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1、金太阳新课标资源网 3.3几何概型 人教新课标A版 必修三学案一 几何概型学习要求1了解随机数的意义，能运用模拟方法（包括计算器产生随机数来进行模拟）估计概率，初步体会几何概型的意义；2通过阅读材料，了解人类认识随机现象的过程学习注意本讲内容在高考中所占比较轻，纵贯近几年的高考对概率要求降低，但本讲内容使新加内容，考试涉及的可能性较大考试形式：（1）题目类型多以选择题、填空题形式出现，；（2）本建考试的重点内容几何概型的求值问题，我们要善于将实际问题转化为概率模型处理。精讲要点1随机数的概念随机数是在一定范围内随机产生的数，并且得到这个范围内任何一个数的机会是均等的。2随机数的产生方法（1）利
2、用函数计算器可以得到01之间的随机数；（2）在Scilab语言中，应用不同的函数可产生01或ab之间的随机数。3几何概型的概念如果每个事件发生的概率只与构成该事件区域的长度（面积或体积）成比例，则称这样的概率模型为几何概率模型；4几何概型的概率公式：P（A）=。5几种常见的几何概型（1）设线段l是线段L的一部分,向线段L上任投一点.若落在线段l上的点数与线段L的长度成正比,而与线段l在线段l上的相对位置无关,则点落在线段l上的概率为：P=l的长度/L的长度（2）设平面区域g是平面区域G的一部分,向区域G上任投一点,若落在区域g上的点数与区域g的面积成正比,而与区域g在区域G上的相对位置无关,则
3、点落在区域g上概率为：P=g的面积/G的面积（3）设空间区域上v是空间区域V的一部分,向区域V上任投一点.若落在区域v上的点数与区域v的体积成正比,而与区域v在区域v上的相对位置无关,则点落在区域V上的概率为：P=v的体积/V的体积几何概型的应用例说几何概型，以其形象直观的特点，倍受人们青睐下面举例说明几何概型在几方面的应用，以使同学们感受数学美的思维之花一、与数有关的几何概型例在区间上随机取两个数，求关于的一元二次方程有实根的概率解析：在平面直角坐标系中，以轴和轴分别表示的值，因为是与图1中正方形内的点一一对应，即正方形内的所有点构成全部试验结果的区域设事件表示方程有实根，则事件，所对应的区
4、域为图1中的阴影部分，且阴影部分的面积为故由几何概型公式得，即关于的一元二次方程有实根的概率为二、与形有关的几何概型例2在等腰中，在斜边上任取一点，求的长小于的长的概率解析：点随机地落在线段上，故线段为试验所有结果构成的区域在上截取，则当点位于图2中线段上时，故线段即为构成事件的区域于是，即的长小于的长的概率为例3 如图3，在平面直角坐标系内，射线落在角的终边上，任作一条射线，求射线落在内的概率解析：以为起点作射线是随机的，因而射线落在任何位置都是等可能的落在内的概率只与的大小有关，符合几何概型的条件记，即射线落在内的概率为三、与时间有关的几何概型例4从甲地到乙地有一班车在到到达，若某人从甲地
5、坐该班车到乙地转乘到出发的汽车到丙地去，问他能赶上车的概率是多少？解析：到达乙地的时间是到之间的任一时刻，某人从乙地转乘的时间是到之间的任一时刻，如果在平面直角坐标系中用轴表示班车到达乙地的时间，轴表示从乙地出发的时间，因为到达乙地时间和从乙地出发的时间是随机的，则试验的全部结果可看作是边长为05的正方形设“他能赶上车”为事件，则事件的条件是，构成事件的区域为图4的阴影部分由几何概型公式，得，即他能赶上车的概率为0875例5国家安全机关监听录音机记录了两个间谍的谈话，发现30min长的磁带上，从开始30s处起，有10s长的一段内容包含间谍犯罪的信息后来发现，这段谈话的一部分被某工作人员擦掉了，
6、该工作人员声称他完全是无意中按错了键，使从此处起往后的所有内容都被擦掉了那么由于按错了键使含有犯罪内容的谈话被部分或全部擦掉的概率有多大？解析：包含两个间谍谈话录音的部分在30s到40s之间，当按错键的时刻在这段时间之内时，部分被擦掉，当按错键的时刻在到30s之间时全部被擦掉，即在0到40s之间的时间段内容按错键时，含有犯罪内容的谈话被部分或全部擦掉，而0到30min之间的时间段内任一时刻按错键的可能性是相等的，所以按错键使含有犯罪内容的谈话被部分或全部擦掉的概率只与从开始到谈话内容结束的时间段长度有关记按错键使含有犯罪内容的谈话被部分或全部擦掉了，发生就是在0到min时间段内按错键四、体育运
7、动中的古典概率例6在一个健身房里，用拉力器进行锻炼时，需要选取2个质量盘装在拉力器上有2个装质量盘的箱子，每个箱子中都装有4个不同的质量盘：25kg，5kg，10kg和20kg，每次都随机的从2个箱子中各取1个质量盘装在拉力器上后，再拉动这个拉力器（1）随机的从2个箱子中各取1个质量盘，共有多少种可能的结果？用表格列出所有可能的结果（2）计算选取的两个质量盘的总质量分别是下列质量的概率：20kg；30kg；不超过10kg；超过10kg（3）如果一个人不能拉动超过22kg的质量，那么他不能拉开拉力器的概率是多少？解：（1）第一个箱子的质量盘和第二个箱子的质量盘都可以从4种不同的质量盘中任意选取我
8、们可以用一个“有序实数对”来表示随机选取的结果例如，我们用（10，20）来表示：在一次随机的选取中，从第一个箱子中取的质量盘是10kg，从第二个箱子中取的质量盘是20kg表1列出了所有可能结果从表1中可以看出，随机的从2个箱子中各取1个质量盘的所有可能结果共有16种由于选取质量盘是随机的，因此这16种结果出现的可能性是相同的，这个试验属于古典概型（2）用A表示事件“选取的两个质量盘的总质量是20kg”，从表2中可以看出，总质量为20kg的所有可能结果只有1种，因此，事件A的概率用B表示事件“选取的两个质量盘的总质量是30kg”，从表2中可以看出，总质量为30kg的所有可能结果共有2种，因此，事
9、件B的概率用C表示事件“选取的两个质量盘的总质量不超过10kg”总质量不超过10kg，即总质量为5kg，75kg，10kg之一，从表2中容易看出，所有可能结果共有4种，因此，事件C的概率用D表示事件“选取的两个质量盘的总质量超过10kg”总质量超过10kg，即总质量为125kg，15kg，20kg，225kg，25kg，30kg，40kg之一，从表2中可以看出，所有可能结果共有12种，因此，事件D的概率（3）用E表示事件“不能拉开拉力器”，即总质量超过22kg总质量超过22kg是指总质量为225kg，25kg，30kg，40kg之一从表2中可以看出，这样的可能结果共有7种，因此，不能拉开拉力器
10、的概率思维总结1几何概率是考研大纲上要求的基本内容，也是近年来新增考察内容之一；2有关几何概率的题目难度不大，但需要准确理解题意，利用图形分析问题。本讲将着重介绍如何利用图形解决几何概率的相关问题；3学好几何概率对于解决后续均匀分布的问题有很大帮助。4关于几何概型：（1）我们是就平面的情形给出几何概型的，同样的方法显然也适用于直线或空间的情形，只需将“面积”相应地改变为“长度”、“体积”；（2）几何概型并不限于向平面(或直线、空间)投点的试验，如果一个随机试验有无限多个等可能的基本结果，每个基本结果可以用平面(或直线、空间)中的一点来表示，而所有基本结果对应于一个区域，这时，与试验有关的问题即
11、可利用几何概型来解决当堂练习：1从一批羽毛球产品中任取一个，其质量小于4.8g的概率为0.3，质量小于4.85g的概率为0.32，那么质量在4.8，4.85（g）范围内的概率是（ ）A0.62 B0.38 C0.02 D0.682在长为10 cm的线段AB上任取一点P，并以线段AP为边作正方形，这个正方形的面积介于25 cm2与49 cm2之间的概率为（ ）ABCD3同时转动如图所示的两个转盘，记转盘甲得到的数为x，转盘乙得到的数为y，构成数对（x，y），则所有数对（x，y）中满足xy4的概率为（ ）A B C D甲乙123412344如图，是由一个圆、一个三角形和一个长方形构成的组合体，现用红、蓝两种颜色为其涂色，每个图形只能涂一种颜色，则三个形状颜色不全相同的概率为（ ）A B C D5两人相约7点到8点在某地会面，先到者等候另一人20分钟，过时离去则 求两人会面的概率为（ ）A B C D答案：1.B; 2.B; 3.C; 4.A; 5.C;第 7 页 共 7 页 金太阳新课标资源网
