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1、单自由度振动系统受迫振动（机械振动力学）具有粘性阻尼的系统，自由振动会逐渐衰减，并最终停下来。但是，当系统受到外界动态作用力的持续激励时，系统的振动将会持续下去。系统在外界持续激励下引起的振动称为强迫振动，它是系统对外部激励过程的响应。系统的响应是指外界的激振所引起系统的振动状态，如位移、速度和加速度等。系统的激励可以是力，也可以是位移、速度和加速度。激励随时间变化的规律可以分为，简谐激励、非简谐周期性激振和随时间任意变化的非周期性激振。简谐激振力是按正弦或余弦函数规律变化的力，如偏心质量引起的离心力，载荷不均或传动不均衡产生的冲击力等；非简谐激振力，如凸轮旋转产生的激振、单缸活塞-连杆机构的
2、激振力等；随时间变化的任意激振力，如爆破载荷的作用力，也可以是位移、速度和加速度。谐波激励是最简单的激励，系统在谐波激励下的响应也是简谐的。对于线性系统，谐波激励及其响应均满足叠加原理，复杂谐波的激励可以分解为一系列简谐激励，然后再对每一个简谐激励的响应叠加，即可获得总的响应。谐波激励下的响应问题是强迫振动中最简单、最基础的问题。无阻尼系统的强迫振动1.力学模型州M川W确foSincot受迫振动方程：wu()+()=Jqsinaw()w(z)=sinaw非齐次通解=齐次通解+非齐次特解齐次方程通解：()=1cos%t+2sin%t如果3特解：u(Z)=C1sincut+C2cosa立+打=&S
3、inM待定常数：G=fF2,2=mi1i-0)非齐次方程通解:/(r)=w()+(O=qcost+2sintNLSint加(比一炉)VX?由初始条件和外力引起的与外激励理率相同的受迫白由振动部分振动部分如果3=特解的形式：it(Z)=/(C1cos+C2sin07)Z1)+W(e)=sin2Kw待定常数：特解：非齐次方程通解：2.受迫振动的稳态振动从方程的通解可以看出，振动的位移由自由振动、受迫振动两部分组成。教科书中通常在此引入阻尼，这样振动在阻尼的作用下自由振动部分逐渐衰减，若干周期后只剩下受迫振动部分。这一点并不符合初始的无阻尼假设，只是简化分析上的考虑，但是应该看到受迫振动部分才是整个
4、解中值得关注的关键部分。这样方程的解可以简化成：振幅：由F=kx,可令Bs=fOk,它相当于激振力幅值ft)静作用在弹簧上所产生的静变形。由此可见，强迫振动的频率与激振力的频率相同，即系统的强迫振动与激振力具有相同的变化规律；强迫振动的振幅决定于系统本身的物理性质，激振力的大小和频率比与初始条件无关；其振幅比由频率比决定。当入Vl时，随着人的增大，即3增大，振幅比B/Bs也相应地增加，系统的振幅增大；振幅比B/Bs为正，受迫振动与激振力同相，所以受迫振动与激振力之间的相位角2=0。很小(3l(n)时，振幅比B/Bs趋近于0,当激振频率3远远超过系统的固有频率3n时，振幅反而很小。入=l(3=3
5、n)时，振幅比B/Bs无穷大，即受迫振动的振幅将达到无穷大，即出现共振现象。共振的振幅B：对于确定的系统而言，共振振幅B与激振力的大小，作用时间成正比；与固有频率成反比。由此可见，固有频率越低越危险，激振力越大振幅越大，作用时间越长振幅越大。因此，在共振不可避免时，可以从这三个方面入手控制共振强度(振幅)。有阻尼系统的强迫振动1 .力学模型FOSln0UClfxexK(sx)(a)(b)图1强迫振动力学模型mx+cx+kx=&sin4*2=km,2n=cm,q=F0mx+2nx+婢x=gsm&它的通解可以用二阶线性常系数齐次微分方程的通解xl(t)与方程的特解x2(t)之和表示，即：X=xl(
6、t)+x2(t)o为()=fsin(卬+0)勺)=5sn(0)其中，为位移落后与激振力的相位角，B为受迫振动的振幅。在有阻尼的情况下，xl(t)只在振动初期某一较短的时间有意义，随着时间的增加，它将逐渐衰减殆尽。将x2(t)代入方程，得到(P=arctan2ns令人=33n,=nB=&J卜J(I邛+(2,)22=arctan-M2 .稳态振动有阻尼单自由度系统在简谐外激励下的稳态振动有如下规律：对谐波激励的响应仍然是等幅谐波，运动规律有激励频率3、振幅X、滞后相位中确定。响应频率与激励频率相同，响应滞后激励的相位角为巾。滞后相位角力与无阻尼响应的初相位不同，前者是由于系统的阻尼引起，而后者是由
7、初始条件确定的。强迫振动的振幅决定于系统本身的物理性质、激振力大小和频率比，与初始条件无关。有阻尼振动的幅频特性将振动方程的解x2(t)振幅B变形可得下式：从图2可以看出：影响振幅的因素主要是激振力幅值F0、频率比人和阻尼比C。受迫振动的振幅B与激振力幅值FO成正比。因此，要改变受迫振动振幅B,只需改变激振力的幅值F0。频率比人对振幅B的影响。当人很小(31(33n)时，振幅比B/Bs趋近于0,振幅B很小；当入-l(3Q3n)时，在C较小的情况下，振幅B则很大，在无阻尼状态下，振幅比B/Bs趋于无穷大，受迫振动的振幅将达到无穷大，即出现共振现象。使振幅或振幅比达到极值的频率称为共振频率，用表示
8、；3d为有阻尼固有频率，3n为无阻尼固有频率。求解极值可得：%=正20。阻尼比C对振幅的影响。当，有阻尼时的幅频响应曲线均在C=O的幅频响应曲线的下方，这说明阻尼的存在使得振幅B变小；当，在33n时，计算振幅可以不计阻尼的影响；当，在共振区内，振幅的大小对阻尼敏感，其幅值随着阻尼增加而迅速减小，因此该区域为阻尼敏感区。在共振区内可以通过增加阻尼来有效地减小系统的振动幅度，但在共振区外阻尼对减小系统的振幅的作用非常有限。有阻尼振动的相频特性图3有阻尼振动的相频特性曲线由图3可见，小阻尼振动系统的相频特性：当激励频率很低时，相位角滞后很少，说明振动位移几乎与激励是相同的。但随着激励频率的增加，相位
9、角滞后程度增大。当激励频率很高时，相位角滞后超过九/2,说明振动位移几乎与激励是反相的，这主要是质量惯性所导致的结果。当激励频率等于固有频率时，即入=1时，=2o在阻尼很小时，当入VI,相位角趋于0；当人1,相位角趋于冗。对于C=0的系统，在入=I时，相位角力由0突然变为%即由同相突变为反相，这种现象称为倒相。有阻尼振动的总振动响应和过渡过程与无阻尼系统一样，有阻尼受迫振动系统的总响应也由自由振动和受迫振动两个部分构成。初始阶段，自由振动和受迫振动同时存在于系统之中，由于阻尼的存在，系统总响应中的自由振动分量会很快被衰减殆尽。在系统达到稳态振动之前的振动过程，称为过渡过程。（a）当c0l图4瞬
10、态振动（过渡过程的振动）参考文献：1闻邦椿等编著机械振动理论及应用M,北京：高等教育出版社，2009.5（2015.1重印）12鲍文博等编著振动力学基础与MaHab应用M,北京：清华大学出版社，2015（2019.8重印）引陈奎孚编著机械振动基础M,北京：中国农业大学出版社，2010.124顾海明凋勇军编,机械振动理论与应用M,南京:东南大学出版社2007.2有阻尼体系受迫振动位移响应分析P(t)一P(t)1mycy-ky图1单自由度体系有阻尼受迫振动摘要：为了掌握有阻尼体系受迫振动位移响应及其影响因素，本篇运用高等数学、大学物理、结构动力学等知识，从理论上推导出位移响应的解析解，并对影响位移
11、响应的因素进行分析，得出如下结论：（I）使用模态叠加法求解多自由度体系有阻尼受迫振动的微分方程可大大简化计算。（2）当频比系数趋于0时，动荷载可以看作静荷载处理。此时惯性力和阻尼力很小，动荷载主要与弹性恢复力平衡，且动荷载与位移同步。（3）当频比系数趋于co时，阻尼力和弹性恢复力很小，动荷载主要与惯性力平衡，且动荷载与位移反向，减弱振动，即高频振动引起的位移响应可以忽略。（4）当频比系数趋于1时，发生在共振现象。此时阻尼比的微弱变化对动力系数影响很大，但结构的最大动力系数并非共振时的动力系数。关键词：受迫振动;位移响应;模态叠加法;频比系数;阻尼比;动力系数有阻尼受迫振动现象广泛存在于现实生活
12、中。人们在利用振动原理解决工程难题山的同时.，也在避免振动带来的的危害。很多专家学者也对振动的响应做出了大量的研究35。如位移响应不仅与荷载频率有关，还与自振频率有关，当荷载频率接近自振频率时，结构体系将发生共振从而可能引起破坏。但这些毕竟是一些定性的讲法。怎样定量表示位移响应的大小，并研究位移响应与其影响因素之间的关系成为工程的难点问题，这也是笔者研究的内容。1有阻尼受迫振动微分方程1.1 单自由度体系受迫振动微分方程如图1所示，有阻尼的单自由度体系在动荷载作用下发生受迫振动。由达朗贝尔原理知，体系共受到动荷载P（t）、惯性力、阻尼力和弹性恢复力-ky四个力共同作用。m、c、k分别为体系质量
13、、阻尼、刚度，、分别为体系加速度、速度、位移。振动方程为；1.2 多自由度体系受迫振动微分方程如图2所示，有阻尼的多自由度体系在动荷载向量作用下发生受迫振动。振动方程为C、K分别为质量矩阵、阻尼矩阵、刚度矩阵，、分别为加速度向量、速度向量、位移向量，P（t）为动荷载向量。质量矩阵M为对角矩阵;刚度矩阵K为对称矩阵，即kij=kji;阻尼矩阵0一般不为对称矩阵，但可通过线性组合成为对称矩阵。2有阻尼受迫振动微分方程的位移响应672.1 单自由度体系受迫振动微分方程的位移响应式中为荷载作用时刻，被积函数t为计算位移时刻，积分上限t为瞬时冲量作用的时间范围。综上，单自由度体系有阻尼受迫振动微分方程的
14、位移响应为2.2 多自由度体系受迫振动微分方程的位移响应多自由度体系受迫振动微分方程的位移解法通常有直解法和模态叠加法两种。下面笔者将分别予以介绍。2.2.1 多自由度体系受迫振动微分方程的位移直解法在式（2）中，假定阻尼矩阵C为对称矩阵，当体系受到的动荷载向量为简谐荷载向量作用时，可用直解法进行求解。平稳阶段位移响应的形式为若多自由度体系受到的动荷载向量不为简谐荷载向量，而是一般动荷载向量，可将一般动荷载向量转换成为若干个简谐荷载向量的叠加。但荷载叠加法在单自由度体系中已相当繁琐,在多自由度体系中必将更为复杂，甚至不可能实现。2.2.2 多自由度体系受迫振动微分方程的振模态叠加法在实际的多自
15、由度体系中，因阻尼力的机理比较复杂，阻尼矩阵很多情况下不是对称矩阵，而使用模态叠加法又要求阻尼矩阵C为对称矩阵，所以首先将阻尼矩阵作变换。设，为多自由度体系的自振频率，其可由频率方程求出。分别对应的阵型向量为。振型矩阵，贝IJ。设广义坐标为，其为振型的组合系数。这样，多自由度体系的位移向量便可用振型矩阵和广义坐标向量来表示，即若已知多自由度体系的两个自振频率（i为）及通过式测出的两个阻尼比（n为周期数，yk为k时刻的振幅，yk+n为k+n时刻的振幅），则可通过式、求出a、b。再把a、b带入式（13）即可求出广义阻尼矩阵。通过以上的变换，使非对称的阻尼矩阵成为对称的广义阻尼矩阵后，便可以使用模态
16、叠加法计算多自由度体系的位移响应。可见，我们把自由度为n的多自由度体系的动力计算问题转换成n个单自由度体系的动力计算问题，从而使计算大大简化。对式（14）运用杜哈梅积分，有式中，为第i阶振型有阻尼振动的自振频率。运用式（15）可求出广义坐标向量，把带入式（9）可求出多自由度体系受迫振动的位移响应。3阻尼比、频比系数及动力系数对位移响应的影响8因多自由体系的阻尼比、频比系数及动力系数对位移响应的影响过于复杂，本篇只研究单自由度体系的相关问题，但二者受迫振动位移响应机理相同。根据荷载叠加理论，一般动荷载P（t）可以由若干简谐荷载叠加而成。故此,可做如下假设显然，式（22）的前两项会逐渐衰减，最有只
17、剩下第三项稳态位移。若只考虑第k个简谐荷载的影响，并对第三项作变形，得第k个简谐荷载产生的位移响应为接近自振频率时，结构的动力系数由阻尼比决定。一般结构的阻尼比在0.010.1之间，发生共振时动力系数在550之间。可见，在工程中采取避免共振的措施尤为重要。此外结构的最大动力系数并非共振时的动力系数。由高等数学知，当频比系数时，最大动力系数4结论(1)对多自由度体系有阻尼受迫振动的微分方程而言，使用位移直解法异常复杂，甚至不可行;但使用振型叠加法却可大大简化计算，因为振型叠加法的原理是把自由度为n的多自由度体系的动力的计算问题转换成n个单自由度体系的动力计算问题。(2)当频比系数趋于0时，荷载频
18、率相对自振频率很小，体系振动地很慢,动荷载可以看作静荷载处理。此时惯性力和阻尼力很小，动荷载主要与弹性恢复力平衡，且动荷载与位移同步。(3)当频比系数趋于8时，荷载频率相对自振频率很大，体系振动得很块。此时阻尼力和弹性恢复力很小,动荷载主要与惯性力平衡,且动荷载与位移反向，减弱振动，即高频振动引起的位移响应可以忽略。(4)当频比系数趋于1时，荷载频率接近自振频率，发生在共振现象。此时阻尼比的微弱变化对动力系数影响很大，但结构的最大动力系数并非共振时的动力系数。参考文献：1唐伟军.ZKB型直线振动筛的应用及优化J.机械管理开发,2019,34(09)：61-62+652屈驰，曾云翔，贾辉.船载放
19、射性污染检测装置的减振设计与分析J.科技创新与应用，2019(30)：102-1033陶湘.从功能关系讨论受迫振动的振幅J.大学物理，1994,13(11)：5-8,+31.4田红亮,陈谦.单自由度系统J.三峡大学学报(自然科学版),2019(05)：103-107.5刘津升.阻尼振动和受迫振动系统的动力学研究J.物理通报，2016,35(12)：36-38.6经本合，胡安良.n个一维同频简谐振动合成的简易推导J.物理通报,2018(10)：27.7包世华.结构动力学M.第1版.武汉：武汉理工大学出版社，2005：8-848曹孝君，张继春，吕和林.频率对爆破地震作用下结构的动力响应的影响研究J.爆破，2006,23(2)：14-19,73
