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1、9.2椭圆及其性质一、选择题1.（2022届武汉二中月考,5）已知椭圆7三11）和双曲线芸2=150）有相同焦点,贝（）A.a=m+2B.m=a+2C.a2=m2+2D.m2=az+2答案A椭圆&（al）的半焦距为疝T,双曲线为=1（m0）的半焦距为标不T,则有G=屈不I,即a=m+2.故选.2. （2022届广东深圳中学月考,6）已知直线l:y=x+l与曲线C:Xd=I相交于A,B两点,FS,-1）,则AABF的周长是（）A.2B.22C.4D.42答案D在椭圆Y唉1中,a=,b=l,则c=l,椭圆的焦点为（U）,S,T）,所以F是椭圆的一个焦点,易知直线1过椭圆的另一个焦点（0,1）,所以
2、AABF的周长为4a=42.故选D.223. （2022届湖南郴州一中月考,7）已知点P是椭圆C:5+2（ab0）上一点,点FhE是椭圆C的左、右焦点,若APFE的内切圆半径的最大值为a-c,则椭圆C的离心率为（）A孝B.乎C.fD.f答案B由题意可得PR+PB=2a,FR=2c,设APFE的内切圆半径为r,所以S历/PF11+1PF21+1F1F21)r=(2c+2a)r=(c+a)r,又APFE的内切圆半径的最大值为a-c,所以SipFE=(c+a)rbO）的离心率为春直线2xy+10=0过椭圆的左顶点,则椭圆的方程为（c答案D直线2x+y+10=0与X轴的交点坐标为(-5,0).由直线2
3、x+y+10=()过椭圆的左顶点,可知椭圆的左顶点坐标为(-5,0),即a=5,由椭圆的离心率为之可知M，所以c=3,所以b=N=4,所以椭圆的方程为L故选D5. (2022届合肥8月联考,7)已知椭圆幡哈=1(ab0)的右焦点为F,椭圆上的两点P,Q关于原点对称,若IPFI+1QF=6,且椭圆C的离心率为专则椭圆C的方程为()2y22y2A+fbt+=12y22y2c1D.吉哈1答案A由椭圆的定义及椭圆的对称性可得IPF+QF=2a=6,即片3,则由椭圆C的离心率为拇1式=3,所以卜=8,故选A.6. (2021辽宁丹东一模,7)已知斜率为2的直线I不经过坐标原点0,1与椭圆x,唉1相交于,
4、B两点,M为线段AB的中点,则直线OM的斜率为()A.-B.-C.-lD.-2答案C设A(Xl,y),B(x2,yJ,M(x,y),VM是线段AB的中点.x+m=2x,y.+yi=2y,把(x1,y1),B(x2,y2)代入x+-=l,/2/+秃=2,U2+72=2,两式相减,得2(x+xJ(Xxj+(yi+yz)(y-yJ=O,*2x(-2)+y(y-y2)=0,.,得毕尧看7,r2yx,直线OM的斜率U=-1.故选C.7. (2022届江西名校联盟10联考.6)已噂+品=1表示焦点在X轴上的椭圆,则m的取值范围是()A.(-2f-1)U(2,+)8. (-2,+8)9. (-1,2)D.(
5、-,-l)U(2,+)答案A由椭圆的焦点在X轴上,可得,m+2,即mm-20,解得m2或m0,所以m-2,于是m的取值范围为(-2,-1)U(2,+8),故选.8.(2022届福州格致中学月考,6)已知椭圆C=l(abO)的离心率为孚,直线a-by=O与圆M:x2+y2-mx+0相切,则实数m的值是()A.1B.2C.4D.8答案B由题意知C岑a,则a=3b,直线a-by=O即y=x,代入x+y2-mx+i=0,得4-mx+i=0,由=m-4=0,解得n=土2.故选B.229. (2022届安徽安庆10月月考,10)如图,R,R,分别为椭圆C拳=MabO)的左、右焦点,P为椭圆C上的点Q是线段
6、PFI上靠近3的三等分点,APQR为正三角形,则椭圆C的离心率为()答案D由椭圆的定义知，PF1+PF21=2a,由题意得PQ+PF21=2a,又APQE为正三角形,所以IPQl=IPF21,所以IPR与，IPFj=缸在APFE中,由余弦定理得4c啜a+骡-2X,aX/iXeOS60。，得1=C又0ebO),下列选项中满足题意的方程为()2y22y2a+1b16+12y22y2cT00*1d64*1答案C由题意知椭圆焦点在X轴上,可排除B、D选项,因为用周长为72的矩形ABCD截某圆锥得到椭圆，且椭圆与矩形ABCD的四边相切,所以4(a+b)=72,即a+b=18,在椭圆焦.哙=中,a=9,b
7、=4,则a+b=13,不满足题意;在椭圆布靖看本1中,a=10,b=8,则a比=18,满足题意,故选C.11.(2022届安徽蚌埠第一次质检,ID已知椭圆Q+沪(abO)的右顶点为A,坐标原点为0.若椭圆上存在一点P使得aOAP是等腰直角三角形,则该椭圆的离心率为()A.fB.fC.fD.f答案C由题意可知点P为线段OA的中垂线与椭圆的交点,不妨设Pe),将P点坐标代入椭圆方程可得*+=l,SP+2=1.*a2=3b即5又知C=JI所以C=Jlq=,故选C.v212.(2022届陕西宝鸡调研考试,1D设A是椭圆C:x“+I的右顶点,点M在C上,则AM的最大值为()9一22B.D.22答案D设点
8、M(Xayl),点M在C上,则诏+变1,即羽=3-3诏,因为A是椭圆C:x，苓=1的右顶点,所以A(1,0),IAM=J(x0-l)2+y,把郎=3-3诏代入,得AM|-2x-2x04=J-2(%。+/)+3又TWX(IW1,故当Xu=T时，IAM取到最大值孥.故选I).2213. (2022届云南顶级名校月考(三)，8)已知椭%+%=l(ab0),R,R分别为椭圆的左、右焦点,若椭圆上存在一点匕使得IPE-PRl=2b,则该椭圆离心率的取值范围为()A(得B.住,1)答案D因为偿所以PFJ=a+b,又IPRl这a+c,所以bc,则e*常又0el,Urrl十lrr2-a,a庐+。2l所以乎We
9、bO)的左顶点为,上顶点为B,右焦点为F,且ABF是等腰三角形,则椭圆的离心率为.答案竽解析由题意可知ABIIBF,IAFIIBF,又AABF是等腰三角形,所以IABulAF|,即荷中=2+3平方得2aic2=a2+c2+2ac,即2c2+2ac-a*=0,故有2e2+2e-l=0,又e(0,1),所以e=L15. （2022届陕西百校联盟联考（一），15）已知F,握分别为椭圆Cy2=l的左、右焦点,单位圆。与C的一个公共点为比MR与C异于M的交点为N,则ANFE的面积为.答案Wy= x + l,解析由题意可知点M为椭圆的上（或下）顶点,不妨设点M为椭圆的上顶点,如图,则M（0,1）,又FI（
10、T,0）,所以直线MF1的斜率为1,所以直线MF1的方程为y=xl,联立/得3x2+4x=0,解得x=0或x=4则N收+yZ=J点的横坐标x=,将x、=-3弋入y=xl得y=3所以zn7iF2=4IFFiiI,yl216. （2022届河北保定部分学校期中,16）已知椭圆C的中心为坐标原点焦点在y轴上,F1,艮为C的两个焦点,C的短轴长为4,且C上存在一点P,使得PFJ=6PHI,写出C的一个标准方程:.答案卷令1（答案不唯一）22解析设C的方程为%+今=l（abO）,贝U2b=4,b=2.因为IPRl=6PF2LPFl+PF21=2a,所以IPR+1PFzI=71PF21=2a,贝DPF21
11、专,又因为a-cW*Wa+c,所以学2a-c,联衿,解得”二普所以C的标准方程可以是展哈L17. （2021湖南娄底仿真模拟,15）椭圆有这样的光学性质:从椭圆的一个焦点出发的光线,经椭圆反射后,反射光线经过椭圆的另T*焦点.根据椭圆的光学性质解决问题:如图所示,已知曲线C的方程为格展1,其左,右焦点分别是h,E,直线1与椭圆C切于点P,且PFJ4过点P且与直线1垂直的直线与椭圆长轴交于点M,则IRM：F2M=.答案3：5解析由椭圆的光学性质得到PM平分/RPR,所以黑=隅,由IPFIl=IPF1+P&|=4得到IP艮号,故F1M：IF2Mi=3：5.三、解答题r218. (2022届四川遂宁
12、调研,20)已知直线l:y=x+m与椭圆U-+y=l交于A、B两点.若直线1过椭圆C的左焦点Fu求弦长AB的值：若线段AB的垂直平分线与X轴交于点n(1,0),求rn的值解析由题知,R(-2.0),又点R在直线1上,所以0=-+m,即m=夜,则直线1的方程为y=x+2,设A(x,y),B(x2,y2),联立得?2=：+2低；消去y得4x2+62x3=0,(x2+3y2=3,所以A=72-480,x+x产XX=,所以【ABI-2(x1+x2)2-4x1x2=2(-x3.设(xl,y,)tB(x2,y2),线段AB的中点为M(,y0),(V=%+m,.d2+3213得4x+6mx+3-3=0,=4
13、8-12-0,.*.x+x2=-,o=-m,y0=-孤mg故点M的坐标为Gm,知.V线段AB的垂直平分线与X轴交于点N&0),.线段AB的垂直平分线方程为y=-i由线段AB的中点M在直线v-x+.知*孤/解得mT(满足0),因此m的值为T.19.(2022届黑龙江顶级名校质检(二)，21)设椭圆E:?京1(abO)的左焦点为F,离心率为学,过点F且与X轴垂直的直线被椭圆截得的线段长为竽.求椭圆E的方程；(2)设,B分别为椭圆E的左、右顶点,过点F且斜率为k的直线与椭圆E交于点C,D,且前DBADCB=8,求k的值.解析由已知得F(-c,0),由呆我a=Gc,将X=-C代入椭圆方程得,解得y=于
14、是哽竽,解得b=,又a2-c2=b2,从而a=5,c=l,所以椭圆E的方程为导%.(y=k(+1)，设点C(Xby),D(X2,y2),由已知得直线CD的方程为y=k(x+l),联立/y2消去y,整理得(+2=1 l+2k 1产 乙当L,所以点H( 1,-),所以直线AH的斜率k , 18fe.因为k“k-8-2l 8fe . 118/c -1 18k -1/IW 18k -11+2J i+2c2所以A, G, H三点共线.言 1 (ab0)过点 A(l|)和点 B (2,0).（1）求椭圆C的标准方程和离心率;(2+3k2)x2+6k2x+3k2-6=0.贝(JA=48(k+l)0,x+2=
15、-7xX23因为A(-3,0),B(3,0),所以2+32+3ACB+ADCB=(X1+V3,y)(3-2,-y2)+(x2+3,y2)(3-,-y)=6-2xx2-2yy2=6-2xx2-2k2(x+l)(x222+1)=6-(2+2/)xlx2-2k2(xlxz)-2k2=62fe+V由已知得60孕=8,解得k=2.2+3fc2+3k20.(2021朝阳二模,20)已知F为椭圆C苧J=I的左焦点,直线I:y=k(-2)与椭圆C交于不同的两点M,X.当k=时,求AFM的面积；（2）设直线FM,FN分别与直线x=l交于两点P,Q,线段MN,PQ的中点分别为G,11,点A（l,0）.当k变化时,
16、证明A,G,H三点共线.解析（D当k=-4时,由y=(x-2),(nx=o,7/r2解得ill或；则MNl=竽.又因为左焦点F(T,0)到直线+y2=(y-y=l1: y=-*(-2)的距离为d=+,所以AFMN的面积为*MX，d=X京=L(2证明:设M(x,y),N(x2,y2)l+y2=L得(1+2妙江-8a+810,y=c（x-2）.直-2k1 1 线AG的斜率心增解得所以如熹XM=寓,y=k（x1x2-4）.所以点G的坐标为r-02-5l+2标为（1，韶）因为蜘+第-谭P直线km的方程为y=V%（+D，则点P的坐标为（1,5告）.同理点Q的坐_2柯(4-2)(%2+1)+。2-2)(打
17、+1)(x1+l)(x2+l)_2浅田/2-(勺+交)-旬xlx2(xl+x2)+121.（2022届房山开学考试,20）已知椭圆C:2仙吟4)/、心_.。斜率为I的直线与椭圆C交于M,N两点(M,N不与A重合)，直线AM,AN与x轴分别交于P,Q两点,证明：IAP=AQ.1+9=1解析由题意得TH，解得修二:所以c2=a2-b2=l,常二L一，所以椭圆C的标准方程为展1,离心率Cq=证明:设斜率为4的直线方程为弓x+m,M氏,y.),N(x2,y2),可得4x2+4mx+4m2-12=0,1y=2+m+=l所以X+x2=-m,XM=InJ3,所曲AM的方程为日爵x-1),又y弓x+m,所以T
18、骂苧(xT),令y=0,得X=霜鬻，所以p(箱果)，同理可得Q(箫果)，设PQ的中点为G,所以点G的横坐标为4(:温?+等亲孙一(哥为+x2+2m-3)-m)(x2+2m-3)+(42-m)(U+2m-3)一(x1+2m-3)(x2+2m-3)2x/2+(m-3)(%i+x2)-2m(2m-3)%l42+(2m-3)(Xi+%2)+(2m-3)2J吟生皿皿)-2皿2吗)_磬;拦腔=又因为Am所以直线ag为线段PQ的垂直平分线，m2-3-m(2m-3)+(2m-3)z3mz-9m+6乙)所以IAPI=IAQ.22. (2022届江苏连云港期中,20)已知离心率为抽椭圆C:左学1(abO)与直线x
19、+2yY=0有且只有一个公共点求椭圆C的标准方程；(2)设过点P(0,-2)的动直线I与椭圆C相交于A,B两点,当坐标原点0位于以AB为直径的圆外时,求直线1的斜率的取值范围.解析因为e=,所以务即暮.则a当；所以椭圆方程为+烹1,即3x2+4y2-4b-0,由匿威宜J消y得/加no.22因为椭圆%+/=Kab0)与直线x+2y-4=0有且只有一个公共点,故=4-4(4-b2)=0,则代3,所以C的标准方程为展L(2)由题意知过点P(O2)的动直线I的斜率存在且不为0,设A(XI,叉)”62,山)，直线1的方程为y=k-2,I2y2T+T=1消y得(3+4lx2-16kx+4=0,则=256k
20、2-16(3+4k2)0,即k片或k-.y=kx-2,16k4X+X=7,XM=7，3+43+42所以yy2=(kx-2)(kx2-2)=kxx2-2k(x1+x2)+4=12c+H.3+4kz22因为坐标原点0位于以AB为直径的圆外,所以耐OB-XIX2+yy?-j12k+：212k+y)。,3+4k/3+43+4gp-23kb0)的上焦点F倒1的距离为5,过E的直线1与E交于M,N两点,当MN轴时，IMN=3.求椭圆E的方程；直线FM与X轴交于A点直线FN与X轴交于B点求证：F=FB._v22h2解析设FI(0,c),由题意知1:y=-4,所以c+4=5,解得c=l.在与-滔=1中,令y=
21、c,得x=0,因为M=3,所以孚=3,即b号又因为a2-b2=c2=l,联立解得=2,b=4所以椭圆E的方程为哥.证明：由题意及知F(0,4),F1(0,l),当L与y轴重合时,由题意知FAI=IFoI=IFBI;当L与y轴不重合时,设L的方程为y=kx+l,M(xby.),N(x2,y2),则x.0,x20,直线FA,FB的斜率之和为kFA+kfB=kFv+kr.=i,由y=kx1+lty2=k2+l,彳导跖+口产2,y1+2)一2八3(：1：*2)将y=kx+l代入%至1，得(3k2+4)x2+6k-9=0,=36k2+36(3k2+4)=144k2+1440,x+x2=,xx2=-2,3+43+418k则2k3x2k3%h42k-2k=Q3k2+4从而k,故直线F,FB的倾斜角互补,所以OAF=OBF,因此FAI=IFBL综上，IFAl=IFBL
