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1、解三角形（二轮专题复习）教学设计宜昌市田家炳高级中学 韩山教学目标：1、知道正弦定理、余弦定理是解三角形的核心知识，会用正余弦定理进行边角转换；2、掌握“已知一角及其对边，求相关边角的最值问题”的两种基本思路： （1）运用正弦定理化边为角，转化为三角函数最值问题； （2）运用余弦定理化角为边，利用基本不等式、判别式法等手段构造不等式进而解不等式；3、能运用过去解三角形所积累的解题经验解决与解三角形相关的拓展问题，并获得、积累新的数学基本活动经验。教学重点：1、与学生一起探究例题的基本解法，并总结归纳出解这类问题的两类基本思路；2、解决函数、不等式问题时所获得的一些数学基本活动经验在解决“已知一
2、角及其对边，求相关边角的最值问题”时的运用、积累与升华。 教学难点：变式2中用余弦定理寻求与相关的不等式、求解、验证的过程授课类型：高三第二轮专题复习课教学过程： 一、热点分析，把握方向近五年全国卷解三角形考题题号及分值统计：20112012201320142015理科第16题/5分第17题/12分第17题/12分第16题/5分第16题/5分 通过此表，我们发现解三角形是高考的必考点，一般属于中档题，是我们的一个主要得分点，因此也是第二轮复习的重点内容. 二、小试牛刀，回顾经验引例：（2015广东改编）设的内角的对边分别为，若，则 .1、给2分钟时间，让学生独立完成，请同学回答，同时板书两种方
3、法的主要过程；2、解法一：（余弦定理），化简为解法二：（正弦定理）由正弦定理得，又，所以，或.3、小结：通过这个题我们可以感受到正弦定理、余弦定理在解三角形中的具体应用.4、问：如果在引例中去掉条件“”，这时会是什么结果呢？显然就不能求解的具体数值了，但能不能求 的范围呢？请试解如下变式。变式：设的内角的对边分别为，若，求的范围.略解： 同理有.（有的范围了，我们进一步想想的范围为（留白，请一个同学回答说，（同时板书）这个范围正确吗？质疑大于0吗？（引导）学生回答两边之和大于第三边，所以，继续质疑，能不能等于8？我们反过来想，假设最大值为8，那么应该是，这时这个三角形就有四个条件了，可以选用其
4、中三个条件来检验第四个条件.比如我们利用余弦定理求. 显然8不是的最大值，那么的最大值是多少？）ACB为研究的方便，我们把数据稍作改变，通过例题来研究这类问题.三、例题探究，获取经验例 在 中， ，求的最大值.1、请学生思考讨论后试解2分钟，再请同学回答思路，同时板书关键点；2、解法一（正弦定理）由正弦定理得 ，整理有：，所以（到这里后，问学生最大值是多少？为什么？意在引导学生注意：求函数的最值应考定义域）因为，所以，故 教师评价：这位同学采用正弦定理，将边的问题转化为角的问题，进而利用和差角公式转化为三角函数求最值的问题，充分体现了函数的思想，非常不错！值得同学们注意的是函数的定义域，即角的
5、取值范围. 问：请同学们想想这个题还有没有其它的思路？解法二 （余弦定理）由余弦定理得 ，整理为：，（这个过程中要及时追问为什么这么转化，暴露学生的思维过程）设，则：，即（取等条件）教师评价：这个同学讲得非常好！抓住了两个关键点：第一点是将转化为；第二点是利用均值不等式将转化为.通过两次转化，构造出关于的不等式.这个转化的过程，充分体现了强烈的解题目标意识，因为本题就是要求最大值.3、经验总结：求两边之和的最值问题，我们通常借助正弦定理转化为函数的最值，或利用余弦定理构造不等式来求解，这是我们解决这类问题的基本经验.四、变式训练，升华经验变式1在 中， ，求的最大值.1、 学生独立试解，教师巡
6、查并予以启发，而后请两位同学上台板演；2、 解法一：由正弦定理得 ， 整理有：，所以 因为，所以，故解法二：由余弦定理得 ，化简为：， 所以（取等条件）变式2（2011全国 理16）的内角的对边分别为， ，求 的最大值1、请学生对比例题及变式1，回答解题思路，而后分组作答.2、解法一：由正弦定理得 ，整理有：，所以 其中所以的最大值为.教师启发：像这样的问题，我们接触的比较多的是1:1型或1：型，是可以转化为特殊角的，显然这个不行，那么怎么处理呢？在中，是确定的锐角，又因为，所以可以取到最大值1的.解法二 （余弦定理）由余弦定理得 ，化简为： (*) 设，则，代入(*)式整理得：，启发：可以将
7、上式看成是关于a的一元二次方程，有解吗？那么我们看a表示什么，a表示的是三角形的边长，这样的a是存在的，即这个关于a的一元二次方程是有解的.由得：由于求的是最大值，因此最关注的是等号能否取到. 检验：当时，代入方程可以解出，而，这说明t可以取到.即 的最大值为教师：这个题我们既可以用正弦定理转化为函数解决，也可以用余弦定理构造不等式解决，但我们发现用余弦定理是思维难度较大，需要通过换元构造方程求解，相对来说用正弦定理比较顺畅. 通过例题及两个变式的探究，我想同学们一定能够解决引例变式追问中的的范围问题了，留给同学们课后去思考解决.五、总结反思，提炼经验教师：本节课我们着重复习了解三角形的问题，通过这节课的学习，我们有哪些收获？并在学生总结基础上归纳出如下要点：1、正弦定理、余弦定理是解三角形的核心知识点；2、解三角形最值问题一般有两条途径：第一，用正弦定理将边化为角，最终转化为函数的最值问题；第二，利用余弦定理将角化为边，再利用均值不等式、判别式法等相关知识构造不等式求解.这就是通过这节课的学习获得的基本活动经验.六、课外练习，巩固经验1、（2015湖南）的内角的对边分别为，且为钝角.(I)证明：；(II)求的取值范围.2、(2014全国)，分别为三个内角的对边，且，则ABC面积的最大值为_
