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1、附件6（说明：本参照案例主要提供结构和形式方面的参照）案例名称：错在哪里？“代入消元法”引发的解题风波专业学位类别：教育专业领域：学科教学（数学）适用课程：中学数学解题研究、数学教学设计与实施作者姓名：*工作单位：*错在哪里?“代入消元法”引发的解题风波摘要：“掌握数学意味着善于解题”，解题教学是高中数学教学的重要组成部分。解题离不开逻辑推理和数学运算，在发展学生核心素养的同时，加强教师的逻辑推理素养迫在眉睫。在2009年高考数学全国卷I理科22题的解题教学中，H老师被学生的疑惑”解题方法相同，但消b和消C的结果为何不同”挂在了黑板上。案例通过风波骤起、同伴助力、风波再起、现状调查、教研组研讨
2、五个环节，呈现了H老师面对课堂生成资源逐步解决问题的过程，描绘了高考数学压轴题解题教学对师生带来的挑战，也展现了教师专业成长的路径。关键词：解题教学、代入消元法、逻辑推理、本体性知识What,swrong一ProblemsolvingstormcausedbynSubstitutioneliminationmethodnAbstract:Masteringmathematicsmeansbeinggoodatsolvingproblems,andproblemsolvingteachingisanimportantpartofmathematicsteachinginseniorhighsch
3、ool.Problemsolvingisinseparablefromlogicalreasoningandmathematicaloperation.Whiledevelopingstudents*coreliteracy,itisurgenttostrengthenteacherslogicalreasoningliteracy.Intheproblem-solvingteachingof22questionsinScienceinnationalmathematicsvolumeIofthenationalcollegeentranceexaminationin2009,teacherh
4、washungontheblackboardbythestudentsdoubtthatutheproblem-solvingmethodsarethesame,butwhytheresultsofeliminatingBandCaredifferent.Throughthefivelinksofsuddenstorm,peerassistance,resurgenceofstorm,currentsituationinvestigationanddiscussionofteachingandresearchgroup,thecaseshowstheprocessofteacherhgradu
5、allysolvingproblemsinthefaceofclassroomgeneratedresources,describesthechallengesbroughtbytheproblem-solvingteachingofthefinalaxisofmathematicsinthecollegeentranceexaminationtoteachersandstudents,andalsoshowsthepathofteachersprofessionalgrowth.Keywords:Problem-solvingteaching；Substitutioneliminationm
6、ethod；Logicalreasoning；Ontologicalknowledge,作者简介：*,男，*人，*师范大学*学院教授，研究领域：课程与教学论，数学教育技术，教师教育。编制说明：按照调研学校及当事人的要求，作者对案例涉及名称、人员及相关数据等，做了必要的掩饰性处理。背景信息解题教学是高中数学教学的重要组成部分。波利亚曾说过：“掌握数学就意味着善于解题”“中学数学教学的首要任务就是加强解题训练”。然而，当下的高中数学解题教学在应试的背景下往往被异化为题海战术，教学中师生往往重视“数学运算”而忽视逻辑推理，学生解题时知其然不知其所以然的现象普遍存在，这对培养学生的理性思维和科学精神是
7、极其有害。特别地，在高考数学压轴题的教学中，由于题目难度非常大，一些教师常常是照着答案进行讲解，学生也是不明就里，仅停留在模仿这种最低的认知层次。更严重地是，对于不少的高考数学压轴题，相当多的高中数学教师自己也不会解答的现象普遍存在，从而也就更谈不上进行有效的解题教学了。解数学题离不开逻辑推理和数学运算，逻辑推理和数学运算是普通高中数学课程标准（2017年版2020年修订）（后文简称课标）中的两大核心素养。对于逻辑推理，课标希望：“通过高中数学课程的学习，学生能掌握逻辑推理的基本形式，学会有逻辑地思考问题；能够在比较复杂的情境中把握事物之间的关联，把握事物发展的脉络；形成重论据、有条理、合乎逻
8、辑的思维品质和理性精神”。关于什么是数学运算，课标指出：数学运算是指在明晰运算对象的基础上，依据运算法则解决数学问题的素养。数学运算主要包括：理解运算对象，掌握运算法则，探究运算思路，选择运算方法，设计运算程序，求得运算结果等。现实中，数学教师常说学生的运算能力差，其含义究竟是什么？这种现象是怎么造成的？推理是数学的命根子，运算是数学的童子功，那么数学运算和逻辑推理之间是怎样的关系？应该如何发展学生的数学运算素养和逻辑推理素养？求多元函数在一定条件下的最值是高中数学的一类重要问题，由于其涉及的知识点多、难度大，可以很好的区分学生的思维层次，因此该题型几乎是每年高考数学试卷中的压轴常客。其常用的
9、求解思路有二：一是先消元再求解；二是不消元直接求解（例如用基本不等式直接求出多元函数的最值）。就消元求解而言，通常是根据条件（等式或者不等式）进行代入消元，减少变量的个数，从而达到简化问题的目的。然而，学生面对多个元时常常会出现许多问题，如消去哪些元？如何消？消掉的元还有作用吗？其作用体现在哪里？剩下的元之间的关系是独立还是不独立？这诸多的问题往往令学生捋不清头绪，于是只能盲目地进行数学运算，甚至出错了也浑然不知。教师知识包括本体性知识、实践性知识和条件性知识三个部分。本案例中，导致教师在教学过程中反复出现尴尬局面，其根本原因是教师本体性知识的不足。本体性知识是指教师知识中的学科知识，它在教师
10、的专业发展中处于基础性地位。俗话说得好：要教给学生一碗水，需要教师有一桶水，甚至是长流水。因此教师必须具备厚实的本体性知识方可从容面对课堂中所产生的生成性问题。然而糟糕地是，面对高中数学知识范围广、深度大，难度高的特点，部分一线教师的本体性知识并没有达到高中数学教学对教师的要求，因此有效提升教师的本体性知识对教学而言是至关重要。M中学是云南省一所一级一等高级中学，创建于1905年，占地面积200余亩。M中学历史悠久，文化底蕴深厚，其教育教学的高质量和学生的全面发展得到了社会的广泛认可。本案例中的主人公H老师有五年教龄，今年是第二次教高三。在2009年高考数学全国卷I理科22题的解题教学中，H老
11、师被学生的疑惑”解题方法相同，消b和消C的结果为何不同”挂在了黑板上。本案例通过风波骤起一一发现出错了、同伴助力一一寻找错因、风波再起一一应该怎么解、现状调查一一令人担忧的结果、教研组研讨一一探索一般解法五个环节，呈现了H老师面对课堂生成性资源逐步解决问题的过程，描绘了高考数学压轴题解题教学对师生带来的挑战，以引起教师对本体性知识的重视，引发教师对专业成长的思考。正文L风波骤起用相同方法，消不同参数，结果竟不同?11月的一天，在M中学高三(3)班的数学课上，工作了五年的H老师正在进行解题教学。该班学生正在进行高考数学第一轮复习，函数与导数部分已复习完毕。H老师首先在屏幕上投影出题目，具体题目如
12、下：(2009年高考数学全国卷I理科第22题)已知函数/(%)=%3+3bx2+34有两个极值点X2f且%T0,X21/2O(I)求b,C满足的约束条件，并且在图1所示的坐标平面内，画出满足这些条件的点(瓦C)的区域；(II)证明：一10(%2)-图12009年高考数学全国卷I理科第22题图接下来H老师让学生独立思考，自行解答问题。解：(I)由题知,(x)=3x2+6bx+3co因为f(%)有两个极值点石,X2所以方程/(%)=0有两个实数根%,2=-b府(b2-c0),几乎所有学生都做到了这一步。接下来，一部分学生根据两根的范围-1,0,Ml,2,直接得出b、C满足的约束条件一任Z,然而由于
13、该无理不等式组比较复杂，很难化简得出点(b,c)所在的区域，只好不了了之。/(T)O另一部分学生运用数学形结合，把问题转化为即得b,c满足的约束、/(2)0rc2b1条件为IcJ09.1,故所求区域为图2中的阴影部分四边形48C。c-2b一1。4b4图2H老师在总结时强调了转化思想、函数与方程思想、数形结合思想，并提醒学生在解题时要注意思维的灵活性。():(在大家独立思考后，H老师请数学科代表分析解题思路。)科代表：由题知/(%2)=螃+3b熠+3c%2，问题等价于求f(%2)的值域。因为函数%2)是关于%2、b、C的三元函数，自变量比较多，所以要通过消元去减少自变量的个数。于是应该去寻找2、
14、匕、C间的等量关系，注意到不是/(%)的极值点，所以,(x2)=3后+6bx2+3C=0，接下来把条件等式3据+6bx2+3c=0代入到目标函数F(M)=以+3娓+3c%2中，从而达到消元的目的。H老师：那消谁呢？众学生：一些学生说消氏一些学生说消c,声音此起彼伏。H老师：为什么消仄消c,而不消不呢？学生1：条件等式3螃+6b%2+3c=0是关于b、C的一次式，可以很容易解出b或者c,再代入目标函数/()=球+3b/+3c%2即可得到二元函数；而条件等式3据+6bx2+3c=0是关于冷的二次式，解出来再代入比较麻烦。H老师：学生1分析得很透彻，消氏C要简单一些，接下来我们就消b吧！方法1(消参
15、数b)H老师：移项得b%2=-：若一c，把b%2代入函数/(%2)中化简得f(%2)=+ICX2,这是一个关于C和%2的二元函数，接下来怎么求外七)的值域呢？学生2：把/(小)看作是关于%2的三次函数(C看作参数)，则可以用求导的方法来判定/(必)的单调性，进而解决问题。由于/。2)=-|妊+*，由第(I)问可知一2C0,从而/(冷)%21/2,所以f(%2)=-6%26b%2=-6%2(%2+b)0,即f(%2)单调递减，所以-16-12b=f(2)/(x2)/(1)=-2-3b,由于一16-12b和一2-3b都关于b单调递减，因此将b的最大值0代人一16-12b得到f(2)的最小值-16；
16、将b的最小值-1代入-2-3力得到/(1)的最大值1,从而-16/(x2)Io(消C的结果确实与消b不同,H老师内心开始紧张)H老师：大家检查一遍黑板上我有没有哪里算错？（在学生检查的同时，H老师也认真检查了一遍，但并没有发现什么错误。H老师心里顿时惶恐万分：他课前备课时用消b的方法做了一遍，然后对了一下答案，发现与答案相同就没有多想了。H老师心里想：此时要是有位大神学生能解救一下就好了）众学生：经过检查，法1、法2都没错！H老师（假装淡定地问道）：数学科代表，你发现什么问题了吗？科代表：没发现。H老师感到很丢人，忐忑地说道：相同的方法得出不同的结果，我暂时给不了大家一个严谨的说法，等后面的课
17、上我再给大家进一步讲解，现在继续下一道题2追本溯源一一备课组同事上阵，群策群力找错因H老师硬着头皮把课堂上出现的问题向高三数学备课组的部分老师们进行了请教:H教师：参考答案是法1（消b）,但法2（消C）的思路和方法同法1是完全相同的，但结果却不同，真是很奇怪，请老师们看看是怎么回事？老师1：是啊，问题到底出在哪里呢？老师2：问题出在两个等号不能同时成立，这种错误在用不等式的性质时经常出错。其实人教A版必修五中线性规划部分的阅读与思考“错在哪儿”就讨论过这种错误（教师们翻开教科书必修五104页，如图3ICHAPTERA-9事等久以上.ti*T-it.Ht11tl.，“+2,S04hi*qHAfa
18、wt.fAan*r.5.*角)痴JlZR0匕岭:fHnTi4.WMXMX.，一”弊a,M0o1t*fA.用桑r二Jt-我才程罐S才/eHa/yHftfl.佬AM代八CS久于人注*1*e.得ot.woua.0.律-ly-Y+D.404KA4x2j.(?03b(z-)jL*e*3d,K9一一l*axt二ju.w24r2y-3(-y)IOl公彳第Z及率一样*?学习了心，依内&eat-3*t0.IZ*MffAKMT.不用廿k*大(d111.VX得最大像时.r升系网时MIfAK40OL-8*SHJLA于您*tT图3阅读与思考：错在哪儿老师2：“错在哪儿”中的第一种解法之所以产生了错误，可以从不等式的性质
19、、变量的独立性、线性规划三个角度去解释。从不等式的性质看：把两个不等式相加、相减得到新的不等式，这只是推出变形,不是等价变形，这极有可能扩大取值范围。而题目要求的是4x+2y的值域，这就要求解出的范围必须是一个数也不多一个数也不少。因此，用不等式的推出变形去求值域,从方法论上看本身就是不对的。事实上，由条件、推出04%+2y12的过程,尽管每一步推理都是正确的，但得出4%+2y的值域为0,12确实是扩大范围了。从变量的独立性看：条件、表明变量无、y并不独立。但由条件、推出f24?,、却表明小y是独立关系，也就是说从、推出、割裂(04y8了、y之间的关系，从而后续的推导出错就难以避免了。例如、表
20、明：当=2时,y可以取0,2内的任意数；然而、却表明：当X=2时，可得LV=化简得y=l,也就是说当=2时，y并非可以取0,2内的任意数，而是只能等于1。从线性规划的角度看就更直观了：要4x+2y取到最大值12,当且仅当=2且y=2,然而此时点(2,2)并不在可行域中，所以出错了。事实上，、所表示的可行域包含了、所表示的可行域。老师3：“错在哪儿”中的第二种解法，把+y和y都看成整体，这样，x+y和x-y是相互独立、互不影响的，也就是说，当x+y取1,3内的任意值时，x-y可以取-1,1内的任意值，二者之间互不影响。于是就可利用整体思想，利用待定系数法把目标函数4x+2y表示为（+y）和（%-
21、y）的线性组合，比如设4%+2y=m（%+y）+九（-y）,（n,n为待定系数），则4x+2y=（n+n）x+（m-n）y,于是二;得，解得；二;，从而就可以根据、，直接利用不等式的性质得出2=31-1W3（%+y）+（x-y）33+l=10,所以24%+2yIOoH老师：那2009年高考数学全国卷I理科第22题的两种解法中，消b对，消C错，这又是为什么呢？老师2：在法2（消C）中，因为/（2）（1）=-2-3儿要/（&）的最大值取到1，则需j2-二;此时由广（%2）=3据+6b%2+3c=0可推出c=1,与第（I）问求出的C的范围C一2,0矛盾。同理，因为一16-12b=/f（%2）,要/但
22、）的最小值取到T6,则需1二；，此时可推出C=一4,与第（I）问求出的C的范围c-2,0矛盾。综上，等号不能成立，所以只能得出一16/（冷）1，至于/（女）的准确范围只能再想其它办法去求了。老师3：在法1（消b）中，因为2）f（l）=-1+,c,要/（不）的最大值取到-i,则需?二;，此时由广（不）=3右+68%2+3。=0可推出b=一?此时点（一表0）即为第（I）问中可行域四边形ABCD的点D符合题意。同理，因为-4+3c=（2）f（%2）,要/（冷）的最小值取到一10,则需言二:，此时由f（%2）=3塔+6以2+3。=0可推出匕=一会此时点（一发一2）即为第（I）问中可行域四边形力BCD的
23、中的点B（-卷一2）,符合题意。老师3：也就是说，法2消C出错是因为等号不能同时成立（或者说刚好不在可行域内）；法1（消b）的结果之所以是正确的，是因为等号恰好同时成立（或者说刚好在可行域内）。换句话说，法1（消匕）的结果正确也只是一种偶然。3 .一波刚平一波又起一一怎样的解法才是一般解法?在第二天的数学课上，H老师进行了教学补救：H老师把备课组上讨论的要点和思想方法讲解了一遍，学生们基本上都明白了出错的原因所在。正当H老师准备讲授新内容时，学生2打断了H老师的讲话。学生2：老师，我听懂了，也就是说，无论是消b还是消c,最后都要检验等号是否能同时成立。那在考试中就有个运气问题：万一我是先消C最
24、后检验等号不能成立，然后再转了去消b就对了，但比起一来就消b的同学，工作量就加倍了。另外我还有一个问题：这类问题有没有不用试运气的统一解法呢？H老师：H老师突然灵光闪现类比线性规划问题通常在可行域的顶点处取得最值，于是得到法3。方法3(多边形的顶点法)：H老师：因为/(%2)=0,即好+2b%2+c=0，利用求根公式得到2=-力+后二7,代入目标函数z=/(%2)=以+3b蟾+352,理论上可以消去2得至IJZ关于b和C的二元函数z=g(b,c),然后把第(I)问中得到的可行域四边形ABCD的四个顶点分别代入目标函数Z=g(b,c),即可得出/(&)的值域。当然，直接把M=-匕+7b?-c,代
25、入目标函数z=fG)=虐+3b螃+3CX2消元，难度过大。可以逐步降次法消去打：因为/(&)=0,即慰=-2b%2-c，所以z=/(x2)=%2+3b%23Cx2=%2(-2bx2-C)+3bx孑+3cx2=bx1+2cx2=b(-2bx2c)+2cx2=-202c)x2be=2b33bc2(b2C)鼠即Z是b、C的二元函数Z=g(b,cy)=2b3-2(b2-c)5-3bco由(b,c)的可行域为图2中的四边形可求出四边形ABCO的四个顶点分别是人(一1,0)、8(-0.5,-2)、C(O,-1)、。(-0.5,0),因为最值在可行域的顶点处取得，把四个顶点的坐标分别代入目标函数z=g(b,
26、c),得Z的四个值分别是一4、一10、一2、一0.5、，所以一10/(x2)一0.5。H老师讲完法3后，没有学生再提出异议。H老师觉得自己找到了该类问题的一般解法，心里暗自得意起来。于是H老师比较兴奋地把这种一般解法告诉了数学教研组长L老师，L老师是数学组内德高望重的正高级教师。听完H老师的讲解后，L老师立马发现尽管方法3的答案是正确的，但其方法却是错误的，因为目标函数z=g(Rc)并不是一条直线。更让L老师担心的是：高三备课组居然有老师不会解该道高考题。为了解相关情况，L老师决定在教研组内实施一次调查。4 .调查教师对代入消元法求多元函数条件最值的认识为了解本校数学教师对用代入消元法求多元函
27、数条件最值问题的掌握现状，L老师对M中学的30名高中数学教师进行了现场调查，回收有效调查问卷30份。问卷改编自2009年高考数学全国卷I理科第22题。调查问卷如图4所示:调杳问卷已知函数f(x)=xj+3bx2+3cx有两个极值点A，Xj.且Xi(-l,0,x26121.则方程r(x)=3x2+66x+3c=0有两个不等实根，W所以点(瓦C)所在区域为图中阴影部分四边形48C0.在上述条件下，求/(4)的取值荒囹.解：由题知-xj+3bx1+3c*(x2)-3xj+6bx23c-0所以3c=3x-66xj*“把!(入，消C化筒得/(2)-2xj-3b2l*(xj)=-6Xj-6bx2=-6xj
28、(xj+b)0.故/Gz)弥调迪M-16-12b-/(2)/(x2)/(1)-2-3b.由于-16-12b关于b单调速因此将。的最大依。代入-16-12b,得到/(2)的最小(ft-16由于-2-3b关于b单调递减,因此将b的最小但-1代入-2-3b,fl(l)WU-16Axi)1.问，以上解答过程是否正确?如果有的.Wt在我几步？并说明原因.2)请4出求f(?)取值范圉的另一料方法.如果你济授徐届，要重点讲解什么地方？图4测试卷测试结果如下：第(1)问：有8名老师认为求解过程正确，22名老师认为求解过程有错误。认为有错的22名老师中，标出错误步骤为、的有16人，没有标出错误步骤的有6人；给出
29、了错误原因的有15人，错因有以下几种：等号取不到；超出了可行域的范围；有的还具体写到：八七)取最小值一16时，需g=2,b=0,此时算得C=-4,不满足可行域要求。第(2)问：只有15名老师给出了另外一种解法，他们解法的实质为方法1(消参数6)：因为/(x2)=-X2+cx2,接下来根据函数/(冷)的单调性以及C的取值范围-2,0，得出的结果为10/(%2)1。第(3)问：30名老师都进行了作答，他们认为要重点讲解的有：多元函数求最值、函数思想的运用、数形结合思想的运用、三次函数求极值问题等，其中有15名教师认为要重点讲解用代入消元法求多元函数条件最值时要注意变量取值范围的变化。5.教研组专题
30、研讨5.1 寻求一般解法通过问卷调查，L老师发现一些教师的数学功底不足，解难题的能力弱，甚至有一些教师对这类典型问题自己也不会解。针对这种糟糕的现象，L老师安排了一次教研组专题研讨活动，探讨“2009年全国卷I（理）22题”的一般解法。片段一（顶点法对吗？）:L老师：我问各位老师一个问题，二元函数的极值点一定是在可行域边界的顶点处取得吗？H老师：是的。在高中的线性规划问题中，可行域是一个多边形区域，线性目标函数的最值都是在边界上取得，而多边形的顶点也在边界上，所以线性目标函数的最值也是在可行域的顶点处取得。类似的，当目标函数是二元函数时，其最值也是在顶点处取得。老师5：是的，我还把这作为一个结
31、论教给学生，从而可以快速解答此类问题。老师6：不一定。L老师：类比是一种重要的数学思想方法，也是我们解决问题的方法源泉。但类比得到的结论并不一定是正确的。尽管我们在解答高中线性规划问题时通常都可以使用顶点法，但哪里的目标函数是二元线性函数。而这里的目标函数Z=2/一2（一3C*-3%不是二元线性函数，从空间几何的角度看，这是一个二维曲面，很显然它并不一定在边界处取得最值。例如对于正方形可行域广;；内的任意点，目标函数Z=Jl一2一*的最大值并不是在正方形可行域的边界处取得,而是在点（0,0）处取得最大值1。所以，在H老师的法3（顶点法）中，尽管得到的结论是正确的，但从方法上看是有问题的。片段2
32、：还有哪些一般解法？经过教研组老师们的充分讨论，老师们给出了以下三种一般解法：方法4（信息技术融入数学解题）：老师3：要求Z=/（x2）=球+3b%2+3c%2的取值范围，因为/（不）=0，即一+2bx2+c=0,解得-2=-（+Vb2-C,代入/（%2）得z=2-3bc-2（匕2-c）50即消去不后，Z是氏C的二元函数，其中b,C满足的可行域为平面四边形4BC0。利用数学软件mathematica可以很轻松地求出Z的最值，如图5,即当b二一全寸,Ic=OZ取最大值一：；即当(一一5时，Z取最小值一10。2Ic=-2O4rbWotramM*dwmhM10-DX：StW(F)M(B*InPMax
33、imize2b3-2(b2-c)3/2-3bcj-2b+c+1=0&cs0&2b+c+L0&4b+c+420,b,c2b-/Cf呻Minimize2b3-2(b2-c)3/2-3bc,M11-2b+c+l=0fific0Sa2b+c+l0fiS4b+c40,b,cM2=10,匕一，CT一2图5技术求解过程利用数学软件mathematica,还可以很轻松地绘出可行域及目标函数的图象，如图c2b-lcJ09,1所表示的可行域，下部的黄色曲面c-2b-1c4b4(有网格)是函数Z=2b3-2(-c)-3bc在可行域内的图象。-Oft图6可行域及目标函数的图象老师4：用技术的方法倒是快，也更容易看清问
34、题的本质，问题是教学和考试中学生用不了啊！L老师：信息技术与数学课程教学的融合，从教师教学研究的角度看，这无疑是大有睥益的；从教学的角度看，我们学校是云南省的顶级高中，在教学中，特别是对哪些拟走强基计划的学生，对一些重要知识和思想方法进行一些拓展也是必要的，这样可以帮助学生直观地看穿数学本质，进而提升数学解题能力，发展数学核心素养。方法5(一般解法：消仄消C都可以，只是别忘缩小范围)：老师2：法1(消b)和法2(消C)是不严谨的求解方法，但是当我们找到出错的真正原因后，就可以找到解这类问题的通法。第(II)问中，b和C之间不是相互独立的，它们除了要满足第(I)问的可行域四边形48CD外，/(%
35、2)=3切2+6b%2+3c=O也约束了2、匕、C之间的关系。当给定2的一个具体值时，方程3%2?+6b%2+3c=O就成了关于b、C的一条直线综上,满足条件的从C的可行域就是直线I与平面四边形4BC。的交集，当交集非空时，满足条件的从C的可行域就是一条线段(或者点)。也就是说，此时，可行域从四边形ABCD缩小为一条线段(或者点)，这是出错者没有注意到的地方。下面以法2(消C)给出一般解法：由(X2)=3x+6b%23c=O,得3c=-3x-6bx2。代入/(%2)=琥+3bxl+3cx2消C得f(%2)=-223b%2又bW-1,0、X21,2,所以,(x2)=-6%2-6bX2=-6%2(
36、%2+b)0，即/(&)单调递减,所以-16-12b=/(2)/(x2)/(1)=-2-3b,此时，-2-3b关于b单调递减，将b的最小值-1代入-2-38得到/的最大值为1,这种做法是错误的。因为/(%2)f(l),表明“刈)的最大值一定在%2=l时取得，又根据/(%2)=3据+6b%2+3c=0,把&=1可以得到3+6b+c=0,即直线八2b+c=-lo结合第(I)问中b、C的可行域为四边形所以，此时点(Ac)只能在线段CD上。而线段CO上点的横坐标b的最小值是-将b的最小值-？弋入-2-3b得-g,从而f(右)的最大值为一同理，当必=2时，可以得到直线八4bc=-4o结合第(I)问中b、
37、C的可行域为四边形4BCD,所以，此时点(b,c)只能在线段48上。由于-16-12b关于b单调递减，而线段AB上点的横坐标b的最大值是-(因此将b的最大值一夕弋入-16-12b得一10,从而/(小)的最小值为一10。综上一10/(%2)-L老师：这种解法注意到了代入消元求多元函数条件最值时变量取值范围发生的变化，确实是解决此类问题的通法。方法6(转化为独立变量打、小的二元函数)：老师3：当两个变量是相互独立的时候，那么它们之间的取值就互不干扰。而本题中隐藏着与、不是相互独立的，于是一种想法就是把目标函数转化为与、乃的函数，换就话说就是消去变量力和C。老师1：你怎么知道与、必是相互独立的？老师
38、3：题目说%1、%2只要分别满足WT,O-2WL2即可,也就是说，当取中的任意一个数时，不可以取1,2中的任意一个数，因此它们是独立的。由于%1、&是方程/(%)=3/+6力+3。=0的两个实数根，利用根与系数的关系产:2b,可解得P二一二广，接下来代入/(小),消b、C得/(%2)=嘘+(X1X2-CIC=X1X23(+3.12.2=-+12o这里修,不相互独立，于是可以把其中一个看作主元，另一个看作参数。不妨把不看作主元，与看作参数。令H(%)=-+J%2,其中Xj61,0,X1,2。因为(%)=-x2+3x1%=-x(x-2x1),所以H%)0恒成立,即Ha)是减函数，从而H(2)(%)
39、(l),即一4+6%(2)Ha)(l)=-+g%老师1：因为变量与，不相互独立，所以可以直接把石代入进行计算。老师3：对！因为-4+6/、一+,与都是关于与的增函数，所以-4+6-4+6(-l)=-10,-+x1-i0=,从而H(x)一10,一5，即f(x2)E-lL老师：方法6很有特色，但关键是要找准哪几个变量是独立变量，然后把多元函数的自变量全部转化为独立变量，这样就不会出错了。但分清变量的独立性还是有难度的，值得注意的是：本题很容易误认为b、C是独立变量。5.2 使用代入消元法求多元函数条件最值时的注意事项L老师：从上面的解法和讨论可以看出，在条件(不)等式约束的情况下求多元函数的最值问
40、题时，通常使用消元法减少目标函数中自变量的个数，在高中阶段，消元后目标函数通常变为二元函数，如Z=f(%,必)，X1,不6区域。(假设此时XlWO1，X2ED2)f此时可以把%1、2中的任意一个变量看作主元，另一个变量看作参数，这样问题就转化为一元函数求最值了。例如，不妨把%2是主元，看作参数，此时求二元函数Z=f（%i，%2）=9（%2）的最值，就转化为求一元函数Z=g（外）（/是参数）的最值了。但此时需要注意以下两点:1、若%1,%2之间是独立关系（即区域。是一个水平放置的正方形区域），则1,%2可以取各自范围内的任意一个值，此时9（%2），X202f%1Di的最值就是Z的最值；2、若/j
41、2之间不是独立关系时（即区域。不是一个水平放置的正方形区域），此时务必要注意%、2间的约束关系。例如，假设可求得在2=b时Z=f（%i，%2）f（%i,b）,此时一元函数/01，。），X1的最大值并不一定是Z=/01*2）的最值。事实上，这里已经增加了一个条件%2=从此时需要把%2=力代入到可行域中，从而就可以得到与进一步缩小的取值范围E了，在%1E的条件下再来求f（%,b）的最大值，这个最大值才是Z=/01，%2）的最大值。5.3 研讨总结L老师：下面请老师们结合上次调查以及这次研讨进行总结。H老师：说来惭愧，我在备课时，只是做了消参数b的情形，对了一下答案发现相同后就没有再多想一想了。通过
42、这次研讨，说明我以前就没有真正弄懂这道高考题的解法，也反映了我备课比较浅表化，数学功底不扎实。但今天我终于彻底弄懂了，感谢大家的无私帮助！在今后的教学中，我要更加重视逻辑推理，重视讲道理，要让学生彻底弄懂，否则学生就只能是依葫芦画瓢了，老师4：教学中我们要转变教育观念，以学生为中心，有效处理预设和生成的关系，对学生的生成性问题不能简单粗暴对待。事实上我们在教学生的过程中也会受到学生的启示，教师和学生共同成长，这正是教学相长的含义。老师5：尽信书不如不行，高考题的解答也有漏洞。我们要培养学生树立批判意识，当然，我们教师首先得富有批判意识。老师6：高中数学有很多难题、难点，教师需要夯实自己的数学功
43、底，也只有这样才能教好我们的学生。老师7：高等数学中有求多元函数最值、条件极值的通用方法，如偏导数法、拉格朗日乘数法等，作为优秀的高中数学教师，还是有必要掌握的。老师8：信息技术在数学研究、教学研究、数学解题中有着重要的作用。特别地,我们在命题时通常都会用信息技术去帮助发现和验证结论。L老师：三人行必有我师，个人的力量是有限的，我们需要团队互助、团队合作,一群人才能走得远！结语解题教学是高中数学教学的重要组成部分，解数学题离不开逻辑推理和数学运算,那么应该如何发展学生的逻辑推理能力和数学运算能力？高中数学之所以难学都是因为数学本身难学和学生笨吗？跟数学教师有关系吗？高中数学教师的本体性知识有哪些？如何促进教师的专业成长？教好数学，我们一直在路上！教学指导手册错在哪里？“代入消元法”引发的解题风波1 .教学目标教育硕士在自行解答高考题的基础上，通过对案例进行分析和研讨，感受高中数学解题教学的挑战性，体会(逻辑)推理是数学的命根子、(数学)运算是数学的童子功；掌握用代入消元法求多元函数条件最值的初等方法和高等方法；学习数学解题的基本理论和方法；并在案例的启发下提出自己对提升本体性知识的深入思考。1.1 适用课程本案例主要适用于中学数学解题研究中解题理论、解题能力的讲述；同时也适合数学教学设计与实施中数学问题解决、数学习题教
