm）处，所以它们都符合要求。答：略变式1：已知：如图3-9-3所示，在中，.点从点开始沿边向点以1cm/s的速度移动，点从点开始沿边向点以2cm/s的速度移动
16、.（1）如果分别从同时出发，那么几秒后，的面积等于4cm2？（2）如果分别从同时出发，那么几秒后，的长度等于5cm？（3）在（1）中，的面积能否等于7cm2?说明理由.变式2：如图3-9-10，等腰Rt中，动点从点出发，沿向点移动.通过点引平行于、的直线与、分别交于点、，问：等于多少厘米时，平行四边形的面积等于16cm2？课后总结：1.这节课你都学到了什么？ 2.列一元二次方程解应用题的几种典型问题的等量关系你会找了吗？小结：面积问题公式：矩形=长X宽注意：寻找图形是什么图形？再根据具体的图形的面积公式去寻找其等量关系。销售问题的等量关系：单件的销售利润=售价-进价；总利润=单件的销售利润X销
17、售量注意：单件的销售利润一定是售价-进价，不是用标价-进价。解一元二次方程的数学应用题的一般步骤找找出题中的等量关系设设未知数列列出方程，即根据找出的等量关系列出含有未知数的等式解解出所列的方程验将方程的解代入方程中检验，回到实际问题中检验答作答下结论 注意：用一元二次方程解决实际问题时，一定要注意检验所得的解是否符合实际意义，不合题意的解一定要舍去。课后作业： 一、填空题1、（09中考填空题14）某商品的原价为100元，如果经过两次降价，且每次降价的百分率都是，那么该商品 现在的价格是 元（结果用含的代数式表示）2 某工厂七月份的产值是100万元，计划九月份的产值要达到144万元，每月的增长
18、率相同.设这个增长率为，依 据题意可以列出方程 .3有一块面积为1000平方米的长方形草地，它的长比宽多30米，那么这块草地的宽为_20_米.4如果三角形的面积为12cm2，一条边比这条边上的高短2cm，那么这条边的长度等于 4 cm5某种型号的书包原价为a元，如果连续两次以相同的百分率x降价，那么两次降价后的价格为_元（用含a和x的代数式表示）.6如图，在工地一边的靠墙处，用120米长的铁栅栏围一个所占地面积为2000平方米的长方形临时仓库，并在其中 一边上留宽为3米的大门，设无门的那边长为米根据题意，可建立关于的方程 7.在正方形ABCD中，E是边BC上一点，如果这个正方形的面积为m，AB
19、E的面积等于正方形面积的四分之一， 那么BE的长用含m的代数式表示为 8如果在直角三角形中，一个锐角是另一个锐角的3倍，那么这个三角形中最小的一个角等于 22.5 度9、长方形的面积为10平方厘米，长比宽的2倍少1，设长方形的宽为x厘米，则据题意可列出方程是_10某工厂七月份的产值是100万元，计划九月份的产值要达到144万元，每月的增长率相同.设这个增长率为，依据题意可以列出方程 .二、应用题1如图，某小区在一个长为40米，宽为26米的长方形ABCD场地上修建三条同样宽度的道路，其中两条道路与AB平行，另一条道路与AD平行，其余部分铺设草坪如果每一块草坪的面积都是144平方米，求道路的宽度答
20、案：14米2、如图2，在一块长为米、宽为米的长方形空地上，修建两个底部是长方形且底部面积为平方米的小楼房，其余部分铺成硬化路面，如图所示，若要求这些硬化路面的宽都相等(设为米)，求硬化路面的宽.小楼房小楼房 图2（1） 某种型号的手机六月份的售价为2000元，连续两次降价后，现售价为1280元如果每次降价的百分率相同，求这个百分率4某地区环保局在检查该地区某铝厂时发现，该厂污水严重影响周围环境，要求作定期整改，据估测，该厂年排放污水量为36万吨，接到通知后，该厂决定分两期投入治理，一方面对排放的污水进行处理，同时使得处理后的污水年排放量减少到17.64万吨，如果每期治理中污水减少的百分率相同。 （1）求每期减少的百分率为多少？ 30% （2）如果第一期治理中每减少排放1万吨污水，需投入2万元，第二期每减少排放1吨污水，需投入3万元，问 预计两期治理共需多少万元？44.285某种型号的优盘经过两次降价后，每只由原来的200元下降至128元，求这种型号的优盘平均每次降价的百分率6某种产品原来每件价格为800元，受2008年经济大环境的影响，曾先后经过两次降价，且每次降价的百分率相同，现在每件售价为578元，求每次降价的百分率.
