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1、第21课时 等腰三角形解题方法示屏 类型题展类型一 与等腰三角形有关的角度计算（2011衢州）衢州市新农村建设推动了农村住宅旧貌变新颜，如图为一农村民居侧面截图，屋坡AF、AG分别架在墙体的点B、点C处，且AB=AC，侧面四边形BDEC为矩形若测得FAG=110，则FBD=（）A、35B、40 C、55D、70方法点拨：此题考查了等腰三角形的性质以及矩形的性质，同时考查学生数形结合的数学思想，多观察图形，发现题中隐藏的条件根据已知FAG的度数，在ABC中根据等边对等角求出角ABC的度数，再根据矩形的性质可知矩形的每个内角都为90，这样就得出了角DBC的度数，最后观察图形可知ABC、DBC和FB
2、D构成一个平角，再根据平角的定义即可求出FDB的度数变式题一例2.如图，在ABC中，AB=AC，A=80，E,F,P分别是AB,AC,BC边上一点，且BE=BP，CP=CF，则EPF= 度.方法点拨：本题考查了与等腰三角形的性质和判定有关的角的计算。由AB=AC，BE=BP，CP=CF得ABC、BEP、CFP都是等腰三角形，可由A=80求得结果。ABCOFE类型二 等腰三角形的性质计算例3.如图，已知BO、CO分别平分ABC、ACB，OEAB,OFAC，若BC=8cm，则OEF的周长是( ). A. 4cm B. 8cm C. 16cm D. 20cm.方法点拨：本题考查了等腰三角形的判定和性
3、质，先利用题的条件判定某些三角形为等腰三角形，再利用等腰三角形的性质计算。ABCGFED变式题二 例4.如图，矩形纸片ABCD中，BC=2，ABD30，将该纸片沿对角线BD翻折，点A落在点E处，EB交DC于点F，则点F到直线DB的距离为 .方法点拨：本题以矩形为背景，利用矩形的性质证明FDC为等腰三角形，再利用等腰三角形的性质“三线合一”，求得FG，即F到直线DB的距离.重难点突破等腰三角形的性质例5.（2011茂名改编）如图，在等腰ABC中，点D、E分别是两腰AC、BC上的点，连接AE、BD相交于点O，1=2（1）求证：OD=OE；（2）求证：四边形ABED是等腰梯形；方法点拨：此题考查了等
4、腰三角形的性质的灵活运用，有一定的综合性，要求学生熟练掌握等腰三角形性质才能很好解决这类问题.无论是证线段相等还是证等腰梯形都是以等腰三角形的性质为载体。（1） 如图，由ABC是等腰三角形，得到BAD=ABE，然后利用已知条件证明ABDBAE，则BD=AE，又由1=2得到OA=OB，由此即可证明OD=OE；（2）由（1）的OD=OE得AOB、DOE都是等腰三角形，易证1=OED，从而证明DEAB，而AD与BE是等腰三角形的边，所以不平行，这样就可以证明梯形ABED是等腰梯形；备考满分挑战双础训练1. (2011河南改编)如图，在ABC中，AB=AC，CD平分ACB，A=36，则BDC的度数为(
5、 )A .36 B. 72 C. 60 D. 642. （2011山东济宁，3，3分）如果一个等腰三角形的两边长分别是5cm和6cm，那么此三角形的周长是 A15cm B16cm C17cm D16cm或17cm3. （2011台湾全区）如图，ABC中，以B为圆心，BC长为半径画弧，分别交AC、AB于D、E两点，并连接BD、DE若A=30，ABAC，则BDE的度数为（ ）A 45 B 525 C 675 D 754. （2011四川凉山州，8，4分）如图，在中，点 为的中点，垂足为点，则等于（） A B C D 5. （2011山东烟台，14,4分）等腰三角形的周长为14，其一边长为4，那么，
6、它的底边为 .6. （2011山东滨州，15，4分）边长为6cm的等边三角形中，其一边上高的长度为_.7. （2011浙江省嘉兴，14，5分）如图，在ABC中，AB=AC，则ABC的外角BCD 8.（2011河北）如图1，两个等边ABD，CBD的边长均为1，将ABD沿AC方向向右平移到ABD的位置，得到图2，则阴影部分的周长为 9.（2011河南安阳模拟189分改编）如图，ABEF，DCEF，垂足分别为B、C,且AB=CD,BE=CFAF、DE相交于点O，AF、DC相交于点N,DE、AB相交于点M（1）请直接写出图中所有的等腰三角形；（2）请证明其中的一个。10.（2011荆州）如图，P是矩形
7、ABCD下方一点，将 PCD绕P点顺时针旋转60后恰好D点与A点重合，得到PEA，连结EB，问ABE是什么特殊三角形？请说明理由.BADCM11. （2011湖北随州22改编）在圆内接四边形ABCD中，CD为BCA外角的平分线求证ABD为等腰三角形能力提升ABDPCDMNECQF题量要求：选择题3道，填空题3道，解答题2道12. （2011江西B,8，3分）如图,将矩形ABCD对折，得折痕PQ，再沿MN翻折，使点C恰好落在折痕PQ上的点C处，点D落在D处，其中M是BC的中点.连接AC，BC，则图中共有等腰三角形的个数是（ ）.A .1 B.2 C.3 D.413. （2011浙江义乌，10，3
8、分）如图，ABC和ADEABCDEFG都是等腰直角三角形，BAC=DAE=90，四边形ACDE是平行四边形，连结CE交AD于点F，连结BD交CE于点G，连结BE. 下列结论中： CE=BD； ADC是等腰直角三角形； ADB=AEB； CDAE=EFCG；一定正确的结论有A1个 B2个 C3个 D4个14. （2011浙江台州，14,5分）已知等边ABC中，点D,E分别在边AB,BC上，把BDE沿直线DE翻折，使点B落在点B处，DB,EB分别交边AC于点F，G，若ADF=80，则EGC的度数为 .15.（2011浙江杭州，16，4）在等腰RtABC中，C=90，AC1，过点C直线lAB，F是l
9、上的一点，且ABAF，则点F到直线BC的距离为 16. （2011贵州贵阳，15，4分）如图，已知等腰RtABC的直角边长为1，以RtABC的斜边AC为直角边，画第二个等腰RtACD，再以RtACD的斜边AD为直角边，画第三个等腰RtADE，依此类推直到第五个等腰RtAFG，则由这五个等腰直角三角形所构成的图形的面积为_17.（2011江苏扬州，23,10分）已知：如图，锐角ABC的两条高BD、CE相交于点O，且OB=OC，（1）求证：ABC是等腰三角形；（2）判断点O是否在BAC的角平分线上，并说明理由。18. （2011山东泰安）已知：在ABC中，AC=BC，ACB=90，点D是AB的中点
10、，点E是AB边上一点。（1）直线BF垂直于CE于点F，交CD于点G（如图），求证：AE=CG；（2）直线AH垂直于CE于，垂足为H，交CD的延长线于点M（如图），找出图中与BE相等的线段，并说明。BCDAO19.（2011陕西模拟）如图，点是等边内一点，, 将绕点按顺时针方向旋转得，连接（1）当,时，试判断的形状，并说明理由。（2）探究：若，那么为多少度，是等腰三角形？（只要写出探究结果）= 。（3）请写出是等边三角形时 、的度数。= 度； = 度。20. 第21课时 等腰三角形参考答案解题方法示屏例1. 【答案】C 解：在ABC中，AB=AC，FAG=110，ABC=ACB=35，又四边形B
11、DEC为矩形，DBC=90，FBD=180ABCDBC=1803590=55故选C例2.【答案】50. 解： AB=AC，A=80 B=C=50 BE=BP，CP=CF BPE=BEP=65 CPF=CFP=65 EPF=180BPECPF50例3. 【答案】B 易证OEB、OFC是等腰三角形，则OE=BE、OF=FC.所以EOF的周长是OE+OF+EF=BF+EF+FC=BC=8cm.故选B.例4【答案】 作FGDB于点G，在RtDCB中，DB=2BC=4,易证FD=FB，所以点G为BC的中点，则. 所以FG=例5.【解答】（1）证明：如图，ABC是等腰三角形，AC=BC，BAD=ABE，又
12、AB=BA、2=1，ABDBAE（ASA），BD=AE，又1=2，OA=OB，BDOB=AEOA，即：OD=OE；（2）证明：由（1）知：OD=OE，DOE、AOB都是等腰三角形1=OED， DEAB，AD、BE是等腰三角形两腰所在的线段，AD与BE不平行，四边形ABED是梯形，又由（1）知AD=BE 梯形ABED是等腰梯形；备考满分挑战1. 1. 【答案】B 【解析】本题考查了等腰三角形性质、和等腰三角形有关的角度计算。解题思路：由AB=AC，A=36得ACB=B= 72；又CD平分ACB，则ACD=36所以CDB=A+ACD = 72.故选B.2.【答案】D 【解析】本题考查了等腰三角形性
13、质和三角形的三边关系。解题思路：由题意知这个等腰三角形的边长是6cm、5cm、5cm或6cm、6cm、5cm，且都满足三角形的三边关系定理。所以这个三角形周长是16cm或17cm.故选D.3.【答案】【解析】本题考查了等腰三角形的性质和判定。解题思路：A=30，ABAC ABC=ACB= 75BD=BC BDC=C =75DBC=30ABD=45 BE=BD BDE=BED=67.5故选C.4.【答案】C 【解析】本题考查了等腰三角形的性质“三线合一”. 解题思路：由点 为 的中点想到连接AD.则ADBC,且 .又由三角形的面积公式得： ，所以 .故选C.5.【答案】4或6【解析】本题考查了等
14、腰三角形性质和三角形的三边关系. 解题思路：由于等腰三角形两腰相等，若腰长为4，则底边长为6；若底边长为4，则腰长5，且都符合三角形的三边关系，所以这个三角形的底边为4或6.6.【答案】cm【解析】本题考查了等边三角形的性质。解题思路：由等边三角形的性质知：等边三角形任意边上的高将它分成两个全等的有一个角为30的直角三角形，所以此高.7. 【答案】110 【解析】本题考查了对等腰三角形的性质，三角形的内角和定理，三角形的外角性质等知识点的理解和掌握，能求出B的度数是解此题的关键根据等腰三角形的性质得到B=ACB，根据三角形的内角和定理求出B，根据三角形的外角性质即可求出答案解答：解：AB=AC
15、，B=ACB，A=40，B=ACB=（180A）=70，BCD=A+B=40+70=110，8. 【答案】2【解析】本题考查了平移的性质以及等边三角形的性质，根据题意得出AM=AN=MN，MO=DM=DO，OD=DE=OE，EG=EC=GC，BG=RG=RB是解决问题的关键解题思路：两个等边ABD，CBD的边长均为1，将ABD沿AC方向向右平移到ABD的位置，AM=AN=MN，MO=DM=DO，OD=DE=OE，EG=EC=GC，BG=RG=RB，OM+MN+NR+GR+EG+OE=AD+CD=1+1=2.9. 【思路分析】本题考查了等腰三角形的判定.要证明一个三角形是等腰三角形：一是证明在这
16、个三角形中有两个角相等；二是证明在这个三角形中有两条边相等。本题是借助三角形全等来证明角相等，从而证明出等腰三角形。【解答】解：（1）图中的等腰三角形有：EOF，AOM，DON；（2）ABEF DCEF ABC=DCB=90CF = BE CF+BC=BE+BC 即BF=CE在ABF和DCE中， ABFDCE F=E EOF是等腰三角形.（同样借助全等可证：AOM、DON是等腰三角形）10. 【思路分析】本题考查了图形旋转的性质、矩形的性质、等边三角形的性质和判定.由旋转可得PAEPDC，从而证得PDA是等边三角形；再由矩形和等边三角形的性质证得14230，即AECDAB，而EAB2+460，
17、故ABE为等边三角形解：ABE是等边三角形.理由如下： 由旋转得PAEPDC CD=AE，PD=PA,1=2 DPA=60PDA是等边三角形 3PAD60. 由矩形ABCD知，CDAB，CDADAB90. 14230 AECDAB，EAB2+460, ABE为等边三角形 11. 【思路分析】本题考查了等腰三角形的判定。利用圆的相关性质证明角相等，从而证明一个三角形为等腰三角形。【解答】证明：CD为BCA外角的平分线MCD=ACD =DBA,又MCD+BCD=DAB+BCD=180,MCD=DAB，DAB=DBA即.ABD为等腰三角形12.【答案】C 【解析】本题主要考查了等腰三角形的判定.以矩
18、形的性质、图形的翻折为背景，证明线段或角相等，从而判定一个三角形为等腰三角形。解题思路：点P在矩形的对称轴上，所以PAB是等腰三角形；又点M是BC的中点，翻折后PM=MC=BM，所以MPB是等腰三角形；而PQBC，则CMF=PFM，易证CMF=CFM.所以CMF是等腰三角形.故选C.13.【答案】D 【解析】本题考查了等腰直角三角形的性质、平行四边形的性质、三角形全等的判定和性质。解题思路：ABC是等腰直角三角形，BAC =90 AB=ACADE是等腰直角三角形，DAE =90 AD=AE在ABD和ACE中，ABDACE BD=CE即正确； 四边形ACDE是平行四边形 CDA=EAD=90,A
19、D=AE=CDADC是等腰直角三角形即正确；在ABD和AEB中，ABDAEB ADB=AEB即正确ABDACE ADB=AECGFD=AFE FGD=FAE=90CGD=90 CGDEAF 即CDAE=EFCG正确.14.【答案】80 【解析】本题考查了等边三角形的性质、图形的翻折、三角形内角和定理. 解题思路：由ABC是等边三角形得；又BDE沿直线DE翻折得BDE，所以,； 因为ADF=80，所以，.所以,.15.【答案】 【解析】本题考查了等腰直角三角形的性质、平行线的性质、矩形的判定和性质。ABNFDElMABCFDEl解题思路：如图，作FDBC于D，AECF于E。 C=90，AC1 ,
20、 ；又 AB=AF， AFC=30 lAB CDF为等腰直角三角形 如图作FDBC于D，AECF于E,AMFD于M,交l于N。 四边形AMDC为矩形 MD=AC=1 C=90，AC1 , ， AFC=30， ANCD AEN为等腰直角三角形 同理可证FMN为等腰直角三角形 故点F到直线BC的距离为或.16.【答案】 【解析】本题考查了等腰直角三角形的性质. 解题思路：由RtABC的直角边长为1得，这样第二、三、四、五个等腰直角三角形的斜边长分别是, ，.所以它们的面积分别为：、1、2、4、8.面积之和为：+1+2+4+817. 【思路分析】本题考查了三角形全等的判定和性质、等腰三角形的判定、角
21、平分线的定义。（1）要证ABC是等腰三角形，只要证AB=AC，只要证BDCCEB即可；（2）连接AO，由BDCCEB、ADOAEO可证.【答案】（1）证明：OB=OC OBC=OCBBD、CE是两条高 BDC=CEB=90又BC=CB BDCCEB（AAS）DBC=ECB AB=AC ABC是等腰三角形。 （2）点O是在BAC的角平分线上。连结AO. BDCCEB DC=EB,OB=OC OD=OE又BDC=CEB=90 AO=AO ADOAEO（HL） DAO=EAO 点O是在BAC的角平分线上。18.【思路分析】本题考查了等腰直角三角形的性质应用。【解答】（1）证明：点D是AB中点，AC=
22、BC，ACB=90 CDAB，ACD=BCD=45CAD=CBD=45CAE=BCG又BFCECBG+BCG=90又ACE+BCF=90ACE=CBGAECCGBAE=CG（2）BE=CM证明：CHHM，CDEDCMA+MCH=90BEC+MCH=90CMA=BEC又，AC=BC，ACM=CBE=45BCECAMBE=CM19. 【思路分析】本题考查了正三角形的性质和判定、等腰三角形的性质和判定、直角三角形的判定.这是一道探究结果的综合性质题，它要求熟练掌握和正解等边三角形、等腰三角形的性质和判定并且同时考查了全等。（1）尽管要证的是直角三角形，但必须先证明出等边三角形，再用等边三角形的性质证
23、明。（2）、（3）探究、为何值时，是等腰（边）三角形.运用的是等腰三角形的判定.【解答】（1）是直角三角形，理由如下：ABCDO将绕点按顺时针方向旋转得,DCO= CO=CD，ADC=BOC= 是等边三角形 CDO= ADO=ADCCDO= 15060=90是直角三角形 （2）当=125或110或140（3）当=120且=120 20. 【思路分析】本题考查等边三角形的性质和判定。（1）利用等边三角形的角的性质和三角板的特点可证AEF、BPE、CFP全等，从而证明PEF是等边三角形；（2）利用等腰三角形的判定可证GBE为等腰三角形，从而求得EGB的面积；（3）易证CPF、BPE为等边三角形，从而可求PE的长。【解答】解：（1）EPF为等边三角形。 ABC为等边三角形 B60 PEAB EPB30 FPE60 FPC90 BECP BPECFP 同理可证BPEAEF PEEFPF EPF是等边三角形。（2）由（1）可得BGEBEG30 GBBE2 (3) CFAE2 BPBE4 B60 BPE是等边三角形 PE=BE=4
