第1讲函数、图象及性质.doc

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1、函数、图象及性质 1. 函数在高考中的题型设置有小题也有大题，其中大题有简单的函数应用题、函数与其他知识综合题，也有复杂的代数推理题，可以说函数性质的应用是高考考查的主要着力点之一2. 重点：函数的奇偶性、单调性和周期性；函数与不等式结合；函数与方程的综合；函数与数列的综合；函数与向量的综合；利用导数来刻画函数3. 难点：新定义的函数问题；代数推理问题，常作为高考压轴题1. 已知函数f(x)则f_2. 函数f(x)的定义域为_3. 已知实数m0，函数f(x)若f(2m)f(2m)，则实数m的值为_. 4. 设函数f(x)x22x，g(x)mx2，对x11，2，x01，2，使g(x1)f(x0)

2、，则实数m的取值范围是_题型一 函数解析式及方程区间根问题例1 已知f(x)是二次函数，不等式f(x)0时，f(x)为二次函数，且满足f(2)1，f(x)在(0，)上的两个零点为1和3.(1) 求函数f(x)在R上的解析式；(2) 作出f(x)的图象，并根据图象讨论关于x的方程f(x)c0(cR)根的个数题型二 函数性质及应用问题例2 已知函数f(x)x2(x0，常数aR)(1) 讨论函数f(x)的奇偶性，并说明理由；(2) 若函数f(x)在x2，)上为增函数，求a的取值范围已知函数f(x)x|xa|(xR) (1) 判断f(x)的奇偶性，并证明； (2) 求实数a的取值范围，使函数g(x)f

3、(x)2x1在R上恒为增函数题型三 含字母的函数最值讨论问题例3 设a为实数，函数f(x)x2|xa|1，xR.(1) 讨论f(x)的奇偶性；(2) 求f(x)的最小值 已知函数f(x)x|x2|.设a0，求f(x)在0，a上的最大值题型四 函数综合问题例4 定义函数(x)f(x)x22x(x2a)(x2a)(1) 解关于a的不等式f(1)f(0)；(2) 已知函数f(x)在x0，1上的最小值为f(1)，求正实数a的取值范围已知函数f(x)32log2x，g(x)log2x.(1) 如果x1，4，求函数h(x)f(x)1g(x)的值域；(2) 求函数M(x)的最大值；(3) 如果对不等式f(x

4、2)f()kg(x)中的任意x1，4，不等式恒成立，求实数k的取值范围 1. (2013安徽卷)定义在R上的函数f(x)满足f(x1)2f(x)若当0x1时f(x)x(1x)，则当1x0时，f(x)_2. (2013北京卷)函数f(x)的值域为_3. (2013江苏卷)已知f(x)是定义在R上的奇函数当x0时，f(x)x24x，则不等式f(x)x的解集用区间表示为_4. (2014上海卷)f(x)若f(0)是f(x)的最小值，则a的取值范围为_5. (2013上海卷)已知真命题：“函数yf(x)的图象关于点P(a、 b)成中心对称图形”的充要条件为“函数yf(xa)b 是奇函数”(1) 将函数

5、g(x)x33x2的图象向左平移1个单位，再向上平移2个单位，求此时图象对应的函数解析式，并利用题设中的真命题求函数g(x)图象对称中心的坐标；(2) 求函数h(x)log2 图象对称中心的坐标；(3) 已知命题：“函数yf(x)的图象关于某直线成轴对称图象”的充要条件为“存在实数a和b，使得函数yf(xa)b 是偶函数”判断该命题的真假如果是真命题，请给予证明；如果是假命题，请说明理由，并类比题设的真命题对它进行修改，使之成为真命题(不必证明)6. (2013安徽卷)设函数f(x)ax(1a2)x2，其中a0，区间Ix|f(x)0(1) 求I的长度(注：区间(，)的长度定义为)；(2) 给定

6、常数k(0，1)，当1ka1k时，求I长度的最小值(本题模拟高考评分标准，满分15分)(2013扬州一模)轮滑是穿着带滚轮的特制鞋在坚硬的场地上滑行的运动如图，助跑道ABC是一段抛物线，某轮滑运动员通过助跑道获取速度后飞离跑道然后落到离地面高为1 m的平台上E处，飞行的轨迹是一段抛物线CDE(抛物线CDE与抛物线ABC在同一平面内)，D为这段抛物线的最高点现在运动员的滑行轨迹所在平面上建立如图所示的直角坐标系，x轴在地面上，助跑道一端点A(0，4)，另一端点C(3，1)，点B(2，0)，单位：m.(1) 求助跑道所在的抛物线方程；(2) 若助跑道所在抛物线与飞行轨迹所在抛物线在点C处有相同的切

7、线，为使运动员安全和空中姿态优美，要求运动员的飞行距离在4 m到6 m之间(包括4 m和6 m)，试求运动员飞行过程中距离平台最大高度的取值范围？(注：飞行距离指点C与点E的水平距离，即这两点横坐标差的绝对值)第2讲函数、图象及性质 1. 函数在高考中的题型设置有小题也有大题，其中大题有简单的函数应用题、函数与其他知识综合题，也有复杂的代数推理题，可以说函数性质的应用是高考考查的主要着力点之一2. 重点：函数的奇偶性、单调性和周期性；函数与不等式结合；函数与方程的综合；函数与数列的综合；函数与向量的综合；利用导数来刻画函数3. 难点：新定义的函数问题；代数推理问题，常作为高考压轴题1. 已知函

8、数f(x)则f_答案：2解析：ftan1，ff(1)2.2. 函数f(x)的定义域为_答案：(，1)(1，0)解析：x0，x1.3. 已知实数m0，函数f(x)若f(2m)f(2m)，则实数m的值为_. 答案：和8解析：当m0时，由f(2m)f(2m)得m8；当m0时，x1，2时，g(x)2m，22m；m0时，g(x)2，x01，2，f(x)1，3；m0，x1，2时，g(x)22m，2mm0时，2m，22m1，3；m0，22m，2m1，3，得0m或1m0，故实数m的取值范围是.题型一 函数解析式及方程区间根问题例1 已知f(x)是二次函数，不等式f(x)0时，f(x)为二次函数，且满足f(2)

9、1，f(x)在(0，)上的两个零点为1和3.(1) 求函数f(x)在R上的解析式；(2) 作出f(x)的图象，并根据图象讨论关于x的方程f(x)c0(cR)根的个数解：(1) 由题意，当x0时，设f(x)a(x1)(x3)(a0)， f(2)1， a1， f(x)x24x3.当x0， f(x)为R上的奇函数， f(x)f(x)， f(x)f(x)(x)24(x)3x24x3，即x0时，f(x)x24x3.当x0时，由f(x)f(x)得f(0)0， f(x)(2) 作出f(x)的图象(如图所示)，由f(x)c0得：cf(x)，在图中作yc，根据交点讨论方程的根：当c3或c3时，方程有1个根；当1

10、c3或3c1时，方程有2个根；当c1或c1时，方程有3个根；当0c1或1c1时，由f(x)f(1)，得x22x(x2a)32a，即2a(x1)2x3x23. x0，1)，式即2a，即2a2x23x3，上式对一切x0，1)恒成立， 2a233，即a4. 0a1时，由f(x)f(1)，得x22x(x2a)(x2a)2a1.() 当x1时，x22x(x2a)2a1，即2a(x1)2x3x21. x0，1)，式即2a，即2a2x2x1，上式对一切x0，1)恒成立， 2a2a1.此式恒成立() 当0x时，x22x(x2a)2a1，即2a(x1)2x3x21. x0，1)，式即2a，即2a2x2x1.当，

11、即0a时，2a2()21， a1.结合条件得0a.当(0a1)，即a1时，2a1， a.结合条件得a.故0a.由、，得0a或a4.已知函数f(x)32log2x，g(x)log2x.(1) 如果x1，4，求函数h(x)f(x)1g(x)的值域；(2) 求函数M(x)的最大值；(3) 如果对不等式f(x2)f()kg(x)中的任意x1，4，不等式恒成立，求实数k的取值范围解：令tlog2x，(1) h(x)(42log2x)log2x2(t1)22. x1，4， t0，2， h(x)的值域为0，2(2) f(x)g(x)3(1log2x)，当0x2时，f(x)g(x)；当x2时，f(x)g(x)

12、， M(x)即M(x)当0x2时，M(x)最大值为1；当x2时，M(x)1.综上，当x2时，M(x)取到最大值为1.(3) 由f(x2)f()kg(x)，得(34log2x)(3log2x)klog2x. x1，4， t0，2， (34t)(3t)kt对一切t0，2恒成立 当t0时，kR； t(0，2时，k恒成立，即k4t15. 4t12，当且仅当4t，即t时取等号 4t15的最小值为3.综上，k3.1. (2013安徽卷)定义在R上的函数f(x)满足f(x1)2f(x)若当0x1时f(x)x(1x)，则当1x0时，f(x)_答案：解析：1x0时，0x11，f(x)f(x1).2. (2013

13、北京卷)函数f(x)的值域为_答案：(，2)解析：函数f(x)在(，1)上单调增，f(x)(0，2)；在1，)上单调减，f(x)(，0，故函数值域为(，2)3. (2013江苏卷)已知f(x)是定义在R上的奇函数当x0时，f(x)x24x，则不等式f(x)x的解集用区间表示为_答案：(5，0)(5，)解析：x0时，f(x)x24x，f(x)x即为x25x0，所以x5；f(x)是定义在R上的奇函数，xx即为x25x0，5x0时，f(x)xa在x1时取得最小值2a，由题意当x0时，f(x)(xa)2应该是递减的，则a0，此时最小值为f(0)a2.因此a2a2，解得0a2.5. (2013上海卷)已

14、知真命题：“函数yf(x)的图象关于点P(a、 b)成中心对称图形”的充要条件为“函数yf(xa)b 是奇函数”(1) 将函数g(x)x33x2的图象向左平移1个单位，再向上平移2个单位，求此时图象对应的函数解析式，并利用题设中的真命题求函数g(x)图象对称中心的坐标；(2) 求函数h(x)log2 图象对称中心的坐标；(3) 已知命题：“函数yf(x)的图象关于某直线成轴对称图象”的充要条件为“存在实数a和b，使得函数yf(xa)b 是偶函数”判断该命题的真假如果是真命题，请给予证明；如果是假命题，请说明理由，并类比题设的真命题对它进行修改，使之成为真命题(不必证明)解：(1) 平移后图象对

15、应的函数解析式为y(x1)33(x1)22，整理得yx33x，由于函数yx33x是奇函数，由题设真命题知，函数g(x)图象对称中心的坐标是(1，2)(2) 设h(x)log2的对称中心为P(a，b)，由题设知函数h(xa)b是奇函数设f(x)h(xa)b，则f(x)log2b，即f(x)log2b.由不等式0的解集关于原点对称，得a2.此时f(x)log2b，x(2，2)任取x(2，2)，由f(x)f(x)0，得b1，所以函数h(x)log2图象对称中心的坐标是(2，1). (3) 此命题是假命题举反例说明：函数f(x)x的图象关于直线yx成轴对称图象，但是对任意实数a和b，函数yf(xa)b

16、，即yxab总不是偶函数修改后的真命题：“函数yf(x)的图象关于直线xa成轴对称图象”的充要条件是“函数yf(xa)是偶函数”. 6. (2013安徽卷)设函数f(x)ax(1a2)x2，其中a0，区间Ix|f(x)0(1) 求I的长度(注：区间(，)的长度定义为)；(2) 给定常数k(0，1)，当1ka1k时，求I长度的最小值解：(1) 令f(x)xa(1a2)x0，解得x10，x2， I， I的长度x2x1.(2) k(0，1)，则01ka1k0，则0a1，故I关于a在(1k，1)上单调递增，在(1，1k)上单调递减 I的最小值必定在a1k或a1k处取得I1，I2，1，Imin.(本题模

17、拟高考评分标准，满分15分)(2013扬州一模)轮滑是穿着带滚轮的特制鞋在坚硬的场地上滑行的运动如图，助跑道ABC是一段抛物线，某轮滑运动员通过助跑道获取速度后飞离跑道然后落到离地面高为1 m的平台上E处，飞行的轨迹是一段抛物线CDE(抛物线CDE与抛物线ABC在同一平面内)，D为这段抛物线的最高点现在运动员的滑行轨迹所在平面上建立如图所示的直角坐标系，x轴在地面上，助跑道一端点A(0，4)，另一端点C(3，1)，点B(2，0)，单位：m.(1) 求助跑道所在的抛物线方程；(2) 若助跑道所在抛物线与飞行轨迹所在抛物线在点C处有相同的切线，为使运动员安全和空中姿态优美，要求运动员的飞行距离在4

18、 m到6 m之间(包括4 m和6 m)，试求运动员飞行过程中距离平台最大高度的取值范围？(注：飞行距离指点C与点E的水平距离，即这两点横坐标差的绝对值)解：(1) 设助跑道所在的抛物线方程为f(x)a0x2b0xc0，依题意，(3分)解得a01，b04，c04， 助跑道所在的抛物线方程为f(x)x24x4.(7分)(2) 设飞行轨迹所在抛物线为g(x)ax2bxc(a0)，依题意得解得(9分) g(x)ax2(26a)x9a5a1.令g(x)1得， a0， xE3.(11分)当x时，g(x)有最大值为1，则运动员的飞行距离d33，(13分)飞行过程中距离平台最大高度h11，依题意，46，得23

19、，即飞行过程中距离平台最大高度的取值范围在2 m到3 m之间(15分)1. 已知a，函数f(x)ax.若实数m、n满足f(m)f(n)，则m、n的大小关系为_答案：mn解析： 考查指数函数的单调性 a(0，1)， 函数f(x)ax在R上递减由f(m)f(n)，得mn.2. 已知函数yf (x)是定义在R上的周期函数，周期T5，函数yf(x)(1x1)的图象关于原点对称又知yf(x)在0，1上是一次函数，在1，4上是二次函数，且在x2时函数取得最小值5.(1) 求证：f(1)f(4)0；(2) 求yf(x)，x1，4的解析式；(3) 求yf(x)在4，9上的解析式(1) 证明： f (x)是以5

20、为周期的周期函数， f(4)f(45)f(1)又yf(x)(1x1)关于原点对称， f(1)f(1)f(4), f(1)f(4)0.(2) 解： 当x1，4时，由题意可设f(x)a(x2)25(a0)由f(1)f(4)0，得a(12)25a(42)250， a2， f(x)2(x2)25(1x4)(3) 解： yf(x)(1x1)是奇函数， f(0)0.又知yf(x)在0，1上是一次函数， 可设f(x)kx(0x1)，而f(1)2(12)253， k3， 当0x1时，f(x)3x，从而当1x0时，f(x)f(x)3x，故1x1时，f(x)3x， 当4x6时，有1x51， f(x)f(x5)3(x5)3x15，当6x9时，1x54， f(x)f(x5)2(x5)2252(x7)25， f(x)点评：紧抓函数几个性质，将未知的转化为已知的，注意函数图象及端点值