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1、2006.3,一元二次方程根的判别式及根与系数的关系,一元二次方程根的判别式,两不相等实根,两相等实根,无实根,一元二次方程,一元二次方程 根的判式是:,判别式的情况,根的情况,定理与逆定理,两个不相等实根,两个相等实根,无实根(无解),探究题解下列方程，找出规律并加以说明。由（1）（2）（3）你能得到什么猜想？你能说明你的猜想吗？,a0,4a20,配方法,当,时，,方程有两个不相等的实数根：,当,时，,当,时，,方程有两个相等的实数根：,方程没有实数根.,一、知识要点1、一元二次方程 ax2+bx+c=0（a0）的根的判别式=；2、一元二次方程 ax2+bx+c=0（a0）（1）有两个相等的
2、实根的条件；（2）有两个不相等的实根的条件；（3）有两个实根的条件；（4）有两个正根的条件；有两个负根的条件；有两异号根的条件；（5）一根比m大，一根比m小的条件；,b2-4ac,b2-4ac=0,b2-4ac0,b2-4ac0,判别式的应用:,所以，原方程有两个不相等的实根。,说明：解这类题目时，一般要先把方程化为一般形式，求出，然后对进行计算，使的符号明朗化，进而说明的符号情况，得出结论。,1、不解方程，判别方程的根的情况,例1、不解方程，判断下列方程的根的情况：,所以，此方程有两个不相等的实数根。,解：因为,解：因为,0,所以，此方程无实数根。,0,例1、不解方程，判断下列方程的根的情况
3、：,解：把此方程化为：,因为,所以，此方程有两个相等的实数根。,=0,归纳步骤：,1.化为一般式，确定a、b、c的值,2.计算的值，确定的符号,3.判别根的情况，得出结论。,思考：,1.不解方程，判断下面关于X的方程根的情况。,或：方程有两个实数根的。,例求证：关于x的方程：有两个不相等的实根。,证明：,所以，无论m取任何实数,方程有两个不相等的实数根。,无论m取任何实数都有：,若已知条件改为“这个方程有实数根”，则a的取值范围是_,a1/3,练习.已知一元二次方程3x2-2x+a=0有两个不相等的实数根，则a的取值范围是_,a1/3,例2：当k取什么值时，已知关于x的方程：（1）方程有两个不
4、相等的实根；（2）方程有两个相等的实根；（3）方程无实根；,解：=,(1).当0，方程有两个不相等的实根,8k+9 0,即,(2).当=0，方程有两个相等的实根,8k+9=0,即,(3).当 0，方程有没有实数根,8k+9 0,即,2、根据方程的根的情况确定方程的待定系数的取值范围,说明：解此类题目时，也是先把方程化为一般形式，再算出，再由题目给出的根的情况确定的情况。从而求出待定系数的取值范围,K,例3、已知m为非负整数，且关于x的方程：有两个实数根，求m的值。,解：方程有两个实数根,解得：,m为非负数,m=0或m=1,说明：当二次项系数也含有待定的字母时，要注意二次项系数不能为0，还要注意
5、题目中待定字母的取值范围.,例4、求证：关于x的方程：有两个不相等的实根。,证明：,所以，无论m取任何实数,方程有两个不相等的实数根。,无论m取任何实数都有：,即：0,3、证明方程根的情况,说明：此类题目要先把方程化成一般形式，再计算出，如果不能直接判断情况，就利用配方法把配成含用完全平方的形式，根据完全平方的非负性，判断的情况，从而证明出方程根的情况.,2、已知关于x 的方程：有两个 不相等的实数根，k为实数，求k 的取值范围。,3、设关于x 的方程：，证明，不论m为何 值时，方程总有两个不相等的实数根。,例：求证方程mx2+（m+6）x+3=0必有实根,证明：分两种情况证明：,（1）m=0
6、，原方程化为一元一次方程 6x+3=0,此方程必有实根 x=0.5,（2）m 0，原方程为一元二次方程,0,此方程必有两个不相等的实数根,综合上述两种情况，原方程必有实根。,例1：已知关于x的方程（1）有两个不相等的实数根，求t的取值范围；（2）有两个相等的实数根；（3）没有实数根.,解：方程有两个不相等的实数根,t 1时，方程有两个不相等的实数根.,例2：关于x的二次方程 有两个不相等的实数根，求k的最大整数.,解：原方程是关于x的二次方程,k 1 0，即k 1.又由 得k0,方程有两个不相等的实数根,例1：已知：a、b、c是ABC的三边，若方程 有两个等根，试判断ABC的形状.,解：方程有
7、两个等根,即 4b2+4c2 8ab 8ac+8a2=0,4（a b）2+4（a c)2=0,a=b=c,ABC是等边三角形,解：方程x2+(4+m)x2+n+6=0有两个相等的实根，,方程x2+(7-m)x+3+n=0有两个不等的实根，方程x2-(m-4)x+n+1=0无实根，,把4n=m2+8m-8代入上两式得 m为整数m=2，n=3.,=(4+m)2-4(n+6)=0，即m2+8m-8=4n,=(7-m)2-4(3+n)0，=(m-4)2-4(n+1)0.,已知：m、n为整数，关于x的二次方程x2+(7-m)x+3+n=0有两个不相等的实数根，x2+(4+m)x+n+6=0有两个相等的实
8、数根，x2-(m-4)x+n+1=0没有实数根，求m、n的值.,m是有理数，当k为何值时，方程 x2 4mx+4x+3m2 2m+4k=0根为有理数。,解：x2+（1 4m）x+3m2 2m+4k=0,要使方程有有理根，只需使4m2 24m 16k+16为完全平方式，只需使,一元二次方程的根与系数的关系：若 ax2+bx+c=0 的两根为 X1、x2，则x1+x2=；x1x2=；4、以x1、x2为根（二次项系数为1）的一元二次方程为；,基础训练1、方程 2x2-9x+2=0 的两根为x1、x2，则x1+x2=；x1x2=；则；=;2、以2，-3为根的一元二次方程是；3、方程4x2+4kx+k2
9、=0的一个根是-2，则k=；4、若关于x的方程（m+3）x2+（2m+5）x+m=0，有两个实根，则m=；,5、已知、是方程x2-x-1=0的两实根，则2+22+=；6、已知：m、n是方程x2+2x-1=0的两根，则（m2+3m+3）（n2+3n+3）=；7、已知a、b满足6a=a2+4，6b=b2+4，求8、在一元二次方程x2+bx+c=0中，若实数b和c在1，2，3，4，5中取值，则其中有不等实数解的方程有 个。,1、已知方程x2-2（m+2）x+2m2-1=0，且x12-x22=0，求m的值；,2、已知关于X的方程x2+（2m+1）x+m2-2=0的两实根的平方和为11，求证：关于x的方
10、程（k-3）x2+kmx-m2+6m-4=0一定有实根,3、已知等腰ABC 的两边a、b是方程x2-kx+12=0的两根，第三边C=4，求k、a、b的值,4、已知方程组 的两个解是，且x1x2（1）求实数k的取值范围（2）当k为何值时，只有一个实数解？（3）若y1y2+k（x1+x2）=4，求实数k的值,例1 把,分解因式,因式分解：,（1）3x2+5x-3,（2）-2x2+7x-4,（3）x2-6x-3,解：设方程的另一个根为x1，那么,用配方法证明：关于x的方程（m-12m+37）x+3mx+1=0，无论m取何值，此方程都是一元二次方程,2、已知关于x的一元二次方程x24xm10。(1)请
11、你为m选取一个合适的整数，使得到的方程有两个不相等的实数根；(2)设、是(1)中你所得到的方程的两个实数根，求22的值。,当x变化时，分式 的最小值是多少？,解：原式=,=,=,故当x=-1时，原式有最小值4。,已知3-是方程x2+mx+7=0的一个根,则m=,另一根为.,国家为了加强对香烟产销的宏观管理,对销售香烟实行征收附加税政策.现在知道某种品牌的香烟每条的市场价格为70元,不加收附加税时,每年产销100万条,若国家征收附加税,每销售100元征税x元(叫做税率x%),则每年的产销量将减少10 x万条.要使每年对此项经营所收取附加税金为168万元,并使香烟的产销量得到宏观控制,年产销量不超过50万条,问税率应确定为多少?,
