第一章导数及其应用.doc

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1、第一章 导数及其应用1.1 变化率与导数自主探究学习1平均变化率:变化率可用式子 表示， 称为函数f(x)从x1到x2的平均变化率。若设， (这里看作是对于x1的一个“增量”可用x1+代替x2，同样)，则平均变化率为.2导数的概念从函数y=f(x)在x=x0处的瞬时变化率是:，我们称它为函数在出的导数，记作或，.3几何意义：函数y=f(x)在x=x0处的导数等于在该点处的切线的斜率，即 。名师要点解析 要点导学1.的对于区间（，）上任意点处都可导，则在各点的导数也随x的变化而变化，因而也是自变量x的函数，该函数被称为的导函数，记作.2.（1）导数即为函数y=f(x)在x=x0处的瞬时变化率；（

2、2），当时，所以.3. 求曲线在某点处的切线方程的基本步骤:求出P点的坐标；求出函数在点处的变化率 ，得到曲线在点的切线的斜率；利用点斜式求切线方程.4.在导数几何意义的应用过程中，应注意：切点在曲线上，即；切点也在切线上；在切点处的切线斜率为.5. 曲线在P点处的切线与曲线过点P的切线不是同一个概念：前者P点为切点；后者P点可能是切点也可能不.一般曲线的切线与曲线可以有两个以上的切点.【经典例题】例1物体在地球上作自由落体运动时，下落距离其中为经历的时间，若 ，则下列说法正确的是【 】A. 01s时间段内的速率为B. 在11+ts时间段内的速率为C. 在1s末的速率为D. 若t0，则是11+

3、ts时段的速率；若t0，则是1+ts1时段的速率【分析】理解导数的概念，导数即为函数y=f(x)在x=x0处的瞬时变化率，表示在1s末的速率.【解】C【点拨】本例旨在强化对导数意义的理解，中的t可正可负【例2】（1）求函数f(x)=在附近的平均变化率，并求出在该点处的导数； （2）求曲线y=3x2在点处的切线方程。【分析】先求y=f(x0x)-f(x0)，再求，最后求，即为导数的值或x0处的切线的斜率.【解】（1），。（2）因为，所以，所求切线的斜率为6.因此，所求的切线方程为，即.【点拨】函数在某点的瞬时变化率、在某点的导数与在某点的的切线斜率的关系为：函数y=f(x)在x=x0处的瞬时变化

4、率等于函数y=f(x)在x=x0处的导数的值，也等于在该点处的切线的斜率，即 。1.2 导数的运算自主探究学习1.常见函数的导数公式函数导数2.导数的运算法则导数运算法则123名师要点解析 要点导学1.反比例函数的导数：.2.多项式函数的导数：= .3. （常数与函数的积的导数，等于常数乘函数的导数）。【经典例题】【例1】日常生活中的饮水通常是经过净化的随着水纯净度的提高，所需净化费用不断增加已知将1吨水净化到纯净度为时所需费用（单位：元）为求净化到下列纯净度时，所需净化费用的瞬时变化率：（1） （2）【分析】函数y=f(x)在x=x0处的瞬时变化率等于函数y=f(x)在x=x0处的导数的值，

5、因此，先对函数式求导。【解】净化费用的瞬时变化率就是净化费用函数的导数（1）因为，所以，纯净度为时，费用的瞬时变化率是52.84元/吨（2）因为，所以，纯净度为时，费用的瞬时变化率是1321元/吨 函数在某点处导数的大小表示函数在此点附近变化的快慢由上述计算可知，它表示纯净度为左右时净化费用的瞬时变化率，大约是纯净度为左右时净化费用的瞬时变化率的25倍这说明，水的纯净度越高，需要的净化费用就越多，而且净化费用增加的速度也越快【点拨】 求导数是在定义域内实行的 求较复杂的函数积、商的导数，必须细心、耐心【例2】求y sin4x cos 4x的导数【分析】利用复合函数的求导公式求导或变形后再利用公

6、式求导【解】方法一：y sin 4x cos 4x(sin2x cos2x)22sin2cos2x1sin22 x1（1cos 4 x）cos 4 xysin 4 x方法二：y(sin 4 x)(cos 4 x)4 sin 3 x(sin x)4 cos 3x (cos x)4 sin 3 x cos x 4 cos 3 x (sin x)4 sin x cos x (sin 2 x cos 2 x)2 sin 2 x cos 2 xsin 4 x【点拨】解法一是先化简变形，简化求导数运算，要注意变形准确解法二是利用复合函数求导数，求复合函数的导数，关键在于搞清楚复合函数的结构，明确复合次数，

7、由外层向内层逐层求导，直到关于自变量求导，同时应注意不能遗漏求导环节并及时化简计算结果1.3 导数在研究函数中的应用自主探究学习1. 函数的单调性与导数的关系在某个区间内，如果，那么函数在这个区间内单调递增；如果，那么函数在这个区间内单调递减特别的，如果，那么函数在这个区间内是常函数2. 函数的极值： 设函数f(x)在附近有定义，如果对于附近的所有点，都有，就说是函数f(x)的一个极大值；如果对于附近的所有点，都有，就说是函数f(x)的一个极小值.极大值与极小值统称极值.3.函数的最大值与最小值：可导函数f(x)在闭区间a ，b上所有点处的函数值中的最大值（最小值），叫做函数f(x)的最大值（

8、最小值）.在闭区间上连续的函数在上必有最大值与最小值在开区间内连续的函数不一定有最大值与最小值 函数的最值是比较整个定义域内的函数值得出的；函数的极值是比较极值点附近函数值得出的函数在闭区间上连续，是在闭区间上有最大值与最小值的充分条件而非必要条件(4)函数在其定义区间上的最大值、最小值最多各有一个，而函数的极值可能不止一个，也可能没有一个名师要点解析 要点导学1. 判断函数的单调性：设函数y=f(x)在区间（a，b）内可导，如果恒有，则函数f(x)在区间（a，b）内为增函数；如果恒有，则函数f(x)在区间（a，b）内为减函数；如果f(x)在区间（a，b）上递增（或递减），则在该区间内（或）.

9、2.求可导函数单调性的步骤： （1）确定函数f(x)的定义域；（2）求；（3）求出的根；（4）列表看的符号；（5）确定单调区间.3. 判断函数极值的方法：设函数f(x)在点及其附近可导，且，如果的符号在的左侧为正，右侧为负，则为函数f(x)的极大值；如果的符号在的左侧为负，右侧为正，则为函数f(x)的极小值；如果的符号在的左右两侧保持不变，则不是函数f(x)的极值.4.利用导数求函数的最值步骤:求在内的极值；将的各极值与、比较得出函数在上的最值.5.函数在上可导，若恒成立，则在上递增（递减）；反之不成立. 函数在上可导，若在处取得极值，则.反之不成立.反例：在点（0,0）处.【经典例题】例1

10、函数的单调减区间为 .【分析】函数的单调性与导数的关系是，在某个区间内，如果，那么函数在这个区间内单调递增；如果，那么函数在这个区间内单调递减因此只需求的不等式的解集即可。【解】 ，由，得单调减区间为.【点拨】考查利用导数判断函数的单调性，亦可填写闭区间或半开半闭区间.【例2】已知其中是自然常数，（1）讨论时， 的单调性、极值；（2）求证：在（1）的条件下，；（3）是否存在实数，使的最小值是3，如果存在，求出的值；如果不存在，说明理由.【分析】先对函数求导，利用导数与函数的单调性、极值、最值的关系解决问题.【解】（1） ，当时，此时为单调递减，当时，此时为单调递增.的极小值为.（2）的极小值，

11、即在的最小值为1， 令，又 当时，在上单调递减，.当时，.（3）假设存在实数，使有最小值3，.当时，由于，则.函数是上的增函数，解得（舍去）.当时，则当时，此时是减函数，当时，此时是增函数，.解得.【点拨】通过本题学习利用导数研究函数的单调性、函数的最大值、解不等式等知识，提高综合分析与解决问题的能力 1.4 生活中的优化问题举例自主探究学习导数在实际生活中的应用主要是解决有关函数最大值、最小值的实际问题，主要有以下几个方面：1、与几何有关的最值问题；2、与物理学有关的最值问题；3、与利润及其成本有关的最值问题；4、效率最值问题.解决优化问题的方法：首先是需要分析问题中各个变量之间的关系，建立

12、适当的函数关系，并确定函数的定义域，通过创造在闭区间内求函数取值的情境，即核心问题是建立适当的函数关系.再通过研究相应函数的性质，提出优化方案，使问题得以解决，在这个过程中，导数是一个有力的工具利用导数解决优化问题的基本思路：优化问题 建立数学模型 用函数表示的数学问题 解决数学模型 用导数解决数学问题 作答 优化问题的答案。名师要点解析 要点导学利用导数解决生活中的优化问题的一般步骤：（1）分析实际问题中各量之间的关系，列出实际问题的数学模型，写出实际问题中变量之间的函数关系；（2）求函数的导数，解方程；（3）比较函数在区间端点和使的点的函数值的大小，最大（小）者为最大（小）值.【经典例题】

13、例1有甲、乙两城，甲城位于一直线形河岸，乙城离岸40千米，乙城到岸的垂足与甲城相距50千米，两城在此河边合设一水厂取水，从水厂到甲城和乙城的水管费用分别为每千米500元和700元，问水厂应设在河边的何处，才能使水管费用最省？【分析】本题是与利润及其成本有关的最值问题，首先根据题意，列出水管费用的函数关系，利用导数求其最小值.【解】设水厂D点与乙城到岸的垂足B点之间的距离为x千米，总费用为y元，则CD y 500（50x）70025000500 x 700，y500700 (x 21600) 2 x500，令y0，解得x 答：水厂距甲距离为50千米时，总费用最省【点拨】当要求的最大（小）值的变量

14、y与几个变量相关时，我们总是先设几个变量中的一个为x，然后再根据条件x来表示其他变量，并写出y的函数表达式f（x）【例2】圆柱形金属饮料罐的容积一定时，它的高与底面半径应怎样选取，才能使所用的材料最省？【分析】根据圆柱的体积公式，列出高与底面半径的关系，利用导数知识求最值.【解】设圆柱的高为h，底半径为R，则表面积S=2Rh+2R2， 由V=R2h，得，则S(R)= 2R+ 2R2=+2R2令+4R=0解得，R=，从而h=2即h=2R， 因为S(R)只有一个极值，所以它是最小值答：当罐的高与底直径相等时，所用材料最省【点拨】应用题求解，要正确写出目标函数并明确题意所给的变量制约条件应用题的求解

15、过程中如确定有最小值，且极小值唯一，即可确定极小值就是最小值1.5 定积分的概念自主探究学习1定积分的概念一般地，设函数在区间上连续，用分点将区间等分成个小区间，每个小区间长度为（），在每个小区间上任取一点，作和式：如果无限接近于（亦即）时，上述和式无限趋近于常数，那么称该常数为函数在区间上的定积分.记为：，其中积分号，积分上限，积分下限，被积函数，积分变量，积分区间，被积式.2定积分的几何意义从几何上看，如果在区间上函数连续且恒有，那么定积分表示由直线和曲线所围成的曲边梯形(如图中的阴影部分)的面积，这就是定积分的几何意义.名师要点解析 要点导学1. 定积分是一个常数，即无限趋近的常数（时）

16、记为，而不是2. 用定义求定积分的一般方法是：分割：等分区间；近似代替：取点；求和：；取极限：3.曲边图形面积：；变速运动路程；变力做功4.一般情况下，定积分的几何意义是介于轴、函数的图形以及直线之间各部分面积的代数和，在轴上方的面积取正号，在轴下方的面积去负号.即阴影的面积阴影的面积（即轴上方面积减轴下方的面积）5定积分的性质根据定积分的定义，不难得出定积分的如下性质：性质（1）；性质（2）（定积分的线性性质）；性质（3）（定积分的线性性质）；【经典例题】例1计算定积分【分析】利用定积分性质有，利用定积分的定义分别求出，就能得到的值.【解】=.【点拨】学习微积分基本定理以后，也可利用原函数直

17、接求定积分的值.【例2】设y=f（x）是二次函数，方程f（x）=0有两个相等的实根，且f（x）=2x+2.（1）求y=f（x）的表达式；（2）求y=f（x）的图象与两坐标轴所围成图形的面积.（3）若直线x=t（0t1把y=f（x）的图象与两坐标轴所围成图形的面积二等分，求t的值.【分析】先求函数解析式，再根据定积分求f（x）的图象与两坐标轴所围成图形的面积.【解】（1）设f（x）=ax2+bx+c，则f（x）=2ax+b，又已知f（x）=2x+2a=1，b=2.f（x）=x2+2x+c又方程f（x）=0有两个相等实根，判别式=44c=0，即c=1.故f（x）=x2+2x+1.（2）依题意，有所

18、求面积=.（3）依题意，有，t3+t2t+=t3t2+t，2t36t2+6t1=0，2（t1）3=1，于是t=1.【点拨】定积分的几何意义是介于轴、函数的图形以及直线之间各部分面积的代数和，在轴上方的面积取正号，在轴下方的面积取负号.即阴影的面积阴影的面积（即轴上方面积减轴下方的面积）.1.6 微积分基本定理自主探究学习1. 微积分基本定理：如果函数是上的连续函数的任意一个原函数，则.2. 定积分的性质：（定积分对积分区间的可加性）名师要点解析 要点导学1.微积分基本定理是微积分中最重要、最辉煌的成果，它揭示了导数和定积分之间的内在联系，同时它也提供了计算定积分的一种有效办法.2.寻找满足的函

19、数F(x)，一般运用基本初等函数的求导公式和导数的四则运算法则，从反方向上求出F(x).3. 为了方便起见，还常用表示，即.该式称之为微积分基本公式或牛顿莱布尼兹公式.它指出了求连续函数定积分的一般方法，把求定积分的问题，转化成求原函数的问题，是微分学与积分学之间联系的桥梁. 它不仅揭示了导数和定积分之间的内在联系，同时也提供计算定积分的一种有效方法，为后面的学习奠定了基础.【经典例题】【例1】计算下列定积分：.由计算结果你能发现什么结论？试利用曲边梯形的面积表示所发现的结论.【分析】求出的原函数，利用微积分基本定理求解.然后观察规律.【解】因为，所以，. 可以发现，定积分的值可能取正值也可能

20、取负值，还可能是0. ( l ）当对应的曲边梯形位于 x 轴上方时，定积分的值取正值，且等于曲边梯形的面积；（2）当对应的曲边梯形位于 x 轴下方时，定积分的值取负值，且等于曲边梯形的面积的相反数； ( 3）当位于 x 轴上方的曲边梯形面积等于位于 x 轴下方的曲边梯形面积时，定积分的值为0，且等于位于 x 轴上方的曲边梯形面积减去位于 x 轴下方的曲边梯形面积 【点拨】要注意定积分的值可能取正值也可能取负值，还可能是0.【例2】计算下列定积分：（1）； （2）.【分析】根据被积函数的特点，求出其原函数，利用微积分基本定理求解.【解】（1）因为，所以.（2）.【点拨】把求定积分的问题，转化成求

21、原函数的问题，寻找满足的函数F(x)，一般运用基本初等函数的求导公式和导数的四则运算法则，从反方向上求出F(x). 1.7 定积分的简单应用自主探究学习1. 平面图形的面积在区间上，一条连续曲线与直线，轴所围成的曲边梯形面积就是定积分这里，被积表达式就是面积元素两条曲线与之间所夹图形的面积，在区间上，当，则有 或2. 旋转体的体积由连续曲线，直线与轴所围成的曲边梯形绕轴旋转一周所成旋转体的体积 类似地，由连续曲线，直线与轴所围成的曲边梯形绕轴旋转一周所围成旋转体的体积为 3.平行截面面积为已知的立体的体积： 4.功 在变力作用下物体沿轴由点到点过程中，力所作的功为名师要点解析 要点导学1.在定

22、积分应用问题中，先求出微元素，再求出定积分，即所求这种方法称为元素法，也称微元法2.平面图形的面积求法：对x积分： (上边界-下边界再积分)； 对y积分： (右边界-左边界再积分) 3.旋转体的体积：以x轴为一直角边的曲边梯形绕x轴旋转：； 以y轴为一直角边的曲边梯形绕y轴旋转： 4.平行截面面积为已知的立体的体积： 5.物理应用：微元法【经典例题】【例1】求两条抛物线所围成图形的面积【分析】做出图形，求出两抛物线交点，写出面积元素，利用定积分求所围成图形的面积.xOyy=x2y2=x(1,1)x x+Dx 【解】作两条抛物线的图形，如图所示解方程组 得两组解及即两抛物线交点为下面求面积元素：

23、 取为积分变量区间上的任一小区间的窄条，其面积近似于高为，底为的窄矩形面积这样就得到面积元素 于是，所求图形面积为定积分【点拨】两条曲线与之间所夹图形的面积，在区间上，当，则有或因此本题也可按公式直接求解【例2】求由椭圆绕轴旋转一周而成的旋转体(称旋转椭球体)的体积【分析】由连续曲线，直线与轴所围成的曲边梯形绕轴旋转一周所成旋转体的体积，可先求积分区间及积分变量，再求积分.【解】旋转椭球体可看作是由上半个椭圆及轴围成的图形绕轴旋转而成的旋转体取为积分变量，积分区间为，则体积元素为 于是，旋转椭球体的体积 【点拨】本题中的椭圆如果改为圆，求出的体积就是半径为的球体的体积公式作 者 于华东责任编辑 庞保军