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1、双曲线 的简单几何性质,思考：点M(x,y)与定点F(c,0)的距离和它到定直线 的距离比是常数(ca0)，求点M的轨迹.,解：,设点M(x,y)到l的距离为d，则,即,化简得,(c2a2)x2 a2y2=a2(c2 a2),设c2a2=b2，,(a0,b0),故点M的轨迹为实轴、虚轴长分别为2a、2b的双曲线.,b2x2a2y2=a2b2,即,就可化为:,点M的轨迹也包括双曲线的左支.,双曲线的第二定义,平面内，若定点F不在定直线l上，则到定点F的距离与到定直线l的距离比为常数e(e1)的点的轨迹是双曲线。,定点F是双曲线的焦点，定直线叫做双曲线的准线，常数e是双曲线的离心率.,对于双曲线,
2、是相应于右焦点F(c,0)的右准线,类似于椭圆,是相应于左焦点F(-c,0)的左准线,点M到左焦点与左准线的距离之比也满足第二定义.,想一想：中心在原点，焦点在y轴上的双曲线的准线方程是怎样的？,相应于上焦点F(0,c)的是上准线,相应于下焦点F(0,-c)的是下准线,基础练习,1.双曲线的中心在原点,离心率为4,一条准线方 程是,求双曲线的方程.,2.双曲线4y2-x2=16的准线方程是；两准线间 的距离是;焦点到相应准线的距离是.,3.双曲线的渐近线方程为 一条准线方程 是,则双曲线的方程是.A.B.C.D.,D,4.双曲线 上的一点P到它的右焦点的 距离为8,那么P到它的左准线的距离.,
3、例1、,证明：,P,说明：|PF1|,|PF2|称为双曲线的焦半径.,y,.,.,F2,F1,O,.,x,|,练习1:以已知双曲线的虚轴为实轴,实轴为虚轴的双曲线叫原双曲线的共轭双曲线,求证:(1)双曲线和它的共轭双曲线有共同的渐近线;(2)双曲线和它的共轭双曲线的四个焦点在同一个圆上.,Y,X,A1,A2,B1,B2,F1,F2,o,F2,F1,证明:(1)设已知双曲线的方程是:,则它的共轭双曲线方程是:,渐近线为：,渐近线为:,可化为：,故双曲线和它的共轭双曲线有共同的渐近线,(2)设已知双曲线的焦点为F(c,0),F(-c,0),它的共轭双曲线的焦点为F1(0,c),F2(0,-c),c=c,所以四个焦点F1,F2,F3,F4在同一个圆,问:有相同渐近线的双曲线方程一定是共轭双曲线吗？,由已知：,解：,a=4,b=3,c=5,双曲线的右准线为l:,作MNl,AA1l,垂足分别是N,A1,N,A1,当且仅当M是 AA1与双曲线的交点时取等号,令y=2,解得:,
