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1、小学数学学科教学重、难点分析与对策新郑市教体局基教教研室 马明坤l 钟表广告“十点十分”的启示1、钟表广告为什么指向“十点十分”？n “胜利”这个词在英文（victory）中的第一个字母是“V”，指针呈V字形，是胜利的象征；n 指针同时上扬，有美学形式，令人感到欣悦；n 指针形状如鸟展翅，给人奋发之感；n 这个时间的时针、分针、秒针像一个欢呼胜利凯旋的人，跳跃着向你走来；n 在这个时间时针、分针、秒针的三个位置给人一种协调的感觉，基本上是把表面分成了三等分，使顾客能清楚地看到表的结构；n 十点十分代表十全十美；n 从视觉艺术的角度出发而定的。比如在绘画及雕塑中，艺术家们很注意黄金分割点的运用，
2、一般都把人物的眼睛放在脸部黄金分割点的位置。而钟表上的十点十分,也就是艺术家、数学家及物理学家们精心研究过的，表针停在这一刻，对人所产生的艺术效果是最佳的。n 正如钟表广告指出的，十点十分是人一天中最好的时刻，是最好的定点。n （2）“十点十分”对课堂教学有效性的启示钟表如此，课堂教学亦然。如果我们常把课堂教学的标准定在十点十分的巅峰，常保持那样的上扬、奋发、清明、觉醒，充满了活力，构建有效的课堂又有什么困难呢？我认为可以从分析教材和学生，确定教学的重难点做起。一、什么是教学重、难点？1、教学重点。（重点、教材重点、教学重点、教材重点和教学重点的关系）（1）重点的含义重点：由名即知，重要的或主
3、要的点。百度百科：同类事物中的重要的或主要的。教材重点：是学生必须掌握的基本知识和基本技能。如：意义、性质、法则、规律等，它可以称之为学科教学的核心知识。教材重点是针对教材中的学科知识系统、文化教育功能和学生的学习需要而言的。因此，它包含重点知识和具有深刻教育性的学科内容。教学重点：是指教学中的重点内容。百度百科：教学重点是依据教学目标，在对教材进行科学分析的基础上而确定的最基本、最核心的教学内容，一般是一门学科所阐述的最重要的原理、规律，是学科思想或学科特色的集中体现。它的突破是一节课必须要达到的目标，也是教学设计的重要内容。是课堂教学中需要解决的主要矛盾，是教学的重心所在。数学教学重点（简
4、称为“重点”）是由其在数学知识体系和数学育人系统（又可称为数学德育系统或数学文化教育系统）在学生学习中的地位和作用以及学生的疑难问题决定的。它是数学教材中最重要的基础知识、基本技能、基本的数学思想、精神和方法以及学生数学学习中遇到的疑难问题。以往，小学数学的教学重点，不是基础知识，就是基本技能。现在，随着数学教学目标呈现多样性的趋势，教学的重点也不再仅仅局限于“双基”，数学的某些基本思想方法、探究过程的某种体验、感悟，同样可能成为教与学的重点。（2）重点的形成重点的形成主要有以下三个方面：从学科知识系统而言，重点是指那些与前面知识联系紧密，对后续学习具有重大影响的知识、技能，即重点是指在学科知
5、识体系中具有重要地位和作用的学科知识、技能。从文化教育功能而言，重点是指那些对学生有深远教育意义和功能的内容，主要是指对学生终身受益的学科思想、精神和方法；从学生的学习需要而言，重点是指学生学习遇到困难需要及时得到帮助解决的疑难问题。（3）重点的类型相对于形成重点的三个方面，重点可分为知识重点、育人重点和问题重点。而按重点的地位和作用又可把重点分为全书重点、单元重点和课时重点。全书重点一般是贯穿于整个小学数学重要的数学思想、方法和起核心作用的数学知识与技能，它是重点的最高层次；单元重点是贯穿于单元的主干知识、技能与方法，它的地位和作用不如全书重点大，属于中等层次；课时重点是指课堂教学时的重点。
6、课时重点可以是单元重点，也可以不是。如，对于学生学习中普遍存在的疑难问题，教师教学时就会专门拿一节补救课（或称为纠错课）来解决。这时如何消除学生存在的疑难问题就成为了教学的重点，即课时重点，但问题解决后，若它在后面的学习中又不起支撑和奠基作用，则它就不再是重点了。对这类只限于该节课的重点（一旦该节课学习结束后它就不再是重点了），我们称其为“暂时重点”。（4）重点的地位“数学重点”对学生数学学习的好坏和教学质量的提高具有十分重要的作用，教学中对重点内容不仅要求学生理解，还要求学生掌握和熟练运用，即重点在教学中应具有突出的地位。教学设计时不论是教学目标的确定、教学活动的安排（包括教师的分析讲解、学
7、生的交流讨论与巩固练习等），学生练习题的设计都应围绕重点进行。例如，对重点内容练习的设计，必须提供给学生一定数量的、不同层次的练习题，既要有单项练习还要有变式练习和综合练习。只有这样才能使学生真正达到对重点内容的巩固、理解、掌握和熟练运用。2、教学难点的意义与形成原因（1）难点的含义难点：问题难以解决的地方。（百度百科）教学难点：教学的难点是指学生不易理解的知识，或不易掌握的技能技巧。数学教学难点（简称为难点）：是指那些学生难以理解、掌握或容易引起混淆、错误的内容。例如：在多位数减法中，退位减法学生容易出错，是学习的难点；在退位减法中连续退位的减法，如1003-756，退位的过程更为复杂，是教
8、与学的难点。显然，教学难点主要是相对学生来说的。（2）难点的形成现代认知发展理论认为，学生认知结构的发展是在认识其新知识的过程中，伴着同化和顺应，使原有的认知结构不断再构的过程。从认知发展理论来分析，在教学时，如果所学习的内容能通过学生的思考把外在的信息纳入到已有的认知结构中，从而丰富和加强已有的思维倾向和行为模式，这样的学习内容学生容易理解。如果所学的内容与学生已有的认知结构与新的信息产生冲突，引起原有认知结构的调整，需要建立新的认知结构，这种通过顺应而建立新的认知结构的知识则比较困难。因为认知结构本身也有一种定式，这种定式的消极作用会阻碍认知的飞跃，从而造成学习新知识的困难，形成教学难点。
9、因此，教学难点在一定程度上决定于作为认识客体的教材内容，然而它还决定于作为认识主体的学生和指导主体认识客体而在教学中起主导作用的教师，即决定于教师、学生的素质和能力。当然，在同一个内容的学习过程中，同化和顺应往往同时进行，难以截然分开。由于学生个体数学认知结构的差异，教学难点的形成也必然存在差异，在实际操作时，要根据学生的实际水平来灵活确定教学难点。难点的形成主要有以下几个方面的原因：一是该知识远离学生的生活实际，学生缺乏相应的感性知识；二是该知识较为抽象，学生难于理解；三是该知识包含多个知识点，知识点过于集中；四是该知识与旧知识联系不大或旧知识掌握不牢或因大多数学生对与之联系的旧知识遗忘所致
10、。3教学重、难点的联系与区别（1）教学重点和难点具有不同的性质。重点一般都具有一定的稳定性和长期性（只有少数的课时重点具有暂时性，如暂时重点）。重点不会因为学生的理解和掌握就退避三舍，而是在一定的教学阶段它会贯穿于教学的始终。这是由于重点内容大多都是在知识系统中和育人功能上具有重要的地位和作用所致。如，高中数学中重要的数学思想方法：数形结合的思想、分类整合的思想、划归转化的思想等就具有稳定性和长期性，它是一直贯穿于整个高中数学教学始终的教学重点。难点具有暂时性和相对性。难点内容一旦经过教学被学生理解和解决了，难点就不复存在了，这就是难点的暂时性。同一知识与方法对一些学生（一般学校）可能是难点，
11、而对另一些学生（重点学校）就可能不是难点，这就是难点的相对性。（2）教学重点和难点的联系教学重点与难点有一定的联系。有时具有同一性，可能全部重叠或部分重叠。有些内容是重点而不是难点，有些是难点而不是重点，而有些则既是重点又是难点。例如，除数是小数的除法，是小数除法各部分内容的学习重点，也是学习的难点；对于除数是小数的除法来说，学习的重点和难点，都是掌握把除数由小数转化为整数的方法。二、为什么要确定教学重、难点？可以用这样一句话概括落实教学重、难点是使学生掌握知识的前提，突破难点是教学成功的关键。而教师在教学过程中突破重难点的方法往往是使学生活跃思维、激发兴趣的催化剂。一堂课上的好不好，关键看教
12、师是否正确地讲解了教材的基本内容，是否突破了教材的重点及解决了教材的难点，使学生真正地理解和掌握了教材的基本知识。教师在教学中能否抓住重点、突破难点，是做好教学工作的基本条件，也是教师能力的表现。教师把握了教与学的重、难点，也就是明确了教学时应该突出什么、抓住什么，哪些可以分散，那些需要预先铺垫，这是提高教学有效性，实现教学目标的必要条件。三、如何确定教学重、难点？（读懂教材、读懂学生）怎样才能恰如其分地确定教学的重点、准确地找出教学的难点呢？这是一个具体问题具体分析的过程，它既需要掌握适当的方法，又需要一定的经验支撑。一般地，确定教学的重点，主要通过分析教材整体结构，把握相关知识的内在联系，
13、了解各知识点在教材中的地位、作用。有经验的教师通过认真阅读教材，分析教材上的插图、理解教材上的旁注、对话、提示、结论等内容，不放过教材的每一个细节、每一个字。因为教材的编写明确体现了教学的思路，明确提示了教学的重、难点，确定了教学的训练点。要找出教学的难点，只分析教材是不够的，还必须通过分析学生，了解学生学习时的真实困难程度，以及困惑所在。要确定教学重、难点，需要我们做到两个“读懂”：读懂教材、读懂学生。（放课件，课件内容略）两个“读懂”是确定教学重难点的基础。1、整体把握，吃透教材。掌握小学数学教材的编排体系和内在联系（尤其是分布在几册教材里的相关、相近或相同内容的联系）后，再着手对所教的一
14、册教材、一单元教材或者一课时教材作深入具体的分析研究，认真研究教材的重点、难点，以有效地为课堂教学服务。（1）研究教材的重点、难点教材的重点。确定教材的重点,要以教材本身为依据。瞻前顾后,溯源探流,深刻分析研究所教的内容,并将其放到整个知识系统当中去判定其地位和价值。在整个知识系统中,关系全局、地位重要的那些知识即可定为教材的重点。确定教材的重点依据两个原则：一是基础性原则。一般地说，教材的逻辑结构中占据相对重要地位的“前提判断”包括基本概念、基本原理（定律、法则、性质、公式）是教材的重点。例如：整数、小数、分数、比和比例的概念，加法、乘法的运算定律，四则计算的主要法则，解决问题中基本的数量关
15、系，常见图形的基本特征等。这些内容，承上启下，承前启后，对进一步学习起着决定性的奠基作用。二是迁移性原则。一般地说，教材中蕴含的基本数学思想和方法是贯穿数学教学内容的中心线索，具有广泛的迁移性，是数学能力的核心成分，因此，也是教材的重点。例如：分析法、综合法、化归法等；集合的思想、对应的思想、函数的思想、统计的思想等。例如,在整个小学数学教材中,“数与计算”是条主线,又是最基础、最重要的一部分知识,它直接影响着其他数学知识的学习.所以它是整个小学数学教材的重点.然而, “数与计算”又涉及整数、小数和分数.其中整数及其四则运算是学习小数与分数的前提和基础。所以相对来说,整数及其四则运算又是整个“
16、数与计算”的重点。而对于20以内的加减法来说,其“进位加法”和“退位减法”将直接影响到以后各阶段进位加法和退位减法的理解与掌握,所以20以内的加减法以进位加法和退位减法为重点。需要提醒的是：教材重点与教学重点既有联系又有区别，其联系体现在教材重点是确定教学重点的主要依据，区别在教学重点和教材重点表述上略有差异。以五年级“分数的加法和减法”为例，其教材重点是异分母分数加减法；而教学重点是使学生掌握异分母分数加减法的计算法则，并能应用法则正确计算。另外，在数学知识系统中不可短缺的知识和培养学生数学基本能力的知识以及生活、生产中有着广泛应用如元、角、分,时、分、秒,米、分米、厘米,千克、克等等的知识
17、，都应当成为教材的重点，也是教学的重点，必须扎扎实实地让学生理解和掌握。教材的难点。小学数学教材中，有的内容比较抽象，不易被学生理解；有的内容纵横交错，比较复杂；有的内容本质属性比较隐蔽；也有的内容体现了新的观点和新的方法，在新旧知识的衔接上呈现了较大的坡度；还有些内容相互干扰，易混、易错。这种教师难教，学生难学难懂难掌握的内容以及学生学习中容易产生混淆和错误的内容，通常称之为教材的难点。例如,在两位数除多位数的除法中,试商就较为复杂。解决问题从题意理解到列出算式,对小学生来说就比较复杂和困难,因此这些内容都是难点；连续退位减法、数学广角的部分知识,因其本质属性较为隐蔽而构成教材的难点；从除数
18、是一位数的除法到除数是两位数的除法,从整数到分数,从自然数单位到分数单位,从普通数字到用字母表示数等等,体现了新观点和新方法,显示出新旧知识衔接过程中的较大坡度,从而成为教材的难点；多位数的读写,数位与位数,等腰三角形与等边三角形,公顷、平方千米平方公里的含义,大月、小月和闰月等内容,因为易混易错而成为教材的难点。教材的难点,一般也构成教学的难点,同样只是在陈述上略有不同。教材或教学的难点也具有相对性,它与学生的知识基础、认知水平、思维能力以及学习精神等有一定关系,在相同内容的学习中对-部分学生构成了难点,但对另一部分学生来说可能不是难点。一般情况下，教材难点是指大部分学生难理解掌握和易混淆的
19、知识点。如：多位数除法中的试商方法，解决问题中数量关系的分析，几何中组合图形的面积计算等。（2）确定单元教学重、难点。每一个教学内容，都是以单元的形式出现的。这就要求我们首先要对整个单元的知识点做到心中有数，如果知识点是某单元或某内容的核心，是后继学习的基石或有广泛应用等，那么它就是教学重点。分析的步骤为：画出知识结构的网络图；确定知识的重难点。确定教材由此，可以确定：这一单元的知识重点（教学重点）是“万以内数的读写”，难点是读写带0的数。因为学习万以内的四则计算，要以数的读写为基础，在日常生活和生产中离不开读书和写数，而且由于我国的计数方法是每四位一级，各级数的读写方法基本相同。万以内数的读
20、写是学习多位数读写的基础，因此，它在小学数学有关整数认识的几个教学阶段中，起着承上启下的作用。再如：五年级数学教材中平行四边形的面积一节，教学目标是要使学生掌握平行四边形面积计算公式，并能正确计算其面积，发展学生的空间观念。重点是面积公式的推导。因为学生已学过的长、正方形面积公式，是采用实验的办法推导的。而平行四边形面积公式的推导，是教材中首次用“割补法”把平行四边形转化为长方形来推导，要利用插图及直观教具演示，渗透平移和转化的数学方法，并为三角形、梯形面积公式推导作准备。所以在用割补方法推导公式的过程中，平行四边形转化为长方形，长方形的长和宽转化为平行四边形的底和高这两个转化，是重点中的难点
21、。在三角形面积公式和梯形面积公式推导中，因为有了平行四边形面积公式推导的基础，根据迁移规律，学生对采用拼合的方法推导公式较容易理解，但是三角形与平行四边形的转化，梯形与平行四边形的转化、平行四边形的边与梯形上下底的转化仍为难点，这点也正是理解这两个公式都要“除以2”的关键之处。因为三角形、梯形面积公式是在平行四边形面积公式推导的基础上进行的，学生对割补、平移的方法、转化的方法已不陌生，所以在三角形、梯形面积公式的推导中，除了采用教材上的拼合方法演示外，还可以启发学生将它们转化为已经学过的其它图形来推导，以培养学生空间想象力，发展他们的空间观念，这点也是这几种平面图形面积计算教学中的一个重要目的
22、。（3）确定每节课的重、难点。教师备课时要详细地知道每节课的知识点，在教学中做到不遗漏、不添加。依据教材内容而定。教学重点一般由教材决定，对每个学生是一致的。一节课的知识点可能有多个，但重点一般只有一两个。例如：“分数的基本性质”这节内容，从教材上看有两个知识点：一是分数的基本性质是什么？二是把一个分数化成分母不同而大小相同的分数，即分数基本性质的应用。很显然在两个知识点中，分数的基本性质是什么应该是本节课的重点。因为它是解决第二个知识点的前提，也是学生后续学习约分和通分的依据，所以确定为教学重点。再如：苏教版教材六年级上册“解决问题的策略替换”，本课的知识点有：(1)掌握解决问题的一般步骤，
23、能按步骤解决问题；(2)会用“替换”的策略理解题意、分析数量关系；(3)学会检验，掌握检验的方法；(4)明白替换问题的特点：在和一定的数量关系下，将一种数量替换成另一种数量；(5)理解用“替换”策略解决倍数关系和相差关系问题的同和异；(6)感受“替换”策略解决特定问题的价值。梳理这些知识点后，本课的教学重点有两个：一是让学生学会用“替换”的策略理解题意、分析数量关系，二是让学生明白替换问题的特点：在和一定的数量关系下，将一种数量替换成另一种数量。依据教材提示而定。每一套教材都有自己的体系，无论是知识体系还是编写形式。就人教版教材而言，有一个特殊的人物“小精灵”。它会根据教材内容提出一些问题或者
24、说出一些规律，如：一年级下数学教材第35页，小精灵说：读数和写数，都从高位起。这就是本节课的教学重点。再如上面提到的分数的基本性质的两个知识点也是小精灵提出的。所以老师们在没有教学参考书的情况下，要吃透教材，可根据教材中的提示确定教学重点。依据课题而定。数学教材的课题，一目了然，直接揭示教学重点。有经验的教师，能对教材做到深刻解读的教师，一看课题就可以确定教学重难点。例如：倒数、因数与倍数、分数的意义等。“解决问题的策略替换”，教学重点就是让学生明白替换问题的特点，让学生学会用“替换”的策略理解题意、分析数量关系。2、从重点中确定难点教学中有些内容既是难点又是重点。有的内容是重点但不一定形成难
25、点，还有的内容是难点但不一定是重点。在一般情况下，使大多数学生感到困难的内容，就是教学的难点。难点有时又要根据学生的实际水平来定，同样一个问题在不同班级里不同学生中，就不一定都是难点。例如：分数的基本性质这节课，学生通过折一折、涂一涂、比一比，有具体到抽象就可以总结出分数的基本性质，这是教学的重点，但是对学生而言并不困难，因为学生已经学过了“分数与除法的关系”、学过了“商不变的性质”，有了这些基础，学习新课并不难。因此分数的基本性质的内容不是教学的难点。而“0”除外的道理究竟是什么，这是学生理解起来容易困惑的，它就是可以确定为本节课的难点。在教材中也能看到，它是特别引起注意的。另外教材中，有时
26、会出现“注意”的提示，一般都可确定为难点和重点。3、根据学情而定。学生是教学的主体，难点有时要根据学生的实际水平来定，同样一个问题在不同班级里不同学生中，就不一定都是难点。教师要在了解学生的基础上，作出预见，预见学生在接受新知时的困难、产生的问题，从而确定好自己的课堂教学的难点。在一般情况下，使大多数学生感到困难的内容，教师要着力想出各种有效办法加以突破，否则不但这部分内容学生听不懂学不会，还会为理解以后的新知识和掌握新技能造成困难。例如：前面提到的分数的基本性质的难点如果不突破，就会影响后续“比的基本性质”的学习。四、教学时如何突出重点、突破难点？1把握好重点和难点是突出重点、突破难点的前提
27、。通过上文的分析，我们可以得出这样的结论：要想在教学中做到突出重点、突破难点，首先是深钻教材，从知识结构上，抓住各单元和每节课的重点和难点。其次是备足学生，根据学生实际的认知水平，并考虑到不同学生认知结构的差异，把握好教学重点和难点（还是两个“读懂”）。根据难点形成的原因来突破（课件）。一般有四种情况：（1）该知识远离学生的生活实际，学生缺乏相应的感性认识；（2）该知识较为抽象；（3）该知识包含了多个知识点，知识点过于集中；（4）与该知识有关的旧知识掌握欠扎实或因大多数学生遗忘所致。教师应采取的策略：（1）前两种，通过利用学生的日常生活经验，充实感性知识或利用直观手段，尽量使知识直观化、形象化
28、，使学生看得见，摸得着；（2）第三种，分散知识点，各个突破；（3）第四种，查漏补缺，加强旧知识的复习。课前的精心准备、准确定位，就为教学时突出重点和突破难点提供了有利条件。（介绍我市教前研究：目的、内容、形式、方法和当前的进展）2找准知识的生长点是突出重点、突破难点的条件。小学数学是系统性很强的学科。数学教学就是要借助于数学的逻辑结构，引导学生由旧人新，组织积极的迁移，促成由已知到未知的推理，认识简单与复杂问题的联系，不断完善认知结构。因此，新知识的形成都有其固定的知识生长点，找准知识的生长点，才能突出重点、突破难点。我们可依据以下3点找准知识生长点：（1）有的新知识与某些旧知识属同类或相似，
29、要突出“共同点”，进而突破重、难点；如除数是两位数的除法是多位数除法的重点和难点，在这部分知识教学中，教师的主要任务是以学生为主体，引导学生运用迁移规律，分层次逐步推进，突破各个难点，学好试商的方法。除数是两位数的除法，是以除数是一位数的除法为基础的，后者是除数由一位变为两位，出现了从被除数的哪一位除起，先看被除数的前几位的问题。但无论除数是几位数，试商方法都是一致的，即有共同点，就是教学中应抓住的，教学时，先以除数是一位数的除法为例，复习一位数除法的计算法则及试商方法，从而启发学生明白除数是两位数的除法的计算法则及试商方法同一位数除法相同，进而总结归纳出除数是一、二数的除法都是从最高位除起，
30、除数是几位数，就看被除数的前几位，除到哪一位够除，就把商写在哪一位的上面，每次除得的余数必须比除数小。这就抓住了一类知识的共同点，仿旧知识学习新知识，再把新知归为旧知识。学生容易理解记忆，为学好多位数的试商，达到正确地迅速地求出商，提高计算能力奠定了基础。因此，在数学教学过程中，要重视揭示和建立新旧知识的内在联系，从已有的知识和经验出发，找准知识的生长点，帮助学生建立新旧知识的联系，是教学中突破重点难点的又一途径。再如，乘数是多位数的乘法是在学习一位数乘法的基础上迁移，运算方法相同。（2）有的新知识由两个或两个以上旧知识组合而成，要突出“连接点”，进而突破重、难点；如“异分母分数加减法”是由同
31、分母加减法的计算方法和通分两个旧知识组成的，它的关键问题是因为分数单位不同不能直接相加减，教学新知识前复习同分母分数加减法：这是旧知识，并提问：同分母分数加减法的法则是什么？为什么它们能 为什么？这时又可用旧知识通分来代替，则成为两个旧知识的连接点，这就是今天要学习的新内容异分母分数加减法。并请同学们在此基础上讨论此题的计算步骤，抓住规律“化异为同”，沟通新旧知识，从而突破难点。（3）有的新知识由某旧知识发展而来的，要突出“演变点”，进而突破重、难点。如“有余数除法的验算”这部分知识，要以前面能整除的除法验算为基础。两类验算都要用“商和除数相乘”，后者演变的是“还要加上余数”。教学时，不但复习
32、能整除的验算方法，还以1276为例要复习有余数的除法，其中重点追问：“这道题中1276，商21是平均分的127吗？那么平均分了多少？验算时只用商和除数相乘行吗？应怎么办？这一系列问题，大家讨论”。这样就能顺利地掌握新规律和验算方法。3采用合适的教学方式是突出重点、突破难点的关键。数学课程标准(2011年版)指出：“教师的教学应该以学生的认知发展水平和已有的经验为基础，面向全体学生，注重启发式和因材施教。教师要发挥主导作用，处理好讲授与自主学习的关系，通过有效的措施，引导学生独立思考、主动探索、合作交流，使学生理解和掌握基本的数学知识与技能、数学思想和方法，得到必要的数学思维训练，获得基本的数学
33、活动经验”。认真阅读这段话，可以知道：根据学生实际，采用合适的教学方式是突出重点、突破难点的关键。（1）常见的认知学习类型常见的认知学习类型包括接受学习与发现学习、知识学习、技能学习和问题解决学习。（2）在小学数学学习中存在三种互相渗透与相互支持的不同的知识：陈述性（也称概念性）知识、程序性（也称自动化技能）知识和解决问题的策略性知识。相对应的，则存在着三种不同类型的数学学习，它们是小学数学学习中的主要形态。（3）概念性知识像定义（命题）、公式、处理事情的法则、科学原理、定律、规则等都称为概念性知识，以及分类、守恒、对应、排列、可逆性和质的相似性等这样一些概念；它的学习过程是一个简化、概括化和
34、建立联系思维过程。小学数学概念学习的基本分析概念是思维的基本形式之一，是事物的本质属性在人脑中的反映。概念具有这样的特征：第一，概念是对两种以上对象的共同特征的概括；第二，概念主要是以词的形式来标志的，概念与词汇实际上是内容与形式的关系，但它们并不都是一一对应的关系；第三，概念是抽象与概括的结果；第四，概念就是对经验的加工。概念的结构，就是指构成概念的内在属性，这个内在属性就是概念的内涵与外延。反映事物与对象的本质属性的总和称之为概念的内涵，它是概念的质的反映，表示的是概念反映的是什么样的事物。反映事物与对象本质属性的类的称之为概念的外延，它是概念的量的反映，表示的是概念反映的是哪些事物。概念
35、的内涵与外延具有反向对应的关系。也就是说，如果我们扩大内涵，则会缩小其外延；反之，如果我们扩大外延，就会缩小其内涵。概念通过抽象而获得，抽象是揭示概念内涵的思维方法。概念的分类规则有：分类必须是相称的、分类所得各个属概念应互相排斥、每次分类应按同一标准进行、分类不能越级进行。数学概念就是揭示现实世界的数量关系（形式）和空间形式（关系）的本质属性的思维形式.。数学概念的形成有两种途径。一种是直接从现实世界客观事物的数量关系或空间形式的经验并经过抽象而得到的；第二种是在已有的数学概念基础上，经过进一步的抽象、推理、概括等思维活动而得到的。数学概念至少有如下一些特征：第一，精确性。数学概念是由词语或
36、符号的定义所构成的，而这些词语或符号具有唯一性。因此，数学概念具有精确性，即在任何情况下，这些词语或符号都反映同一个对象的同一个本质属性，不应有多重理解性，也不应具有概念的替代现象。第二，抽象性。数学概念往往是“抽象的抽象”，即是一些客观对象的“概括的概括”，反映的是一类对象的本质属性。数学概念的呈现方式有不定义方式和定义方式。不定义方式有直接运用、语言描述、图形描述、枚举；定义方式有集合定义、发生定义、外延定义、约定式定义、关系定义、公理化定义。数学概念的主要分类有按数学概念的来源分、按数学概念所反映的对象特征看。小学数学概念在学习上的特征有在数学概念组织上的特征、在数学概念获得上的特征、在
37、数学概念呈现上的特征。儿童形成数学概念的主要特征是一个通过内化达到守恒的过程，形成数学概念的主要途径是通过概念形成和概念同化这两个基本的途径来实现的。概念形成的主要过程为：第一，感知具体对象阶段；第二，尝试建立表象阶段、第三，抽象本质属性阶段、符号表征阶段、概念的运用阶段。概念同化就是借助学生已有的概念知识，改变其内涵（或外延），从而建立新概念，再通过对比、分析、推理等方法，辨析新概念与原有概念的异同，从而掌握新概念。它一般要经历：第一，唤起认知结构中的相关概念；第一，唤起认知结构中的相关概念；第二，进一步抽象形成新概念；第三，分离新概念的关键属性。儿童获得概念能力发展的基本特点有从获得一级概
38、念为主发展到有能力获得二级概念、概念的获得以“概念形成”为主逐渐发展到“概念同化”为主、从认识概念的自身属性逐步发展到理解概念间的联系、数学概念的建立受经验的干扰逐渐减弱、数、形的分离发展到数、形的结合。2小学数学概念教学的主要策略小学数学概念教学通常分为引入概念、建立、巩固和运用概念等三个阶段。3发展儿童数学概念获得能力的基本途径构建数学概念能力的要素，包括学生已有的生活经验和数学概念、数学思维能力、数学的语言能力；构建数学概念能力的培养，包括重视表象的过渡、加强数学交流、促进数学思维。（4）技能性知识技能性知识主要指运算技能，运算技能性知识的形成分为三个阶段：认知阶段、联结阶段、自动化的阶
39、段。1儿童学习运算规则的基本分析数学运算规则学习的意义包括有利于学生形成的基本技能、有利于发展学生的基本智能。小学数学运算规则学习的课程内容包括在小学数学的规则学习中，按规则的水平分，主要有一级运算规则（加减运算）的学习和二级运算规则（乘除运算）的学习，还有非常简单的三级运算规则（主要是二次或三次乘方运算）的学习；按涉及的对象看，主要是整数和小数的四则运算规则的学习和简单的乘方运算规则的学习，也包含简单的分数四则运算规则的学习；从运算的形式看，主要有口算、笔算和估算（有时也包括珠算）等学习；从学习目标看，重要有运算的规则理解与掌握以及运算技能和运算策略的初步形成。具体地看，在小学数学课程中，运
40、算规则的学习主要有：四则运算（包括整数四则运算、小数四则运算、简单的分数加减运算等）；性质运用（包括分、小数的互化、解答简易方程、分、小数化简等）；名数化聚；四则运用（包括简单几何形体的面积、体积的求积、各种数学问题的解决等）。小学数学运算规则学习的特点，从学习的内容特点上来看，有以认数学习为起点、以整数四则运算为主线、小数与分数的性质和运算规则学习与认数学习交织进行、性质与概念学习是伴随着运算规则学习而展开；从学习方式的特点上来看，有淡化严格证明，强化合情推理、重要规则逐步深化、有些规则不给结语。小学数学中有着各种不同的计算，主要有口算、笔算和估算。当然，作为我国的传统，有时珠算也被安排进了
41、小学数学的课程之中。儿童掌握计算规则的过程特点有生活经验是理解运算意义的基础，即丰富的生活情境是理解运算意义的条件、丰富的生活情境扩展着对运算意义的理解；规则的运用有明显的阶段性，即规则理解和掌握的阶段性、规则运用的阶段性；从实物表征运算到符号表征运算。儿童形成运算技能的基本表征通过三个层次来表现：会、比较熟练、熟练。会是指能够正确地进行计算；比较熟练是指通过训练，达到计算准确，有一定的速度；熟练是指不仅计算准确、迅速，而且能够选择恰当的算法，使计算合理、灵活。2运算规则教学的主要模式与策略小学数学规则之间的关系有上、下位关系、并列关系。小学数学运算规则教学的主要模式有例规教学模式、规例教学模
42、式。小学数学运算规则教学的基本策略包括规则的导入阶段，即情境导入、情境导入、问题导入；规则的揭示与理解阶段，即借助实际情境获得对规则的理解、借助对数的意义的认识获得对规则的理解、逐步揭示规则的内部意义、完满示范结构的导向策略；规则的巩固与运用阶段，即过程性策略、表现性策略、多样化策略。3在运算规则学习中发展儿童的数学素养在实际的情境中形成数的意义可以包括在实际情境中认识数、在实际情境中运用数。良好的数的位置感首先表现在对一个具体数在某个集合中的位置有敏锐的感觉，同时，对于这个数与相邻数之间的相对大小有一个敏锐的感觉，即对各种数的关系有敏锐的反应和对数和数的运算实际意义有所理解。学会猜测和估算，
43、因为：第一，估算能力的提高，可以发展个体的信息获取和处理与利用的能力。获取和利用信息已成为我们解决问题的必要条件，而面对这么多的各种信息，需要个体能更快地作出判断，以便确认哪些是可能有用的信息，这就需要一定的估算能力；第二，在日常工作或生活中，估算能帮助我们较快地作出某种策略或行为的抉择。在许多情况下，个体可能会面对众多繁杂的信息，而个体的策略或行为的抉择可能并不需要个体去通过对这些信息的精确计算后才能作出，估算就有可能加快个体采取行为的决策。现代的学习理论认为，面对一个运算问题，人们需要学会：迅速判断它是否需要计算？同时要能判断出它是否需要作出精确的计算？然后才考虑采用什么方法进行计算？第三
44、，估算是一种主动学习。面对一个学习问题，个体如果能先作出一个基本的预测和大致的估计，就有可能会激发个体去进一步探究问题解决的方法、途径和策略，使学习变得更为主动；第四，估算还能帮助运算者对自己的运算结果作出主动的和快捷的校验，以便进一步修正自己的运算方法；估算还能帮助学生加深对运算意义的理解。当需要通过估算来检验自己的运算结果时，就需要对运算的意义有乘法的理解。第五，估算还有助于学生的数学问题解决策略的形成。1小学几何学习的基本分析小学数学几何学习的主要内容有简单几何形体的认识、变换（包括平移、旋转和对称等）、位置、图形测量、简单图形的周长、面积与体积的计算、方向的认识以及平面座标的初步体验等
45、。小学空间几何学习的基本价值就是发展儿童的空间观念。学习空间几何学习目标可以从两个方面来表述，即从活动的特征表述和从内容的特征表述。从内容的特征看，小学几何学习的主要目标可以描述为：使学生获得有关线、角、简单平面图形和立体图形的知觉映象；使学生能建立有关长度、面积或体积等的基本概念；能够对不太远的物体间的方位、距离和大小有较正确的估计；能从较复杂的图形中辨别有各种特征的图形。小学数学几何学习的主要特点包括经验是儿童几何学习的起点、操作是儿童构建空间表象的主要形式。2儿童形成空间观念的基本特征从小学生的几何思维水平的发展看，可能大致会经历这么几个阶段：水平0阶段、水平1阶段、水平2阶段、水平3阶
46、段。儿童空间观念形成与发展的基本特征包括儿童空间想象力的发展、儿童形成空间观念的心理特点。儿童形成空间观念的心理特点又包括对直观的依赖较大、用经验来思考和描述性质或概念、空间观念的形成依靠渐进的过程、容易感知图形的外显性较强的因素、对图形性质间的关系有一个逐渐理解的过程、对图形的识别依赖标准形式、依据平面再造立体图形的空间想象能力是逐步形成的。儿童形成空间观念的主要知觉的障碍有空间识别障碍，即儿童的空间识别能力（即空间方位感）的发展有着明显得阶段性与差异性。首先，儿童的空间识别能力是阶段性发展的。低年段的儿童，最初常表现为对距离不太远的对象的能进行一定的空间识别，但是，对于距离稍远的对象的空间
47、识别相对就要差一些。随着学习的进行，经验的增长，空间知觉能力的逐步形成，儿童的空间识别能力才会得到较大的发展。其次，儿童的空间识别能力的发展是不平衡的。主要表现为，有的学生通过一定的训练能较快的发展他们的空间识别水平，而有的学生这需要反复的训练才能缓慢的发展他们的空间识别水平；以及视觉知觉障碍。3小学几何教学的主要策略注重儿童的生活经验，即利用操作体验来获得对象形状特征的认识、利用已经建立的有关图形形体经验帮助概括图形的性质；观察对象的形体特征是基础，即观察形体特征是获得对象性质的基础、注意运用变式；强化动手操作，即搭建活动、剪拼与折叠活动、实物操作活动、测量活动、作图活动；丰富的想象和有效的
48、交流。（5）策略性知识问题解决是小学数学策略性知识的主要内容。它是一种更为高级的一种学习活动。要求学生在解决数学问题时，掌握数学知识重新组合，利用各种思维素材进行思考。问题一旦解决了，要有所收获。在问题解决中产生的策略，则被贮存下来并构成学生认知结构的一个组成部分。1数学问题解决的概述所谓问题，通常地说，就是主体（个体）力图想要弄清楚或想要说明的困惑，也是主体（个体）力图想要解决的疑难。问题的价值是激发人类探索未知、获得发展的动力，是催动个体去寻求更多的发现、更多的创造、更好的生存的目标，是我们进行比较、实验、猜测、证明甚至产生直觉、顿悟等发现性探究活动的起点。现代信息加工理论尝试将问题分为客观和主观两个方面：问题的客观方面就是指问题的“课题范围”（也称“任务领域”）,表示问题的客观陈述；问题的主观方面就是指“问题空间”，它通常有三个成分所组成：问题解决的起始状态，如“一条线段”、“n个点”等；问题解决的目标状态，如“有多少条不同的线段”；问题解决的中间状态，即从问题的起始状态向目标状态转化的若干可能的途径，而每一个途径又可能分为若干的
