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1、自适应模拟退火法原理及其在电磁场逆问题中的应用1 逆问题的数学模型电磁场(正)问题是指已知电磁装置的源参数、结构参数和媒质性能参数，求解电磁场信息(如场值分布)及电磁装置的相关特性(如静态特性和动态特性)。电磁场逆问题是根据给定的电磁场信息和相关特性求解电磁装置的源参数、结构参数和媒质性能参数。电磁场逆问题的理论和方法是以电磁场(正)问题的理论和方法为基础，但它又有自己的特点，如带有约束条件、解的不适定性和采用优化计算，尤其是全局优化方法等。正是由于这些特点，使得电磁场逆问题求解的复杂性大大增加。1991年在意大利举行的第八届国际电磁场计算会议(COMPUMAG91)上，电磁场逆问题、耦合问题
2、和并行计算被列为电磁场领域三大鼓励性研究问题，至今，电磁场逆问题（即电磁场优化问题）和耦合问题仍然是国际电磁场界研究的热门课题。国内是从1993年开始这项研究工作，目前已取得阶段性研究成果。解决一个电磁场逆问题，首先建立它的数学模型，其次对数学模型进行分析、求解。从数学角度说，电磁场逆问题就是最优化问题，其数学模型一般归结为式(1)表达的最优化问题数学模型:min f(X), X=(x1 ,x2 ,xn )T sub to gi (X)0, i=1,2,l (1) hk (X)= 0, k=1,2,m, mn求解逆问题的方法分为直接解法和间接解法。直接解法是指在逆问题数学模型中，目标函数是设计
3、变量的显函数，可通过直接求解目标函数导数或优化获得逆问题的解。间接解法需进行两方面工作：一是电磁场数值计算；二是优化，尤其是采用全局优化方法求出逆问题的全局最优解。电磁场数值计算主要采用的数值计算方法有差分法、有限元法、边界元法、等效源法和组合法等，具体选用哪一种方法比较合理，应根据待求场的维数、边界及媒质分界面的形状和计算精度要求等因素来决定。优化工作关键在于选择优化方法。目前采用的优化方法除了局部优化方法外，更重要的是全局优化方法，如模拟退火法(Simulated Annealing)、模拟进化法(Simulated Evolution)和神经网络法(Neural Network)等。一种
4、好的全局优化方法必须具备两个条件：一是具有找到全局最优解的性质；二是收敛速度尽可能快。对现有全局优化方法进行改进以提高收敛速度，或者探索新的全局优化方法，是电磁场逆问题研究的一个重要方面。2 自适应模拟退火法2.1 模拟退火法基本思想模拟退火法来源于热力学中的退火过程。当一个系统的温度以足够慢的速度下降时, 系统近似处于热平衡状态, 最后达到系统本身的最低能量状态。模拟退火法是一种随机优化方法，其迭代过程如下：设fi 和fi+1 分别为目标函数第i和i+1次的计算值，如果fi+1 fi ，则设计点Xi+1 可能被接受，具体要根据式(2)和0,1上的伪随机数r来确定。如果rfi时，fi+1fi的
5、估计值预先是无法确定的，只知道0fi+1fi fi(i=1，2，m1)的次数为N1(0)，在fi+1 fi的N1次中，r1，则说明Ti偏大，Ti+1的下降率就应该比预先给定的大些；如果N2/N1c1 (5)x2 c2x3 0g(X)1003.3 优化结果的分析比较模拟退火法优化结果 表1i12345678910Ti30000.026733.323466.720200.016933.313666.710400.07133.33866.7600.0N2/N12/22/42/32/25/55/73/58/134/93/11最优解xmin1 =57.3mm，xmin2 =81.4mm，xmin3 =3
6、1.9mm，fmin =59970.4mm3 优化时间36.5 hours 自适应模拟退火法优化结果 表2i1234567Ti30000.023466.720200.016933.313666.77133.3600.0N2/N12/22/34/63/67/86/73/8最优解xmim1 =57.5mm，xmin2 =80.8mm，xmin3 =32.4mm，fmin =59995.2mm3优化时间25 hours在模拟退火法中，当控制参数T0或预先给定的某个理想数值时，模拟退火法的最优点X*才能成为其邻域中的极小点，但由于受到计算机速度和计算时间等实际因素的影响，X*往往不是其邻域中的极小点，
7、为此在模拟退火法之后，需采用局部最优化方法，以X*为初始点，做进一步优化。给定A，B，X0，Nt，Nrp，T，0u1，且f0=f(x0)，Xmin=X0，fmin=f0YYYYYNNNNrpff0K=1在1，1上产生随机数R，使X=X0+R*S满足结构尺寸等约束，并计算f(x)图1 模拟退火法程序框图YK=K+1K=Nt其中：Kf等于，表示X为可行点；等于，表示X为不可行点；r0，1上的伪随机数；存储Xmin，fmini=i+1i=NrpXmin=X0fmin=f0Nf ng，停止GAs，根据需要决定是否继续采用确定性搜索。6）适应度函数：适应度函数评估是选择操作的依据。适应度函数有不同的构造
8、方式，但必须保证适应度函数与目标函数成反比。为了获得全局最优解，在遗传进化的初期和后期适当地调整适应度函数，以保持进化过程中个体间的竞争水平。7）复制或选择：根据每个个体的适应度从上一代生成新的一代。常用的选择机制有赌轮选择、最佳保留选择和期望值选择等，其中赌轮选择最基本、最常用。8）下一步搜索：t = t+1，返回2）3 可控交叉的GA在可行域中搜索全局最小值时，交叉算子是产生新点的最重要的算子5。该算子作用于两个随机产生的父代。交换遗传代码后生成新点，即新个体。新个体具有父代的部分遗传特性。基本的交叉算子有一点交叉、二点交叉、多点交叉、一致交叉等。这里采用二进制串编码表示设计变量。为了防止
9、随机选取的一对要交换的位串过于类似，甚至相同，如1111111和1111110或1111111和1111111，无论采用哪种交叉模式，该操作也不能有效地交换父代的遗传特性，因此最好在交叉之前就考虑到相似性问题，然后决定是否进行交叉操作。令要交换的位串长为L，L随机确定，Ls为要交换的一对位串中具有相同位的个数，定义Ls/L为类似性。如果Ls/Le，则不进行交叉，而考虑在另一对父代间进行交叉，这里通常取e 0.8，0.95。若，该方法即为一般的遗传算法。举例说明。优化问题为： (1)这里，X=（x1，x2，x3）T 与f（X）分别为自变量向量与目标函数。若令np = 100，ng = 100，p
10、c = 0.8，pm = 0.1，pi =0.01，GA与可控交叉的GA的优化结果如表I所示。在主频为66MHz的微机上测量所消耗的CPU时间。从表中可见，当e0.833和0.875时，可控交叉的GA分别节约了8.1%和11.3%的CPU时间，而且可控交叉GA收敛性更好6。表I 分别用GA和可控交叉的GA求解（1）的结果比较eCPU时间(s)调用函数次数最优点X*f(X*)1.00011176500(19.93, 20.08, 20.08)T3.120.83310275323(20.08, 20.22, 20.08)T3.440.8759915762(20.08, 19.93, 20.08)T
11、3.124 应用举例4.1 期望的磁通密度分布 加入永久磁体的旋弧式灭弧室结构如图1所示。在磁场中运动着的弧柱除受洛伦兹力驱动外，还受到气体的阻力。如果：（1）弧柱及周围气体都是不可压缩的；（2）驱动力和流体阻力相等；（3）忽略其它因素影响，弧柱的运动速度V可近似表示为7 (2)其中，K1为常数，B为磁场的磁通密度，i为电弧电流的瞬时值，d为电弧直径。 从式（2）可知，电弧电流是唯一的变量，B与d是它的函数。初始尺寸X2X3优化尺寸X1X4 永磁体 线圈 铜套 静触指电弧 动触杆 轴图1 SF6断路器中永磁体的初始结构与优化结构示意图Fig.1 Original and optimized s
12、tructures of permanent magnets in SF6 circuit interrupter当电弧在静态SF6气体中以速度V横向运动时，d与i的关系为8： (3)其中，K2为常数。从（2）和（3）式可得（4）式，即： (4)其中，K3为常数。 假设电弧在旋转时不弯曲，即不发生电弧卷曲，则弧柱上任一点的角频率w都相同。令r为电弧上某点的半径，并用wr代替（4）中的V，得： (5)其中，Bj和rj分别为磁通密度和电弧上给定点j的半径，n为电弧上给定的点数。从上面的分析可知，所需的磁密分布应使（5）式成立。4.2 磁场计算 在开发一个电磁装置的早期阶段，采用有限元法对设计问题进
13、行数值分析可以检测并修正设计中存在的问题，因而节约了制造模型所需耗费的大量时间和经费。图中的永磁体是钕-铁-硼（NdFeB），它与传统的铁氧体或铝镍钴相比，所产生的磁场要强得多，但这种磁体更昂贵。因此，有必要对SF6灭弧室进行优化设计。这里，磁密计算采用二维有限元法，如果不考虑涡流和电弧电流，则用矢量磁位A表示的微分方程为：rot（n rot A）= J0 + Jm ()其中，n为磁阻率，J0为线圈中的电流密度，Jm为永磁体中的等效激磁电流密度。假设SF6断路器的开断空载电流为100A，短路电流为10kA。在磁场计算中考虑四种情况：在有永磁体、无永磁体的条件下，分别考虑和的情况。在电弧上取三点
14、，其半径分别为20、50、80mm，三点处磁密计算值的纵向分量为By1、By2、By3，角频率为w1、w2、w3，结果如表II、III所示。表II 当J0 = 0.5A/mm2时的By值和w值无永磁体的情况有永磁体的情况By1 (g)84.4770.5By2 (g)91.0790.4By3 (g)111.5662.1w1 (1/s)795.83104.5w2 (1/s)332.71262.2w3 (1/s)234.6704.8表III 当J0 = 50A/mm2时的By值和w值无永磁体的情况有永磁体的情况By1 (g)8443.610076.4By2 (g)9100.411079.1By3 (
15、g)11145.812937.6w1 (1/s)67810.576272.4w2 (1/s)28509.932496.3w3 (1/s)20391.422517.9由表II、III 可知：（1）在开断空载电流的情况下，采用永磁体大大增加了电弧旋转角频率，从而加快了电弧的旋转；（2）在开断短路电流的情况下，采用永磁体也可以加速电弧运动，但并不显著；（3）有必要优化磁场分布，尽量使w1，w2，w3的值相接近，减少电弧弯曲。4.3 磁场优化4.3.1 优化问题 在图1中铜套的直径不变，为确定永磁体的结构需要4个设计变量，如图1中的X1X4。 为减小电弧弯曲，应使旋弧上所有点的角频率尽可能相互接近。令
16、n个点的角频率平均值为： 其中，n为电弧上均匀分布的点数，wk为电弧上第k个点的计算角频率。因此，优化问题可以表示如下： (7)这里，X=(x1，x2，x3，x4)T为设计变量向量，f(X)为目标函数，ai，bi，c1，c2为常数，目标函数表示w1，w2，wn的相近程度。f(X)越小，w越相近。若w1，w2，wn相等，f(X)为0。4.3.2 优化结果 在对场域进行有限元分析的基础上，在CPU时钟为500MHz的个人计算机上分别用GA和可控交叉的GA求解（7）式。永磁体结构的优化结果如图1虚线所示。表IV给出了对应于电流密度为50A/mm2的原始结果和优化计算结果。从表IV中可知：（1）在开断
17、短路电流的情况下，采用优化后的永磁体结构能使f（X）由0.581减至0.218，并使w1，w2，wn更接近；（2）在求得全局最优解的条件下，可控交叉的GA比GA节约大约28.7%的CPU时间。表IV 当J0 = 50A/mm2时采用GA法和可控交叉GA法的结果Original GA可控交叉的 GAX1 (mm)30.0 77.156.4X2 (mm)30.0 2.33.5X3 (mm)30.0 32.152.9X4 (mm)30.0 39.938.6f (X)0.581 0.219 0.218函数调用次数 1382986CPU时间(h) 9.346.675 总结 与GA相比，可控交叉的GA采用
18、更有效的交叉算子，收敛速度更快，收敛性更好。在SF6断路器旋弧式灭弧室中采用永磁体，一方面有助于提高开断空载电流的开断能力，另一方面，通过采用有限元法与GA或可控交叉的GA共同求得的永磁体的优化结构，有助于降低开断短路电流时的电弧弯曲程度。虽然旋弧的角频率无法由磁通密度准确求出，但以上研究表明采取的措施有助于改进SF6断路器的开断性能。参考文献1 Wang Y H and Yan W L. Adaptive simulated annealing for the optimal design of electromagnetic devices. IEEE Trans. Magn., 1996
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