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1、第五课 分式，比例的性质学习目标：理解分式的基本性质，会用分式的基本性质进行简单恒等变形；理解比例的性质，会应用比例的性质化简。一、基本概念1. 分式的基本性质分式的分子与分母都同时乘以或除以同一个不为零的整式，分式的值不变,这个性质叫做分式的基本性质。用式子表示是=； = （其中M是不为零的整式）。2（1） 当分子、分母都含有负号时，分子、分母应同乘以-1,使分式的值不变，且分子分母都不含负号。当分子或分母含有负号时，利用分式的基本性质及有关法则，把分子或分母的符号变为_的符号。3合比性质的表达文字：在一个比例里，第一个比的前后项的和与它后项的比，等于第二个比的前后项的和与它的后项的比，这称
2、为比例中的合比定理，这种性质称为合比性质。字母：已知，且有，如果，则有。推导过程： 4分比性质的表达文字：在一个比例等式中，第一个比例的前后项之差与第一个比例的后项的比，等于第二个比例的前后项之差与第二个比例的后项的比。字母：已知，且有，如果，则有。推导过程5. 合分比性质的表述文字：在一个比例等式中，第一个比例的前后项之和与第一个比例的前后项之差的比，等于第二个比例的前后项之和与第二个比例的前后项之差的比。字母：已知，且有，如果，则有。推导过程令 则6. 等比性质的表达文字：在一个比例等式中，两前项之和与两后项之和的比例与原比例相等字母：已知，且有，如果，则有。推导过程证法一 令，则 证法二
3、 由合比性质 即推论已知，且有，如果，则有7. 更比性质的表达文字：把一个比例的一个比的前项与另一个比的后项互调后,所得结果仍是比例. 字母：如果a/b=c/d那么a/c=b/d（b、d0） 推导过程a/b=c/d 等号两边同乘bd 得 ad=cb 同除dc 得 a/c=b/d8. 外项的积等于内项的积文字：两个外项的积等于两个内项的积，这叫做比例的基本性质。字母：如果 （ ， ， ， 都不等于零），那么 推导过程用 去乘 的两边，得 bd ，所以 二、典型例题例1若、都是不为0的数，将的分子与分母都乘以，得到，则分式与相等吗？( 相等 )将分式的分子与分母都除以，得到，分式与相等吗？( 相等
4、 )例2：例3三、当堂检测1、下面各组中的分式相等吗？为什么？（1）与 （2）与（3）与 （4）与2、下面的式子正确吗？为什么？（1） = （2）=四、课堂小结与反思五、课后练习第六课 因式分解学习目标：学会十字相乘法，公式法，分组分解等各种方法进行因式分解，熟记平方差，完全平方等常用的一些因式分解公式。一、基本概念定义：把一个多项式化为几个最简整式的乘积的形式，这种变形叫做把这个多项式因式分解（也叫作分解因式）.因式分解与整式乘法为相反变形，同时也是解一元二次方程中公式法的重要步骤.二、因式分解三原则1分解要彻底（是否有公因式，是否可用公式）2最后结果只有小括号3最后结果中多项式首项系数为正
5、（例如：）三、基本方法（一） 提公因式法 如果一个多项式的各项有公因式，可以把这个公因式提出来，从而将多项式化成两个因式乘积的形式，这种分解因式的方法叫做提取公因式法.找公因式的一般步骤：（1）若各项系数是整系数，取系数的最大公约数；（2）取相同的字母，字母的指数取次数最低的；（3）取相同的多项式，多项式的指数取次数最低的；（4）所有这些因式的乘积即为公因式.（5）如果多项式的第一项是负的，一般要提出“-”号，使括号内的第一项的系数成为正数，提出“-”号时，多项式的各项都要变号.口诀：找准公因式，一次要提尽；全家都搬走，留1把家守；提负要变号，变形看奇偶.（二） 公式法由于分解因式与整式乘法有
6、着互逆的关系，如果把乘法公式反过来，那么就可以用来把某些多项式分解因式.1、平方差公式： 2、完全平方公式：3、立方和公式： 4、立方差公式： 5、6、完全立方公式：7、（三）分组分解法能分组分解的多项式一般有四项或大于四项，一般的分组分解有两种形式：二二分法、三一分法.（四）十字相乘法口诀：首尾分解，交叉相乘，求和凑中1. 二次项系数为1的二次三项式直接利用公式进行分解特点： （1）二次项系数是1； （2）常数项是两个数的乘积；（3）一次项系数是常数项的两因数的和2. 二次项系数不为1的二次三项式条件：（1） （2） （3） 分解结果：=3. 二次项系数为1的齐次多项式例、分解因式：分析：将
7、看成常数，把原多项式看成关于的二次三项式，利用十字相乘法进行分解。 1 8b 1 -16b 8b+(-16b)= -8b 解：=4. 二次项系数不为1的齐次多项式例、 例、 1 -2y 把看作一个整体 1 -1 2 -3y 1 -2 (-3y)+(-4y)= -7y (-1)+(-2)= -3 解：原式= 解：原式=（五）换元法有时在分解因式时，可以选择多项式中的相同的部分换成另一个未知数，整体代入，然后进行因式分解，最后再转换回来，这种方法叫做换元法.注意：换元后勿忘还元.（六）拆项、添项法这种方法指把多项式的某一项拆开或填补上互为相反数的两项（或几项），使原式适合于提公因式法、运用公式法或
8、分组分解法进行分解.要注意，必须在与原多项式相等的原则下进行变形.（七）配方法对于某些不能利用公式法的多项式，可以将其配成一个完全平方式，然后再利用平方差公式，就能将其因式分解，这种方法叫配方法.属于拆项、添项法的一种特殊情况。也要注意必须在与原多项式相等的原则下进行变形.（八）主元法先选定一个字母为主元，然后把各项按这个字母次数从高到低排列，再进行因式分解.（九）特殊值法将2或10代入x，求出数P，将数P分解质因数，将质因数适当的组合，并将组合后的每一个因数写成2或10的和与差的形式，将2或10还原成x，即得因式分解式. （十）待定系数法首先判断出分解因式的形式，然后设出相应整式的字母系数，
9、求出字母系数，从而把多项式因式分解.（十一）长除法不足的项要用0补，除的时候，一定要让第一项抵消二、典型例题（一） 提公因式法例1分解因式解： （二） 公式法例2、 分解因式解： 例3、已知是的三边，且，则的形状是（ ）.直角三角形 .等腰三角形 .等边三角形 .等腰直角三角形解： （三）分组分解法例4、分解因式 .解： 原式= = 每组之间还有公因式！=例5、分解因式 解法一：第一、二项为一组； 解法二：第一、四项为一组；第三、四项为一组。 第二、三项为一组。解：原式= 原式= = = = =（四）十字相乘法例6、分解因式：分析：将6分成两个数相乘，且这两个数的和要等于5. 由于6=23=(
10、-2)(-3)=16=(-1)(-6)，从中可以发现只有23的分解适合，即2+3=5. 1 2解： = 1 3 = 12+13=5用此方法进行分解的关键：将常数项分解成两个因数的积，且这两个因数的代数和要等于一次项的系数.例7、 例8、 1 -2y 把看作一个整体 1 -1 2 -3y 1 -2 (-3y)+(-4y)= -7y (-1)+(-2)= -3 解：原式= 解：原式=（五）换元法例9、分解因式 解：令则原式 （六）拆项、添项法例10、分解因式解： 原式 （七）配方法例11、分解因式解：原式（八）主元法例12、分解因式解： 原式 （九）特殊值法例13、分解因式解：令，则将分解成3个质
11、因数的积，即注意到多项式中最高项的系数为1，而3、5、7分别为x+1，x+3，x+5，在x=2时的值 则（十）待定系数法例14、分解因式解：由分析知，这个多项式没有一次因式，因而只能分解为两个二次因式 于是设 所以 解得 ， 所以 （十一）长除法例15、分解因式 解：提示：可以使该式，有因式，如下图，所以原式三、当堂检测1分解因式：2. 分解因式：3. 分解因式（1） （2）4. （1）当为何值时，多项式能分解因式，并分解此多项式.（2）如果有两个因式为和，求的值.四、课堂小结与反思五、课后练习1分解因式：2. 分解因式：3. 分解因式：4. 分解因式5、分解因式6、分解因式第七课 解方程（组
12、）的方法学习目标：学会解一元一次方程，一元二次方程，简单的分式方程，及学会解二元一次方程组。一、基本概念1. 解一元一次方程的步骤：去分母；去括号；移项；合并同类项：把方程化成ax=b(a0)的形式； 得到方程的解x=b/a. 2 、解一元二次方程的基本思想方法是通过“降次”将它化为两个一元一次方程。一元二次方程有四种解法：（1）、直接开平方法；（2）、配方法；（3）、公式法；（4）、因式分解法。 3. 解分式方程的基本思想就是设法将分式方程“转化”为整式方程。 （1）解分式方程的基本方法去分母法去分母法是解分式方程的一般方法，在方程两边同时乘以各分式的最简公分母，使分式方程转化为整式方程，但
13、要注意，可能会产生增根，所以，必须验根。 （2）解分式方程的其它方法 1. 拆项法 2. 通分法 3.交叉相乘法4. 二元一次方程组的解法 （1）代入消元法 （2）加减消元法 “消元”是解二元一次方程的基本思路。所谓“消元”就是减少未知数的个数，使多元方程最终转化为一元方程再解出未知数。这种将方程组中的未知数个数由多化少，逐一解决的想法，叫做消元思想。二、典型例题例1一个三位数的百位数字是十位数字的2倍，个位数字比十位数字少1，若把这个三位数的百位数字跟个位数字对调，得到的新三位数比原三位数小396，求原三位数】分析：先找关键句-“若把三位数的百位数字跟个位数字对调以后得到的新三位数比原三位数
14、小396”，做这道题还要会用x表示三位数。 若设原三位数的个位数字是x，由题意十位数字为x+1，百位数字是2（x+1）原来三位数大小可表示为2（x+1）100+（x+1）10+x 对调后新的三位数个位数字是2（x+1），则十位数字为x+1，百位数字是x新三位数大小可表示为100x+（x+1）10+2（x+1）解：设原来三位数的个位数字是x由题意得到方程（x+1）100+（x+1）10+x=100x+（x+1）10+2（x+1）+3962（x+1）100+（x+1）10+x=100x+（x+1）10+2（x+1）+396（约去代数式) 2（x+1）100+x=100x+2（x+1）+396(去括
15、号） 200x+200+x=100x+2x+2+396 （移项，合并同类项） 99x=198 （系数化为1） x=2原来的数字个位2，十位x+1=3，百位2（x+1）=6。该三位数为632答：原来的三位数是632例2：（1）.解方程：2x235x解：移项，得：2x2-5x30，（2）解方程：2x2+7x-40a2，b7，c-4b2-4ac72-42(-4)49+3281（3） 解方程：x2-a(3x-2a+b)-b20(a-2b0)x2-3ax+2a2-ab-b20a1，b-3a，c2a2-ab-b2b2-4ac(-3a)2-41(2a2+ab-b2)9a2-8a2-4ab+4b2a2-4ab
16、+4b2(a-2b)2当(a-2b0)时，得(4) 解：可以分解为（x-2)(2x-1)=0解得=2 =例3：（1）解：方程两边都乘，约去分母，得：。检验：当时，。所以：是增根，即：原方程无解。(2) 解方程：。解：，即，移项，整理，得，去分母，得，解得：。经检验，原方程的根。(3) 解方程：。方程两边分别通分，得，即，解得。经检验，是原方程的根。原方程的根是。(4) 解方程：。解：原方程化为，整理得，。经检验是原方程的根。原方程的根是。例4：(1) 由x+y=8得x=8-y把x=8-y代入，2x+3y=17y =1,把y=1代入2x+3y=17得：x =4说以方程组的解为x=4,y =1。(
17、2) 乘以2得到：4x+6y=8 得到式，-式得10y=5得到y= ,把y= 代入式得到x= 所以方程解为x= y= . 三、当堂检测1.(1)、 (2)、8(3x1)9(5x11)2(2x7)=30 2解方程 （1）)18x221x+5=0； （2）10x221x+2=0； 3解方程 (1). (2). 4. 解方程组(1)、； (2)、；(3)、； (4)、；5. 解方程组 (1)、； (2)、； 四、课堂小结与反思五、课后练习1解下列方程： (1)、 (2)、 2一元二次方程2x2-3x+1=0化为(x+a)2=b的形式,正确的是( ) A. ; B.; C. ; D.以上都不对3.关于的一元二次方程的一个根是0，则值为（ ）A、 B、 C、或 D、4. 方程y=1x与3x+2y=5的公共解是（ ） A5. 当y=3时，二元一次方程3x+5y=3和3y2ax=a+2（关于x，y的方程）有相同的解，求a的值6. 方程组的解是否满足2xy=8？满足2xy=8的一对x，y的值是否是方程组的解？
