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1、 韦达定理的应用 一.综述直线与圆锥曲线相交问题是解析几何综合题中最典型问题,主要考查二次方程韦达定理的应用.一般地解题的框架为:1、直线方程代入曲线方程,判别式保证有两解,准备好韦达定理; 2、主要目标分析,合理转化;3、韦达定理代入,整理求解.二.例题精讲 破解规律例1. 已知抛物线C:y2=2px(p0)的焦点为F，过点F的直线l1与C交于A，B两点，设A(x1,y1),B(x2,y2)，证明：x1x2=p24，y1y2=-p2；点评:当直线恒过x轴上的点时,可以考虑设直线方程为x=my+n,这样联立方程消去x比较容易.规律总结:直线与圆锥曲线相交问题,可以利用韦达定理设而不求来解决问题
2、.要注意联立后的二次方程判别式是否为正.现学现用1: 椭圆C:x2a2+y2b2=1ab0离心率为63，F1，F2是椭圆的左、右焦点，以F1为圆心，3+1为半径的圆和以F2为圆心、3-1为半径的圆的交点在椭圆C上.(1)求椭圆C的方程；(2)设椭圆C的下顶点为A，直线l:y=kx+32与椭圆C交于两个不同的点M,N，是否存在实数k使得以AM,AN为邻边的平行四边形为菱形？若存在，求出k的值；若不存在，说明理由.例2. 已知双曲线与双曲线的渐近线相同，且经过点.（1）求双曲线的方程；（2）已知双曲线的左右焦点分别为，直线经过，倾斜角为， 与双曲线交于两点，求的面积.点评:三角形面积问题,常转化为
3、求弦长和点到直线距离.有些题目也可借助坐标轴将三角形分割.规律总结:圆锥曲线中的弦长、面积等问题,常将直线与圆锥曲线方程的联立,利用韦达定理和弦长公式来处理.现学现用2: 已知椭圆的中心在原点，焦点为F1(-23，0)，F2(23，0)，且长轴长为8()求椭圆的方程；()直线y=x+2与椭圆相交于A，B两点，求弦长|AB|例3:已知双曲线的左右两个顶点是,曲线上的动点关于轴对称，直线与交于点，（1）求动点的轨迹的方程；（2）点，轨迹上的点满足，求实数的取值范围.规律总结:牵涉到共线线段的长度比,或三角形面积比问题,可以转化为坐标的比值,结合韦达定理消去坐标参数.也可以直接利用求根公式,结合坐标
4、比值求解,现学现用3: 已知双曲线的离心率为2，右顶点为.（1）求双曲线的方程；（2）设直线与轴交于点，与双曲线的左、右支分别交于点，且，求的值.三.课堂练习 强化技巧1. 已知椭圆过，且离心率为.（1）求椭圆的方程；（2）过右焦点的直线与椭圆交于两点， 点坐标为，求直线的斜率之和.2. 已知椭圆C的中心在原点，焦点在x轴上，左、右焦点分别为F1，F2，且|F1F2|=2，点（1， ）在椭圆C上.（1）求椭圆C的方程；（2）过F1的直线l与椭圆C相交于A，B两点，且AF2B的面积为，求以F2为圆心且与直线l相切的圆的方程。3. 已知是圆： 上的动点， 在轴上的射影为，点是线段的中点，当在圆上运
5、动时，点形成的轨迹为曲线.（1）求曲线的方程；（2）经过点的直线与曲线相交于点， ，并且，求直线的方程.四.课后作业 巩固内化1. 已知过抛物线的焦点，斜率为的直线交抛物线于两点.(1)求线段的长度；(2) 为坐标原点, 为抛物线上一点，若，求的值2. 已知椭圆经过点，离心率为.（）求椭圆的方程；（）直线与椭圆交于两点，线段的垂直平分线交轴于点，且，求直线的方程.3. 已知F1，F2为椭圆E：x2a2+y2b2=1(ab0)的左、右焦点，点P(1，32)在椭圆E上，且|PF1|PF2|4.(1)求椭圆E的方程；(2)过F1的直线l1，l2分别交椭圆E于A，C和B，D，且l1l2，问是否存在常数
6、，使得1AC，1BD成等差数列？若存在，求出的值，若不存在，请说明理由4. 如图，已知椭圆： ， 其左右焦点为及，过点的直线交椭圆于两点，线段的中点为， 的中垂线与轴和轴分别交于两点，且、构成等差数列.（1）求椭圆的方程；（2）记的面积为， （为原点）的面积为，试问：是否存在直线，使得？说明理由.5. 设抛物线的顶点在坐标原点，焦点在轴正半轴上，过点的直线交抛物线于两点，线段的长是， 的中点到轴的距离是.(1)求抛物线的标准方程；(2)过点作斜率为的直线与抛物线交于两点，直线交抛物线于，求证： 轴为的角平分线；若交抛物线于，且，求的值.6. 椭圆的左、右焦点分别是，且点在上，抛物线与椭圆交于四
7、点（I）求的方程；（）试探究坐标平面上是否存在定点，满足?（若存在，求出的坐标；若不存在，需说明理由.）7 已知抛物线，过点的动直线与相交于两点，抛物线在点和点处的切线相交于点.（）写出抛物线的焦点坐标和准线方程；（）求证：点在直线上； 韦达定理的应用答案 一.综述直线与圆锥曲线相交问题是解析几何综合题中最典型问题,主要考查二次方程韦达定理的应用.一般地解题的框架为:1、直线方程代入曲线方程,判别式保证有两解,准备好韦达定理; 2、主要目标分析,合理转化;3、韦达定理代入,整理求解.二.例题精讲 破解规律例1. 已知抛物线C:y2=2px(p0)的焦点为F，过点F的直线l1与C交于A，B两点，
8、设A(x1,y1),B(x2,y2)，证明：x1x2=p24，y1y2=-p2；分析:设直线l1的方程为：x=my+p2，与抛物线联立得y2-2pmy-p2=0，利用韦达定理即可证得；答案:见解析解析:设直线l1的方程为：x=my+p2，联立方程x=my+p2y2=2px化简得：y2-2pmy-p2=0,易知所以y1y2=-p2，而x1x2=y122py222p=p24 点评:当直线恒过x轴上的点时,可以考虑设直线方程为x=my+n,这样联立方程消去x比较容易.规律总结:直线与圆锥曲线相交问题,可以利用韦达定理设而不求来解决问题.要注意联立后的二次方程判别式是否为正.现学现用1: 椭圆C:x2
9、a2+y2b2=1ab0离心率为63，F1，F2是椭圆的左、右焦点，以F1为圆心，3+1为半径的圆和以F2为圆心、3-1为半径的圆的交点在椭圆C上.(1)求椭圆C的方程；(2)设椭圆C的下顶点为A，直线l:y=kx+32与椭圆C交于两个不同的点M,N，是否存在实数k使得以AM,AN为邻边的平行四边形为菱形？若存在，求出k的值；若不存在，说明理由.解析：（1）由题知,解得，故,椭圆的方程为 （2）由题意知k0，联立方程y=kx+32x23+y2=1，整理得 ， =81k2-4(1+3k2)1540（化简可得），设，则，x1x2=154(1+3k2),设MN中点为H，由，知，所以点H的坐标为H(-
10、9k2+6k2,32+6k2)，因为AM=AN，所以AHMN，又直线AM,MN斜率均存在，所以kAHkMN=-1. 于是kAHkMN= 32+6k2+1-9k2+6k2-0k=-1,解得，即k=63， 将k=63代入，满足0故存在k使得以AM,AN为邻边的平行四边形可以是菱形，k值为63 例2. 已知双曲线与双曲线的渐近线相同，且经过点.（1）求双曲线的方程；（2）已知双曲线的左右焦点分别为，直线经过，倾斜角为， 与双曲线交于两点，求的面积.分析：第二问, 将直线方程代入曲线方程,化简后写出韦达定理,利用弦长公式求出弦长,点到直线距离求出高,进而得到面积.答案:（1）（2）解析：（1）设所求双
11、曲线方程为,代入点得，即所以双曲线方程为，即.（2）.直线的方程为.设联立得 满足由弦长公式得 点到直线的距离.所以点评:三角形面积问题,常转化为求弦长和点到直线距离.有些题目也可借助坐标轴将三角形分割.规律总结:圆锥曲线中的弦长、面积等问题,常将直线与圆锥曲线方程的联立,利用韦达定理和弦长公式来处理.现学现用2: 已知椭圆的中心在原点，焦点为F1(-23，0)，F2(23，0)，且长轴长为8()求椭圆的方程；()直线y=x+2与椭圆相交于A，B两点，求弦长|AB|解析:()椭圆的中心在原点，焦点为F1(-23，0)，F2(23，0)，且长轴长为8,c=23,a=4,b2=a2-c2=4,故要
12、求的椭圆的方程为x216+y24=1. ()把直线y=x+2代入椭圆的方程化简可得5x2+16x=0，x1+x2=-165，x1x2=0，弦长|AB|=1+k2|x1-x2|=2(x1+x2)2-4x1x2=2(165)2-0=1625例3:已知双曲线的左右两个顶点是,曲线上的动点关于轴对称，直线与交于点，（1）求动点的轨迹的方程；（2）点，轨迹上的点满足，求实数的取值范围.分析:（1）借助题设条件运用两个等式相乘建立等式；（2）依据题设条件运用直线与椭圆的位置关系建立二次方程，运用判别式及根与系数的关系建立不等式,从而求出范围答案:（1）；（2） .解析:（1）由已知 ，设 则直线 ，直线，
13、两式相乘得，化简得，即动点的轨迹的方程为；(2)过的直线若斜率不存在则或3,设直线斜率存在， ，则 由（2）（4）解得代入（3）式得 ，化简得 ，由（1）解得代入上式右端得， ,解得,综上实数的取值范围是.规律总结:牵涉到共线线段的长度比,或三角形面积比问题,可以转化为坐标的比值,结合韦达定理消去坐标参数.也可以直接利用求根公式,结合坐标比值求解,现学现用3: 已知双曲线的离心率为2，右顶点为.（1）求双曲线的方程；（2）设直线与轴交于点，与双曲线的左、右支分别交于点，且，求的值.解析：（1），（2）设点横坐标为, 点横坐标为.平行线分线段成比例定理： 联立： 得： ，则或（舍）与实际情况不符
14、故三.课堂练习 强化技巧1. 已知椭圆过，且离心率为.（1）求椭圆的方程；（2）过右焦点的直线与椭圆交于两点， 点坐标为，求直线的斜率之和.【答案】（1）；（2）的斜率之和为2.解析（）解：由已知得解之得，a=2，b=，c=1.所以椭圆方程为: （）设，由(1)得，设直线的方程为与椭圆联立得 消去x得，所以所以将带入,化简得: 当直线斜率不存在时，A(1, )，B(1, )， 所以的斜率之和为2.2. 已知椭圆C的中心在原点，焦点在x轴上，左、右焦点分别为F1，F2，且|F1F2|=2，点（1， ）在椭圆C上.（1）求椭圆C的方程；（2）过F1的直线l与椭圆C相交于A，B两点，且AF2B的面积
15、为，求以F2为圆心且与直线l相切的圆的方程。答案:(1) (2) (x-1)2+y2=2解析：（1）设椭圆的方程为=1（ab0），由题意可得：椭圆C两焦点坐标分别为F1（-1；0），F2（1，0）.所以2a=所以a=2，又c=1，b2=4-1=3，故椭圆的方程为.（2）当直线lx轴，计算得到：A（-1，-），B（-1， ），不符合题意.当直线l与x轴不垂直时，设直线l的方程为：y=k（x+1），由消去y得（3+4k2）x2+8k2x+4k2-12=0,显然0成立，设A（x1,y1），B（x2,y2），则x1+x2=，x1x2=，又|AB|=,即|AB|=，又圆F2的半径r=，所以，化简，得17
16、k4+k2-18=0，即（k2-1）（17k2+18）=0，解得k=1，所以，r=，故圆F2的方程为：(x-1)2+y2=23. 已知是圆： 上的动点， 在轴上的射影为，点是线段的中点，当在圆上运动时，点形成的轨迹为曲线.（1）求曲线的方程；（2）经过点的直线与曲线相交于点， ，并且，求直线的方程.【答案】(1) ；(2) .解析：（1）设，则在圆上，所以，即（2）（）当直线斜率不存在时，经检验，不满足题意；（）设直线斜率为，则其方程为，则令，得设， 又由，得，将它代入，得， （满足）所以直线的斜率为，所以直线的方程为.四.课后作业 巩固内化1. 已知过抛物线的焦点，斜率为的直线交抛物线于两点
17、.(1)求线段的长度；(2) 为坐标原点, 为抛物线上一点，若，求的值答案:(1)9;(2) 或.解析：(1)直线AB的方程是y2（x-2），与y28x联立，消去y得x25x40，由根与系数的关系得x1x25.由抛物线定义得|AB|x1x2p9， (2)由x25x40，得x11，x24，从而A(1，2)，B(4，4)设(x3，y3)(1，2)(4，4)(41，42)， 又，即2(21)28(41)，即(21)241，解得0或2.2. 已知椭圆经过点，离心率为.（）求椭圆的方程；（）直线与椭圆交于两点，线段的垂直平分线交轴于点，且，求直线的方程.答案:（）（）或.解析：（）由题意得，解得.故椭圆
18、的方程是.（）当直线的斜率存在时，设直线的方程为， ， ，联立，消去，得.则有， . .设的中点为，则， .直线与直线垂直，整理得.又 ， ，解得或.与矛盾，.，.故直线的方程为或.3. 已知F1，F2为椭圆E：x2a2+y2b2=1(ab0)的左、右焦点，点P(1，32)在椭圆E上，且|PF1|PF2|4.(1)求椭圆E的方程；(2)过F1的直线l1，l2分别交椭圆E于A，C和B，D，且l1l2，问是否存在常数，使得1AC，1BD成等差数列？若存在，求出的值，若不存在，请说明理由答案:（1）x24+y23=1；（2）=724解析：(1)PF1+PF2=4，2a=4，a=2，椭圆E：x24+y
19、2b2=1.将P1,32代入可得b2=3，椭圆E的方程为x24+y23=1.(2)当AC的斜率为零或斜率不存在时，1AC+1BD=13+14=712；当AC的斜率k存在且k0时，AC的方程为y=k(x+1)，代入椭圆方程x24+y23=1，并化简得(3+4k2)x2+8k2x+4k2-12=0.设A(x1,y1)，C(x2,y2)，则x1+x2=-8k23+4k2，x1x2=4k2-123+4k2.AC=1+k2x1-x2=1+k2x1+x22-4x1x2=121+k23+4k2.直线BD的斜率为-1k，BD=121+-1k23+4-1k2=121+k23k2+4.1AC+1BD=3+4k21
20、21+k2+3k2+4121+k2=712.综上，2=1AC+1BD=712，=724.故存在常数=724，使得1AC，1BD成等差数列4. 如图，已知椭圆： ， 其左右焦点为及，过点的直线交椭圆于两点，线段的中点为， 的中垂线与轴和轴分别交于两点，且、构成等差数列.（1）求椭圆的方程；（2）记的面积为， （为原点）的面积为，试问：是否存在直线，使得？说明理由.答案:（1）；（2）.解析：（1）因为、构成等差数列，所以，所以， 又因为，所以，所以椭圆的方程为 （2）假设存在直线，使得，显然直线不能与, 轴垂直设方程为 ，由消去y整理得， 显然设， ，则， 故点的横坐标为，所以设,因为，所以，解
21、得，即 和相似，且，则， ，整理得，解得，所以，所以存在直线满足条件，且直线的方程为.5. 设抛物线的顶点在坐标原点，焦点在轴正半轴上，过点的直线交抛物线于两点，线段的长是， 的中点到轴的距离是.(1)求抛物线的标准方程；(2)过点作斜率为的直线与抛物线交于两点，直线交抛物线于，求证： 轴为的角平分线；若交抛物线于，且，求的值.答案:（1）；（2）证明见解析， .解析：（1）设抛物线方程为， 由抛物线定义可,又中点到轴距离为，则，故，所以抛物线的方程 .(2) 设，直线为,，知则, 而,又故，则，所以轴为的角平分线.同理可得轴为的角平分线，故三点共线,设直线为,，故当，有.由抛物线的对称性知,
22、则,又则, 带入得: ,又，则. 6. 椭圆的左、右焦点分别是，且点在上，抛物线与椭圆交于四点（I）求的方程；（）试探究坐标平面上是否存在定点，满足?（若存在，求出的坐标；若不存在，需说明理由.）答案:() ；()答案见解析.解析：（I）依题意有： 所以所以椭圆的方程为： （）法一：由于椭圆和抛物线都关于轴对称，故它们的交点也关于轴对称，不妨设，则若存在点满足条件，则点在轴上，设，联立则， 由于所以又所以则即故坐标平面上存在定点，满足法二：由于椭圆和抛物线都关于轴对称，故它们的交点也关于轴对称，不妨设，则 的中心依题意，只要探究的垂直平分线和轴的交点是否为定点.联立则， 所以，直线： 令得： 为定值，故坐标平面上存在定点，满足.7 已知抛物线，过点的动直线与相交于两点，抛物线在点和点处的切线相交于点.（）写出抛物线的焦点坐标和准线方程；（）求证：点在直线上；解析：（）解：焦点坐标为，准线方程为.（）证明：由题意，知直线的斜率存在，故设的方程为 ，由方程组，得.由题意得 .设，则.又，所以抛物线在点 处的切线的斜率为 ，抛物线在点处的切线方程为，化简得 ， .同理，抛物线在点处的切线方程为 ，联立方程，得即，因为，所以，代入，得，所以点，即 所以点在直线上.
