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1、时间序列分析讲义第01章差分方程差分方程是连续时间情形下微分方程的特例。差分方程及其求解是时间序列方法的基础，也是分析时间序列动态属性的基本方法。经济时间序列或者者金融时间序列方法要紧处理具有随机项的差分方程的求解问题，因此，确定性差分方程理论是我们首先需要熟悉的重要内容。1.1 一阶差分方程假设利用变量为表示随着时间变量，变化的某种事件的属性或者者结构，则X便是在时间f能够观测到的数据。假设K受到前期取值HT与其他外生变量吗的影响，并满足下述方程：H=OO+弘+wt(1.1)在上述方程当中，由于K仅线性地依靠前一个时间间隔自身的取值,因此称具有这种结构的方程为一阶线性差分方程,，假如变量明是
2、确定性变量，则此方程是确定性差分方程；假如变量吗是随机变量，则此方程是随机差分方程。在下面的分析中，我们假设吗是确定性变量。例1.1货币需求函数假设实际货币余额、实际收入、银行储蓄利率与商业票据利率的对数变量分别表示为加,、It,小与,则能够估计出美国货币需求函数为：mt=0.27+0.72m,_1+0.19/,-0.045%-0.019%上述方程便是关于他的一阶线性差分方程。能够通过此方程的求解与结构分析，推断其他外生变量变化对货币需求的动态影响。1.1.1 差分方程求解：递归替代法差分方程求解就是将方程变量表示为外生变量及其初值的函数形式，能够通过往常的数据计算出方程变量的当前值。由于方程
3、结构关于每一个时间点都是成立的，因此能够将(1.1)表示为多个方程：/=0：+必上1+“)=1：必=。()+么打+卬1t=t:=0o+1VV0+VV1%=%(1+必+)+y-+行卬2+外”+必卬0H=Oo+y-+ZW%(i2)I=Or=O上述表达式(1.2)便是差分方程(1.1)的解，能够通过代入方程进行验证。上述通过叠代将H表示为前期变量与初始值的形式，从中能够看出K对这些变量取值的依靠性与动态变化过程。1.1.2 .差分方程的动态分析：动态乘子(dynamicmultiplier)在差分方程的解当中，能够分析外生变量，比如Wo的变化对，阶段以后的H的影响。假设初始值%与“，,吗不受到影响,
4、则有:(1.3)类似地，能够在解的表达式中进行计算，得到:(1.4)等二OWt上述乘子仅仅依靠参数由与时间间隔并不依靠观测值的具体时间阶段，这一点在任何差分方程中都是适用的。例1.2货币需求的收入乘子在我们获得的货币需求函数当中，能够计算当期收入一个单位的变化，对两个阶段以后货币需求的影响，BP：mt2ml+2I1 wtX煞=必警It I1利用差分方程解的具体系数，能够得到：=0.19,仇=0.72从而能够得到二阶乘子为：=0.098注意到上述变量均是对数形式，因此实际上货币需求相关于两个阶段往常收入的弹性系数，这意味着收入增长1%,将会导致两个阶段以后货币需求增加0.098%,其弹性是比较微
5、弱的。定义1在一阶线性差分方程中，下述乘子系列称之力相关于外生扰动”的反应函数:(1.5)jH+/JJ八1Lj=F=;，/=OJwl显然上述反应函数是一个几何级数，其收敛性依靠于参数我的取值。(4)当0血1时，反应函数是单调收敛的；当-lv1时，反应函数是单调扩张的；当必VT时，反应函数是震荡扩张的；能够归纳描述反应函数关于参数的依靠性：当I必时，反应函数是发散的。一个特殊情形是必=1的情形，这时扰动将形成持续的单一影响，即叫的一个单位变化将导致其后任何时间力+j的一个单位变化：r+j1八1Lj=F1,/=0,1,wl(1.6)为了分析乘子的持久作用，假设时间序列匕的现值贴现系数为夕，则未来所
6、有的时候间的K流贴现到现在的总值为：jyl,j；=o假如叫发生一个单位的变化，而吗，sf不变，那么所产生的关于上述贴现量的影响为边际导数：8OOay.o1唱gj/加%田徜=物a=F，口上述分析的是外生变量的暂时扰动，假如叼发生一个单位的变化，而且其后的吗,sr也都发生一个单位的变化，这意味着变化是持久的。这时持久扰动关于Q+力时刻的的影响乘数是：am+)wt+叽+也8吗+wt+j(1.7)当I弘1saWfw,+wt+j1-M例1.3货币需求的长期收入弹性在例1.1中我们已经获得了货币的短期需求函数，从中能够求出货币需求的长期收入弹性为：也=皿X空=9=0.68dltdwldi,1-0.72这说
7、明收入增加1%最终将导致货币需求增加0.68%,这是收入关于货币需求反馈的持久影响效果。假如换一个角度考察扰动的影响，那么我们需要分析一个单位的外生扰动关于丹以后路径的累积影响，这时能够将这种累积影响表示为:(L9)三旦=_L六08吗1-由此可见，假如能够估计出差分方程中的系数，同时熟悉差分方程解的结构，则能够对经济变量进行稳固性的动态分析。另外，我们也发现，内生变量对外生变量反应函数的性质比较敏感地依靠差分方程中的系数。1.2阶差分方程假如在方程当中同意），,依靠它的P阶前期值与输入变量，则能够得到下述P阶线性差分方程（将常数项归纳到外生变量当中）：H=-+02y,-2+内yl-p+吗（II
8、）为了方便起见，将上述差分方程表示成为矩阵形式：&=FJi+匕（Iu）事实上在方程（LlI）所表示的方程系统当中，只有第一个方程是差分方程（1.10）,而其余方程均是定义方程：yt.j=y,-j,j=l,2,p将阶差分方程表示成为矩阵形式的好处在于，它能够进行比较方便的叠代处理，同时能够更方便地进行稳固性分析。另外，差分方程的系数都表达在矩阵尸的第一行上。进行向前叠代，能够得到差分方程的矩阵解为：l=尸.匕+户W+匕(1.12)利用井，表示矩阵人中第i行、第/列元素，则方程系统(1.12)中的第一个方程能够表示为：yt=+y-i12+y-2+用广)y-p+,#)吸)+c0w%+吗(1.13)需
9、要注意，在P阶差分方程的解中需要明白个初值：(”|,几2,，几)，与从时刻O开始时的所有外生变量的当前与历史数据：(%,wi.,吗)。由于差分方程的解具有的时候间上的平移性，因此能够将上述方程(1.12)表示为：Aj=尸济l-+Fj匕+尸尸匕+1+Fvr+y-1+“(1.14)类似地，表示成为单方程形式：yt+J=liy+h-1+l27+%2+TX-P+#吗+/产+&(”利用上述表达式，能够得到P阶差分方程的动态反应乘子为：LJ=磬)，尸0，1,wl由此可见，动态反应乘子要紧由矩阵产)的首个元素确定。例1.4在P阶差分方程中，能够得到一次乘子为：4=誓广仇OWt二次乘子为：Ll=力？=行+。2
10、wt尽管能够进一步通过叠代的方法求出更高阶的反应乘子,但是利用矩阵特征根表示则更为方便，要紧能够更为方便地求出矩阵尸J的首个位置的元素。根据定义，矩阵厂的特征根是满足下述的尤值：F-Ip=Q(1.16)通常情况下，能够根据行列式的性质，将行列式方程转换为代数方程。例1.5在二阶差分方程当中，特征方程为：3102/2_曲/_的=O1-A具体能够求解出两个特征根为：4=g(优+J行+的)，4=g(+)(117)上述特征根的表达式在讨论二阶线性差分方程解的稳固性时，我们还要反复用到。距阵尸的特征根与阶差分方程表达式之间的联系能够由下述命题给出：命题1.1距阵F的特征根满足下述方程，此方程也称之阶线性
11、差分方程的特征方程:P-i-p-2prp=b证明：根据特征根的定义，可知特征根满足：（必一l03,p-1-AOO=OF-Ip=O1-O0001对上述行列式进行初等变化，将第列乘以(1/4)加到第P-I列，然后将第P-I列乘以(1/冗)加到第-2列，依次类推，能够将上述行列式方程变化为对角方程，并求出行列式值为：p-P-1p-2p-p=0这便是所求的阶线性差分方程的特征方程。END假如明白P阶线性差分方程的特征方程及其特征根,不仅能够分析差分方程的动态反应乘子，而且能够求解出差分方程解析解的动态形式。1.2.1具有相异特征根的阶线性差分方程的通解根据线性代数的有关定理，假如一个方阵具有相异特征根
12、，则存在非奇异矩阵T将其化为对角矩阵，且对角线元素便是特征根:F=TNT7,A=dMg(4,，4)(1.18)这时矩阵F的乘级或者者累方矩阵能够简单地表示为：F=(TT-,)=TT-1,AJ=dia乐田,4)(1.19)假设变量4.与评分别表示矩阵丁与TT的第i行、第/列元素，则能够将上述方程利用矩阵形式表示为：从中能够获得：61=(%*)+(%*)见+(的)%=Ga+G名+c此其中：Cj=Hj1,/=0,1,如此定义的序列具有下述约束条件(自行证明)：G+q+Cp=I(1.20)具有上述表达式以后，在差分方程的解：%/=Jz-I殆包2由训Jz-P小3)+力吗+17吗+1+力，吗+H+吗+).
13、中能够得到动态乘子为：yl.；Lj=-=f=c+c2i+%，/=0,1,(1.21)owt毕竟系数序列“取值如何，下述命题给出了它的具体表达式。命题1.2假如矩阵F的特征根是相异的，则系数Cj能够表示为：IP-I(L22)口(4-At)k=l.ki证明：由于假设矩阵F具有相异的特征根，因此对角化的非奇异矩阵能够由特征向量构造。令向量,为：ti=2f-l,f2,f.,lx,i=l,2,p其中4是矩阵尸的第i个特征根。通过运算能够得到：FL=4。由此可知fj是矩阵F的对应特征根4的特征向量，利用每个0做列就能够得到矩阵T。将矩阵TTT=/p的第一列表示出来：能够求解上述线性方程的解为：Z11=-(
14、-2)(i-3)(1-p)(2-1)(2-3)(2-p)(2p)(p-2)(p-2p.1)END注意到:=ln,i=l,2,p,带入上述表达式即可得到结论。例1.6求解二阶差分方程：H=O.6%马+0.2yl,2+wf解：该方程的特征方程为：A2-0.62-0.2=0特征根为：l.6+(0.6)2+4(0.2)=0.84,A2=.6-(0.6)2+4(0.2)=-0.24=0.222C1=-=0.778C2=(-A2)此方程的动态乘子为：yl+iLj=-=ci+C2Aj=0.788(0.84”+0.222(-0.24”，/=0,1,wl在上述乘子的作用过程中，绝对值教大的特征根决定了乘子的收敛
15、或者者发散过程。通常情形下，假如劣是绝对值最大的特征根，则有：(1.23)HmqL=Gj-8awl%则动态乘子的收敛或者者发散是以指数速度进行。当一些特征根出现复数的时候，差分方程解的性质出现了新的变化，扰动反应函数将出现一定的周期性质。为此，我们讨论二阶差分方程的情形。当行+4的VO时，特征方程具有共扼复根，能够表示为:=a+bi,2=a-bifa=J2,7=(l2)(-12-42),z2利用复数的三角函数或者者指数表示法，能够将其写作:4=Rcos8+isine=Rexp(i，),R=Ja2+b2,tan=b/a这时动态乘子能够表示为：yl.iLj=-=c1+c2i=(c1+c2)RJco
16、s(j)+(q-c2)RJsm(j)wf关于实系统的扰动分析，上述反应乘子应该是实数。由于q与C2也是共扼复数，因此有：5=a+i,c2=ct-i则有:yt+iLi=2RJcos(ej)-2J3RJsin(67)(1.24)wf假如R=I,即复数处于单位圆上，则上述动态乘子出现周期性变化，同时影响不可能消失；假如Rl,即复数处于单位圆外，则上述动态乘子按照周期方式进行扩散，其作用将逐步增强。例1.7求解二阶差分方程：M=O.5MT-0.8%_2+叱解：该方程的特征方程为：2-0.5/1+().8=0特征根为：4=1(0.5+7(0.5)2-4(0.8)=0.25+0.86/,A2=g1.5_J
17、(0.5)2_4(0.8)=0.250.86i上述共扼复数的模为：R=J(0.25)2+(0.86)2=09由于Rl,由此可知其动态乘子呈现收敛趋势。能够具体计算出其震荡的周期模式。cqs(6)=R=0.28,O=L29由此可知动态乘子的周期为：2.=4.9由此可知动态乘子的时间轨迹上，大于4.9个时间阶段便出现一次高峰。1.2.2 具有相异特征根的二阶线性差分方程的通解针对具体的二阶线性差分方程，能够讨论解的性质与参数外，。2之间的关系。a.当行+4弧0时，参数取值处于抛物线行=-402的下方。这时特征方程具有复特征根，且复数的模为：R2=a2+b2=(次/2)2一(行+4肢2)/4=-2因
18、此，当0-。21时是震荡发散的。b.当特征根为实数时，我们分析最大特征根与最小特征的性质。如今行+4020,且4=(0l+加+%)2=g(必-扬+%)4=C+12+2)当且仅当-1V441即：4=AM2+%2-求解可知，使得不等式41成立的参数解为：弘2,或者者，1-x同理，使得不等式4成立的参数解为：+x因此当特征方程具有相异实根的时候，稳固性要求参数落入抛物线上的三角形区域内。C.类似地能够说明，当特征方程具有相等实根的时候，即处于三角形内的抛物线上时,方程仍然具有稳固解，同时动态反应乘子也是收敛的。1.2.3 具有重复特征根的阶线性差分方程的通解在更为通常的情形下,矩阵尸可能具有重复的特
19、征根,即具有重根。如今能够利用Jordan标准型表示差分方程的解及其动态反应乘子。下面以二阶差分方程为例说明。假设二阶差分方程具有重根，则能够将矩阵厂表示为：计算矩阵乘积得到:川j0万因此动态反应乘子能够表示为：O=答=6/)=&/+后/川OWt1.3长期与现值的计算假如矩阵尸的所有特征根均落在单位圆内(即所有特征根的模小于1),当时间间隔，逐步增大时，矩阵乘积Fj将趋于零矩阵。假如外生变量吗与K的数据均是有界的，则能够利用叼的所有历史数据表示差分方程的一个解：H%吗T+叱-2+%-3+其中%=力？，即矩阵中的(1,1)位置元素。能够在矩阵表示下，计算吗的一个暂时性变化形成的对现值的影响。注意
20、到利用向量求导得到：UFjaV这样一-来，现值影响乘子能够表示为：上述矩阵级数收敛的条件是F所有特征根的模均小于7。如今，叫的一个暂时性变化形成的对外现值的影响是矩阵Up-0F尸的(Ll)元素，能够利用下述命题求出。命题：假如尸所有特征根的模均小于夕-L则有：(1)吗的一个暂时性变化形成的对H现值的影响乘子是：38.1瓯W二-y-22pp(2)VVz的一个暂时性变化形成的对力的持续影响乘子是：gd.+j_1j=oW11|2,)(3)发生在吗上的持续变化导致的累积影响乘子是：1.dyl+jdyl+j肛+J1wta吗+1dwt+j1-外-zp证明：我们首先证明：假如尸所有特征根的模均小于27,则矩
21、阵(-尸尸存在。假设如今逆矩阵不存在，则有(/,一夕尸)的行列式为零，即Ip-F=(-yF-Ip1=0上式说明夕7是尸的特征根，这与尸所有特征根的模均小于的假设矛盾，因此可知逆矩阵(p-0尸尸存在。下面我们求(/尸-夕尸尸当中(1,1)位置的元素。假设勺表示Up-夕尸尸当中(i)位置的元素，则有：-XU为2MJI-夕白-p-p100x2x22x2p-00=Ol-O.Xm2XPP_00-1001仅仅考虑上述矩阵的第一行，则有:-B2.-p-pLl再2xp.-P100=10000一01关于上述矩阵通过右乘初等矩阵进行初等变换，比如对最后一列乘以夕加到倒数第2列，然后倒数第2列乘以加到倒数第3歹U，依次类推，能够得到：XaB一拆俨%p)=从中能够求出X”，即能够证明命题中的三个等式。
