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1、柯西不等式与平均值不等式训练题1一.选择题（共20小题）1. （2015湖南）若实数a,b满足Lz=伤，则ab的最小值为（）abA.2b2C.22D.42. （2015福建）若直线/珠1（a0,b0）过点（L1）,则a+b的最小值等于（）A.2B.3C.4D.53. 若实数x、y满足tpg=l,则2+2y2有（）A.最大值3+2B.最小值3+2C.最大值6D.最小值64. （2015上海）已知a0,b0,若a+b=4,则（）A.a2+b2有最小值B.篇有最小值C.工J有最大值D.有最大值aba+b5. （2015浙江）设正实数a,b满足a+b=2（其中为正常数）.若ab的最大值为3,贝J=（）
2、A.3B.1C.2d.12336.已知x0,y0,Ig2x+lg8y=lg2,则工十上的最小值是（）X3yA.2B.22C.4D.237 .已知正项等比数列an满足a7=a6+2a5,若存在两项am,an使得同能二4&，则工J的最小值为（）A.?B.至C.25d.不存在2368 .若a0,b0,且a+2b-2=0,则ab的最大值为（）A.1B.1C.2D.429 .已知正项等比数列an满足：a7=a6+2a5若存在两项am,an,使得aman=16a/,则2+9的最小值为（）IrnA.2B.&C.卷D.不存在23610 .若正数X,y满足3x+y=5xy,则4x+3y的最小值是（）A.2B.3
3、C.4D.511 .已知正实数m,n满足m+n=l,且使工十”取得最小值.若曲线y=a过点p（马里），则a的值为（）mn54A.-1B.1C.2D.3212 .设abO,则a+1+_L的最小值为（）ba-bA.2B.3C.4D.3+2213 .若x0,y0,x+2y+2xy=8,则x+2y的最小值是（）A.11B.3C.1D.42214 .若4x+4y=l,则x+y的取值范围是（）A.0,1B.-1,OlC.-1,+oo）D.（-co,-115 .已知a0,b0,c0,且ab=l,a2+b2+c2=4,则ab+bc+ac的最大值为（）A.l+22B.3C.3D.416 .若正数X,y满足”+6
4、Xy-I=0,则x+2y的最小值是（）A.2万b.强C,立D.2氏333317 .已知a0,b0al,若函数y=logax过点(a+2b,0),则LJ的最小值为()a+1bA.3+2b.Uc_15d2223418 .已知a0,bl且2a+b=4,则2+?一的最小值为()ab-1A.8B.4C.22D.?319 .若正数a,b满足工F工1,则_+_的最小值为()aba-1b-1A.16B.25C.36D.4920 .己知x,y(-,0),且x+y=-l,贝Jxy+2有()XyA.最大值UB.最小值Ue最小值-UD.最大值-U4444二.解答题(共10小题)21.己知正实数a、b满足：a2+b2=
5、2b.(1)求工的最小值m；(2)设函数f(x)=x-t+x(t0),abt对于(1)中求得的m,是否存在实数X,使得f(X)二竺成立，说明理由.222.已知不等式2-5ax+b0的解集为xx4或Vl(1)求实数a,b的值；(2)若OVXV1,f(x)=+,求f(x)的最小值.Xl-x23.已知函数f(x)=J+l1+-3I-In的定义域为R(I)求实数m的取值范围.(II)若m的最大值为n,当正数a、b满足，+_=n时，求7a+4b的最小值.3a+ba+2b24.己知a,b都是正实数，且a+b=l ( I )求证:L4;(H)求(a+l) 2+ (b+工)2的最小值. a bab25 .己知
6、实数a,b,c满足a2+b2+,=3.(I)求证a+b+c3;(II)求证U+3a2b2C226 .已知关于X的不等式：2-ml的整数解有且仅有一个值1.(1)求整数m的值；(2)已知a,b,C222均为正数，若2a+2b+2c=m,求3_+且_+J的最小值.bca27 .已知正数x,y,Z满足2x+2y+z=l,求3xy+yz+zx的最大值.28 .己知a,b,cR,a2+b2+c2=l.(1)若a+b+c=O,求a的最大值.(2)若ab+bc+ca的最大值为M,解不等式x+l+x13M.29 .已知正实数a,b,C满足a+b+c=3,求证：乌+9+$3.abzc30 .已知a0,b0,且a
7、+b=2.(1)求2+出的最小值及其取得最小值时a,b的值；(2)求证：a2+b22.ab一.选择题（共20小题）1.C；2.C；3.B；4.A；5.D；6.C；7.A；8.A；9.A；10.D；11.B；12.C；13.D；14.D：15.A；16.A；17.A：18.D：19.A；20.B；二.解答题（共10小题）21.解：（1）V2b=a2b2ab,即J篇ab,篇1又J必当且仅当a=b时取等abab号.m=2.(2)函数f(x)=x-t+x+A22.解：（1）由题意可得4+1:5a,解得4l=b(2)(l)f(x)=l+-VOxl,O1-xO,.x1-xxx+(1-x)=5+-15+2a
8、I1x-L.=9当且仅当LIXXl-x41,满足条件的实数X不存在.2a=,实数a,b的值分别为1,4；b=41-x,4x0,.,.f(X)=1+4-(1+)Xl-XX1-XxI-X即X二工时，等号成立.；.f（X）的3最小值为9.23.ft?：(1),函数定义域为函.x+l+-3m0恒成立,设函数g(x)=x+l+x-3,则m不大于函数g(x)的最小值，Xx+l+x-3(x+l)-(x-3)|=4,即g(x)的最小值为4,m4.(2)由(1)知n=4,.7a+4b=(6a+2b+a+2b)(41(5+2X2,座“生生)4Va+2b3a+b24.证明：H=2Tabab3a+ba+2b)=_1(
9、5+2(3a+b)2(a+2b)J-41一题-d3a+b=,当且仅当a+2b=3a+b,即b=2a=且时取等号.7a+4b的最小值为2104,即()解：(a4)2+(b+g)22ab又,得ab-g-ab2.(a+l)2+(b+)2ab2当且仅当a二b二,上式等号成立.25.证明：(I)V(a+b+c)2=a2+b2+c2+2ab+2bc+2aca2+b2+c2+(a2+b2)+(b2+c2)+(a2c2)=3(a2+b2+c2)=9.a+b+c3;(ID,/(a2+b2+c2)3+：-Ofbk22bacI2?r2k2.+且+且_+.222k222k22+=3+(+)+(+)+(+)2,222，
10、2十2，2屋2，abbacacb旺+2匠.2=9.当且仅当a2=b22=l时取等号.，工J+工3a2a2b2C22x-ml可得-l2-ml,解得lxl.由于整数解有且仅22k2cbc226.解：（1）由关于X的不等式:有一个值为1,O1,lm3.故整数m的值为2.ljy2(2)由2a+2b+2c=m得a+b+c=1.22a,0a2k222k22222*-+-+(a+b+c)2(a+b+c)，即+a+b+c+1，当且仅当a=b=cbcabcabca2k22时取等号故工+更+J的最小值为1.bca27.解：:正数X,y,Z满足2x+2y+z=l,可得z=l-2(x+y)0,解得0+y=-I(xy)2(x+y)=-(xy)-2当+y=2, =y=工时, 5528.解：(1) Va2=(的最大值为近. 3取等号,3xy+yz+zx的最大值为工5-b-c)2=b2+c2+2bc2(b2+c2)a22(1-a2),3a22,即-2212222(2) ;ab+bc+ca3%后，abcl,30.解：(1)VaO,b0,且a+b=2.+-=-(a+b)()=(a+b)($+1+等5+*乂,=%当且仅当aO,b0,且a+b=22(a2b2)(a+b)2=4,a2+b22,当且仅当a=b=l时取等号.
