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1、冲刺“985”优等生拔高讲义（学生版本）专治学霸各种不服高中数学教师解题研究QQ群： 545423319高中数学试题研究群，群里名师云集，有全国各地教研员，优秀教师，高考命题专家和各大市的命题专家。希望有研究高考、解题、命题、教学等兴趣的高中数学教师加入，让我们一起在这里提高教学能力、解题和命题水平吧。QQ群（545423319）建群宗旨，以题会友，不答不相识本系列讲义word教师用答案详解版，可入群免费下载第一章 集合与简易逻辑1问题一 集合中的创新问题1问题二 集合与其他知识的交汇问题8问题三 含参数的常用逻辑用语问题16第二章 函数与导数23问题一 如何灵活应用函数的四大性质23问题二
2、函数中存在性与恒成立问题31问题三 如何利用导数处理参数范围问题 39问题四 函数与方程、不等式相关问题48问题五 利用导数处理不等式相关问题55第三章 三角函数63问题一 应用三角公式化解求值的技巧问题63问题二：应用三角函数的性质求解参数问题70问题三：三角形中的不等问题78问题四：与向量、数列等相结合的三角形86问题五：利用正、余弦定理解决实际问题94第四章 平面向量104问题一 平面向量基本定理的应用问题104问题二 平面向量中的范围、最值问题110问题三 平面向量解析几何中的应用115问题四 高考题中向量数量积的若干种求法127第五章 数列132问题一：等差数列、等比数列的证明问题1
3、32问题二：数列中的最值问题142问题三：由复杂递推关系求解数列的通项公式问题148问题四：如何顺畅求解复杂数列的求和问题153问题五 数列与不等式的相结合问题159问题六：数列中探索性问题168第六章 不等式177问题一：含参数的不等式的恒成立、恰成立、能成立问题177问题二 线性规划中的参数问题190问题三 利用基本不等式处理最值、证明不等式和实际问题198第七章 立体几何209问题一：面体与球的组合体问题209问题二 立体几何中折叠问题217问题三 立体几何中的最值问题225问题四：化归与转化思想解决立体几何中的探索性问题230问题五：利用空间向量解决开放性问题241第八章 解析几何25
4、2问题一 与圆有关的最值问题252问题二：求解离心率的范围问题257问题三：椭圆、双曲线、抛物线与圆相结合问题264问题四 圆锥曲线的最值、范围问题274问题五：圆锥曲线的定值、定点问题285问题六：圆锥曲线的存在、探索问题292第九章 概率与统计303问题一：复杂的排列组合问题303问题一：与几何概型相结合的问题309问题二：交汇创新离散型随机变量的交汇题（理）313第十章 推理证明、框图和复数329问题一 推理问题的常见求解策略329问题二 数学归纳法在证明不等式中的应用335问题三 算法与其他问题相结合问题341问题四：复数与其他知识相结合问题353第四章 平面向量问题一 平面向量基本定
5、理的应用问题平面向量问题一直在高中数学中以数学工具的形式出现,它很好的体现了数学知识间的联系与迁移,具体到平面向量基本定理,又在向量这部分知识中占有重要地位,是向量坐标法的基础,是联系几何和代数的桥梁,本文从不同角度介绍定理的应用一、利用平面向量基本定理表示未知向量 平面向量基本定理的内容：如果,是同一平面内的两个不共线向量,那么对于这一平面内的任一向量,有且只有一对实数1,2使=1+2,平面内选定两个不共线向量为基底,可以表示平面内的任何一个向量【例1】如图,平面内有三个向量,其中与的夹角为,与的夹角为,且,若,则（ ）A. B. 来源C. D. 【小试牛刀】【2016届重庆市巴蜀中学高三上
6、学期期中】在中,若点满足,则（ ）A B C D二、利用平面向量基本定理确定参数的值、取值范围问题 平面向量基本定理是向量坐标的理论基础,通过建立平面直角坐标系,将点用坐标表示,利用坐标相等列方程,寻找变量的等量关系,进而表示目标函数,转化为函数的最值问题【例2】【2016届浙江省绍兴市一中高三9月回头考】已知向量满足,若为的中点,并且,则的最大值是（ ）A B C D【小试牛刀】如图,在正方形ABCD中,E为AB的中点,P为以A为圆心,AB为半径的圆弧上的任意一点,设向量 三、三点共线向量式设是共线三点,是平面内任意一点,则,其特征是“起点一致,终点共线,系数和为1”,利用向量式,可以求交点
7、位置向量或者两条线段长度的比值【例3】如图所示,已知点G是ABC的重心,过G作直线与AB、AC两边分别交于M、N两点,且,则的值为 .来源:学科网ZXXK来源:Zxxk.Com【小试牛刀】若点M是ABC所在平面内一点,且满足：.（1）求ABM与ABC的面积之比.（2）若N为AB中点,AM与CN交于点O,设,求的值.四、平面向量基本定理在解析几何中的应用【例4】【2016届安徽省六安一中高三上第五次月考】设双曲线的右焦点为F,过点F与x轴垂直的直线交两渐近线于A,B两点,与双曲线的其中一个交点为P,设坐标原点为O,若,且,则该双曲线的渐近线为（ ）A B C D【小试牛刀】【2016届河北省邯郸
8、市一中高三一轮收官考试】已知是双曲线（,）的左顶点,、分别为左、右焦点,为双曲线上一点,是的重心,若,则双曲线的离心率为（ ）A B C D与的取值有关【迁移运用】1.如图,在平行四边形中,则（ ）(用,表示)A BC D 2设向量,若(tR),则的最小值为（）A B.1 C. D.3.【2016届广西武鸣县高中高三8月月考】直线过抛物线的焦点,且交抛物线于两点,交其准线于点,已知,则（ ）A.2 B. C. D.44已知是两个单位向量,且=0若点C在AOB内,且AOC=30,则（）A B C D5在ABC中,M为边BC上任意一点,N为AM中点,则的值为()A. B. C. D.16. 已知,
9、若是以为直角顶点的等腰直角三角形,则的面积是（ ）A B2 C D4来源:学#科#网7.过坐标原点O作单位圆的两条互相垂直的半径,若在该圆上存在一点,使得（）,则以下说法正确的是（ ）A点一定在单位圆内B点一定在单位圆上C点一定在单位圆外D当且仅当时,点在单位圆上8. 在平面上,|=|=1,=+若|0,y0,且xy1,则的最大值为 （ ） A B C D【迁移运用】1.【2016届广西河池高中高三上第五次月考】在中,为中线上一个动点,若,则的最小值是（ ）A2 B-1 C-2 D-42.在中,已知,若点在斜边上,则的值为（ ）A48 B24 C12 D63【2015四川成都】已知函数f（x）s
10、in（2x）的部分图象如图所示,点B,C是该图象与x轴的交点,过点C的直线与该图象交于D,E两点,则（）的值为（ ）来源:学科网ZXXKA B C1 D24【2015山东胶州】在RtABC中,C90,A30,BC1,D为斜边AB的中点,则（ ）A1 B -1 C2 D-25【2015山东胶州】中,点在线段上,点在线段上,且满足,若,则的值为（ ）A.1 B. C. D.6. 【2015吉林摸底】如图,平行四边形ABC D 中 , ,点M在AB边上,且,则等于（ ）A B C D17. 【2015吉林摸底】中,D是边BC 上的一点（包括端点）,则的取值范围是（ ）A1 ,2 B0 ,1 C0,2
11、 D -5,28【2016届吉林省吉林大学附中高三上第四次摸底】在中,若为外接圆的圆心（即满足）,则的值为 .9【2016届河南省信阳高中高三上第八次大考】如图在平行四边形中,已知,则的值是 10【2016届黑龙江省哈尔滨师大附中高三12月考】在边长为1的正三角形ABC中,设,则_11【2016届中国人大附中高三上期中检测】在等腰梯形ABCD中,已知,点E和点F分别在线段BC和CD上,且,则的值为 12【2015湖北省重点中学】已知在直角三角形中,点是斜边上的一个三等分点,则 第五章 数列问题一：等差数列、等比数列的证明问题翻看近几年的高考题，有关证明、判断数列是等差（等比）数列的题型比比皆是
12、，主要证明方法有：利用等差、等比数列的定义、运用等差或等比中项性质、反证法、利用通项公式与前项和公式，证明或判断等差（等比）数列即数学归纳法.一：利用等差（等比）数列的定义用定义法判断一个数列是等差数列，常采用的两个式子和有差别，前者必须加上“”，否则时无意义；在等比数列中一样有：时，有（常数）；时，有（常数）【例1】【2016届广西河池高中高三上第五次月考】在数列中，（）证明数列成等比数列，并求的通项公式；（）令，求数列的前项和【小试牛刀】【2016届安徽省马鞍山二中等高三第三次联考】已知数列满足（1）求证：为等比数列，并求出的通项公式；（2）若，求的前n项和二：运用等差或等比中项性质 是等
13、差数列，是等比数列，这是证明数列为等差（等比）数列的另一种主要方法 【例2】正数数列和满足：对任意自然数成等差数列，成等比数列证明：数列为等差数列【小试牛刀】设数列的前项为，已知，且其中为常数 （）求与的值； （）证明数列为等差数列三：反证法 解决数学问题的思维过程，一般总是从正面入手，即从已知条件出发，经过一系列的推理和运算，最后得到所要求的结论，但有时会遇到从正面不易入手的情况，这时可从反面去考虑如：【例3】设是公比不相等的两等比数列，证明数列不是等比数列【小试牛刀】 设an是公比为q的等比数列 （）推导an的前n项和公式；（）设q1，证明数列an1不是等比数列四：利用通项公式与前项和公式
14、，证明或判断等差（等比）数列【例4】若是数列的前项和，,则是( )A等比数列，但不是等差数列 B.等差数列，但不是等比数列C等差数列，而且也是等比数列 D.既非等数列又非等差数列利用常规结论，证明或判断等差（等比）数列 若数列是公比为的等比数列，则（1）数列（为不等于零的常数）仍是公比为的等比数列；（2）若数列是公比为的等比数列，则数列是公比为的等比数列；（3）数列是公比为的等比数列；（4）数列是公比为的等比数列；（5）在数列中，每隔项取出一项，按原来顺序排列，所得新数列仍为等比数列且公比为；（6），等都是等比数列；（7）若成等差数列时，成等比数列；（8）均不为零时，则成等比数列；（9）若是一
15、个等差数列，则正项数列是一个等比数列若数列是公差为等差数列，则（1）成等差数列，公差为（其中是实常数）；（2），（为常数），仍成等差数列，其公差为；（3）若都是等差数列，公差分别为，则是等差数列，公差为；（4）当数列是各项均为正数的等比数列时，数列是公差为的等差数列；（5）成等差数列时，成等差数列【小试牛刀】已知正数数列an对任意p，qN，都有apqapaq，若a24，则a9()A6B9 C18 D20五：运用数学归纳法【例5】数列的前项和记为，已知，证明：数列是等比数列 【小试牛刀】已知数列满足.（）写出，并推测的表达式；（）用数学归纳法证明推测的结论.【迁移运用】1. 已知在正整数数列an
16、中，前n项和Sn满足：Sn(an2)2，则an为（ ）数列A. 等差 B.等比 C.常数列 D.可能是等差数列也可能是等比数列2. 等差数列的前项和为30，前项和为100则它的前项和为（）A130B170C210D2603. 已知数列an的前n项和Sn3n2，nN*，则()Aan是递增的等比数列Ban是递增数列，但不是等比数列Can是递减的等比数列Dan不是等比数列，也不单调4. 等差数列的公差，前项和为，则对正整数，下列四个结论中：正确的是 （ ）（1）成等差数列，也可能成等比数列；（2）成等差数列，但不可能成等比数列；（3）可能成等比数列，但不可能成等差数列；（4）不可能成等比数列，也不可
17、能成等差数列；A.（1）（3） B.（1）（4） C.（2）（3） D.（2）（4）5. 已知数列的前项和为，其中为常数 （）证明：；（）当为何值时，数列为等差数列？并说明理由6. 设数列的前项和为，已知，其中. （）求证:是等差数列； （）求证:； （）求证:.7【2016届吉林省吉林大学附中高三上第四次摸底】设数列满足：.（）求证：数列是等比数列；（）若，且对任意的正整数，都有，求实数的取值范围.8.【2016届陕西省商洛市商南高中高三上第二次模拟】设数列an的前n项和为Sn，且Sn=4anp，其中p是不为零的常数（1）证明：数列an是等比数列；（2）当p=3时，若数列bn满足bn+1=b
18、n+an（nN*），b1=2，求数列bn的通项公式9.【2016届山东省枣庄八中高三上12月月考】在数列an中，已知（1）求数列an的通项公式；（2）求证：数列bn是等差数列；（3）设数列cn满足cn=an+bn，求cn的前n项和Sn10【2016届宁夏石嘴山三中高三补习班上第三次适应性考试】设数列an满足当n1时，（1）求证：数列为等差数列；（2）试问a1a2是否是数列an中的项如果是，是第几项；如果不是，说明理由11.【2016届黑龙江省哈尔滨师大附中高三12月考】已知数列的前项和为,若（）,且（）求证：数列为等差数列；（）设,数列的前项和为,证明:（）12【2016届山东省枣庄市三中高三
19、12月月考】已知数列的各项均不为0，其前n项和为，且满足，（1）求的值；（2）求证是等差数列；（3）若，求数列的通项公式，并求 问题二：数列中的最值问题数列中的最值常见题型有：求数列的最大项或最小项、与有关的最值、求满足数列的特定条件的最值、求满足条件的参数的最值、实际问题中的最值及新定义题型中的最值问题等.一：求数列的最大项 【例1】已知数列的通项公式为=，求的最大项来源:学|科|网Z|X|X|K【小试牛刀】【2015-2016学年湖南省常德石门一中高二上期中】已知等差数列的前项和为，若，则的最大值为_二：的最值问题【例2】已知数列an的前n项和Snn2kn(其中kN)，且Sn的最大值为8.（）确定常数k，并求an； ()求数列的前n项和Tn.【小试牛刀】【2016届河北省衡水中学高三上学期四调】设向量，（），若，设数列的前项和为，则的最小值为 三：求满足数列的特定条件的最值 【例3】【2016届云南师范大学附属中学高三月考四】数列是等差数列，若，且它的前n项和有最大值，那么当取得最小正值时，n等于（ ）来源:Z+xx+k.ComA17 B16 C15
