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1、普通高中课程标准实验教科书数学必修5 第二章 数列等差数列前n项和一、教学设计1教学目标分析数列是刻画离散现象的一类特殊的函数，是反映自然规律的基本数学模型.新课标要求是：通过本章的学习，使学生能通过对日常生活中大量实际问题的分析，建立等差数列和等比数列这两种数列模型，探索并掌握它们的一些基本数量关系，感受这两种数列模型的广泛应用，并利用它们解决一些实际问题.而新一轮课程改革普通高中课程标准同时也强调：学生的数学学习活动不应只限于接受、记忆、模仿和训练，还应倡导自主探究、动手实验、合作交流等学习数学的方式，使学生的学习过程成为在老师的引导下的“再创造”过程.教师在教学中是组织者，引导者，要把人
2、类已发现的这些“现成数学”，经过教学法的加工，变成学生在教师的指导下亲自“发现”的结论，也就是学生自己“做出来的数学”，为渗透新课标理念，结合本节课为数列求和的起始课，现确定教学目标如下：（1）知识技能目标理解用倒序相加法推导等差数列前n项和公式的数学本质，掌握公式的特点，并在此基础上能初步应用公式解决一些实际问题.（2）过程与方法目标在推导公式和应用公式的过程中渗透数学思想方法，优化学生的思维品质。如通过对等差数列前n项和公式的推导过程,渗透倒序相加求和的数学方法；通过公式的运用体会方程的思想；通过运用公式的过程，提高学生类比化归的能力.（3）情感态度与价值目标通过学生自主探究，动态生成，结
3、合具体模型,将教材知识和实际生活联系起来,使学生感受数学的实用性，有效激发学习兴趣.2教学内容解析本课内容为人教普通高中课程标准实验教科书A版数学必修5第42页，等差数列的前n项和（第一课时）. 主要内容是等差数列前n项和的推导过程和简单的应用.本节对“等差数列前n项和”的推导，是在学生学习了等差数列的定义、通项公式的基础上，进一步研究等差数列，其学习平台是学生已掌握了等差数列的性质及高斯求和法的相关知识。知识的学习有一个连续性，前面的知识往往对后面的知识的学习有引导作用.对本节课的研究，为以后学习数列的求和提供了一种重要的思想方法倒序相加法，并对后续内容等比数列求和公式的推导提供了类比依据，
4、具有承上启下的重要作用.结合我班学生学情，我制定了本节课的教学重、难点如下：（1）重点：等差数列前n项和公式的推导和应用.（2）难点：等差数列前n项和公式推导过程中渗透倒序相加的思想方法.3教学问题诊断根据教学经验及学生反馈的信息，高二学生的抽象逻辑推理能力基本形成，抽象辩证能力开始产生，能在教师的引导下独立地解决问题，但在创造性思维能力上，还是有所欠缺，处理抽象问题能力上还有待进一步提高.这就意味着如何自然地给出倒序相加求和法，是本课设计环节中的一个重点内容.4教学对策分析本课在设计上我采用的是“探究发现”的教学模式，由特殊到一般、从具体到抽象的教学策略，利用数形结合、类比归纳的思想，层层深
5、入，通过学生在思考中探索，从而进行分析、整理出推导公式的不同思路，同时，借助多媒体的直观演示，帮助学生理解，将“静态”数学转化为“动态”数学，让学生留下来的是“凑”“拼”“倒序”“化不等为相等”的思维方法，达到理解深刻.在实际教学过程设计上，我首先让学生回顾高斯求和法，学生容易进行类比，将首末两项进行配对，接着给出一个首末两项不能配对的数列求和，学生很快碰倒了问题，自然会想到用“割数” 、“补数”的方法进行求解，为实现这一创造过程的自然，引导学生继续结合图形分析，从“补数”过渡到“补形”出现“倒置”的思想，引导学生实现从一个数列的“配对”的方法发展到两个数列的“配对”，“化不等为相等”来进行处
6、理，接下来的分析和应用也就水到渠成了.5教学基本流程结合教材知识内容和教学目标，本课的教学基本流程及时间分配如下： 公式的认识与理解（5分钟）探究等差数列前n项和公式（18分钟）创设情景提出问题（2分钟） 图片欣赏 数形结合新课引入 类比化归 公式应用归纳总结（3分钟）（2分钟） 课后探究（2分钟）公式应用与议练活动（12分钟） 提出问题 知识回顾6教学过程设计教学环节教 师 活 动 学 生 活 动活 动说 明新课引入创设情境：首先让学生欣赏一幅美丽的图片泰姬陵.泰姬陵是印度著名的旅游景点，传说中陵寝中有一个三角形的图案嵌有大小相同的宝石，共有100层，同时提出第一个问题：你能计算出这个图案一
7、共花了多少颗宝石吗？也即计算1+2+3+.+100=？现实模型： 图片欣赏模 型直 观用图片引入新课.探 索 公 式探 索 公 式认识公式认识公式议练活动议练活动课 堂总结与课后探究首先认识一位伟大的数学家高斯，然后提出问题：高斯是如何快速计算1+2+3+4+.+100？问题1老师：图案中，第1层到第21层一共有多少颗宝石？即计算1+2+3+.+21=? 老师：除了“补数” 之外有无其他的方法？ 问题2老师：如何求1到n的正整数之和.1+2+3+n=？（提出倒序相加的思想）问题3：能用类似的的思想求等差数列前n项和吗？（给出数列前n项和的定义）思路一：老师追问：为什么有+=+?两式相加得：思路
8、二： Sn=a1+a2+a3+an =a1+(a1+d)+(a1+2d)+a1+(n-1)d =na1+ 1+2+3+ (n-1)d=na1+ 老师追问：能由公式1直接得到吗？问题4：以前所学内容中有类似的“割”“补”“倒置”的研究方法吗？ 教师提示将求和公式与梯形建立联系. n剖析公式：教师提示，从方程中量的关系入手.例1：计算（1）1+3+5+(2n-1)（2）2+4+6+2n （3）1-2+3-4+5-6+(2n-1)-2n 例2、等差数列-10，-6，-2，2， 前多少项的和为54？ 解：设题中的等差数列是，前n项为Sn：则10，d6（10）4 令Sn54，由等差数列前n项和公式，得：
9、 解得 9，3（舍去）因此,等差数列的前9项和是 54 教师：这个等差数列的前n项和为多少？例3、 2000年11月14日教育部下发了关于在中小学实施“校校通”工程的通知。某市据此提出了实施“校校通”工程的总目标：从2001年起用10年的时间，在全市中小学建成不同标准的校园网。据测算，2001年该市用于“校校通”工程的经费为500万元。为了保证工程的顺利实施，计划每年投入的资金都比上一年增加50万元。那么从2001年起的未来10年内，该市在“校校通”工程中的总投入是多少？解：根据题意，从20012010年，该市每年投入“校校通”工程的经费都比上一年增加50万元。所以，可以建立一个等差数列an,
10、表示从2001年起各年投入的资金，其中那么，到2010年(n=10),投入的资金总额为答：从20012010年，该市在“校校通”工程中的总投入是7250万元.1、内容回顾教师引导学生归纳总结本节课所学习的主要内容2、课后作业：教材118页：1、2、3、5、6、73、课后探究：可否用函数的眼光看等差数列求和的公式？4、对求和史的了解 我国数列求和的概念起源很早，在北朝时，张丘建始创等差数列求和解法。他在张丘建算经中给出等差数列求和问题：例如：今有女子不善织布，每天所织的布以同数递减，初日织五尺，末一日织一尺，共织三十日，问共织几何？原书的解法是：“并初、末日织布数，半之再乘以织日数，即得。”学生
11、：1+100=101，2+99=101，.50+51=101，所以原式=50（1+101）=5050(设计意图：让学生初步体会算法的优点是化加法为乘法)学生1：1+21=22，2+20=22，.10+12=22，所以原式=10（1+21）+11=231(割数) 学生2： 0+21=21，1+20=21，.10+11=21，所以原式=11（0+21）=231（补数）学生3：将图形补成一个平行四边形学生观察动画演示，不难发现用倒置的思想来解决此问题.（设计意图：进一步体会将加法变成乘法，化不等为相等） （由上一问题的解决，学生容易想到倒置的思想来求和）学生：将这n个数倒过来配凑，再相加！1+ 2
12、+ 3 +nn+(n-1)+(n-2)+1（倒序相加的数学本质是化不等为相等）学生1：倒序相加，实现配凑学生1：+= (+d)+(-d)将中的每一项用等差数列的通项公式进行巧妙的改写，在倒序相加求和时，每一组中的d都被正负抵消了.（提出用倒序相加法的缘由是：化不等为相等）学生2：将中的每一项用等差数列的通项公式进行改写，再运用前面倒序方法求出1+2+3+4+.+（n-1）=n(n-1)（其实求和也可以直接将每一项都用通项公式表示，再提出d,则就变成了自然数求和了，）学生类比方法一与方法二的联系与区别.学生3：公式1换掉 整理得到公式2.学生：将求和公式与梯形面积公式建立联系，而梯形面积公式的推
13、导也正是利用了倒置的思想.学生：同样将公式2与梯形面积公式建立联系.用“割”的思想将梯形分做一个平行四边形和一个三角形，而梯形面积就是这两部分面积之和.学生讨论：公式中一共含有五个量，根据三个公式之间的联系，由方程的思想，知三可求二. （灵活运用公式，借此回顾倒序相加的方法）学生讨论分析题目所含的已知量，选取了公式2进行运算，利用了方程的思想。需要注意的是学生可能会把公差认为是-4，以及解得n的值后未把n=-3舍去学生：工程总投入实际就是求一个等差数列的前10项和.（提高学生建立数列模型的能力）本环节由学生自主归纳、总结本节课所学习的主要内容，教师加以补充说明（1）回顾从特殊到一般，一般到特殊
14、的研究方法.（2）体会等差数列的基本元表示方法，倒序相加的算法，及数形结合的数学思想.（3）掌握等差数列的两个求和公式及简单应用. 了解我国古代研究等差数列求和的情况.高斯求和众所周知，学生能快速解答. 这是求奇数个项和的问题，不能简单模仿偶数个项求和的办法，需要割数和补数来实现配对.倒序相加求和法是重要的数学思想，为以后数列求和的学习做好了铺垫.在等差数列前n项和公式的推导过程中，通过问题获得知识，让学生经历“发现问题提出问题解决问题”的过程利用类比的思想，联想梯形的面积公式，使学生对两个公式有直观的认识，体会数学的图形语言.促进学生新的认知结构的形成例2在解决了例1的基础上，由浅入深，深化
15、了对公式的理解，体现了方程的思想，更为下一课时前n项和是实质是特殊二次函数设下伏笔.例3通过对实际问题的解决让学生认识到数学来源于生活，同时又服务于生活.布置探究题为下一课时作好准备.通过对等差数列求和历史的了解，渗透数学史和数学文化.板书设计：2.3等差数列前n项和 和和一、等差数列前n项和二、公式的推导方法1：方法2：三、剖析公式：公式1：公式2： (主板书) 四、例题及解答(副板书)议练活动 (辅助性板书)二、教学反思根据教学经历和学生的反馈信息，对本课有如下五点反思：（1）根据实际教学情况，学生比较容易掌握本课知识。在教学过程中，我重点突出了学生活动，设计了四个活动环节：(1)公式的探究活动；(2)公式的认识(3)公式的应用(4)学生课后的拓展学习.（2）本课特别强调了几何直观，从公式的推导过程到公式形式的认识，都体现了数与形之间的联系.（3）由于高斯求和法众所周知，于是我补充了我国古代研究数列求和的情况，但由于时间关系不能展开讲解，所以如何在课后引导学生进行了解是一个值得研究的问题.（4）数学语言是数学思维的载体，本课中学生反映出来的数学语言上的抽象性，逻辑性的薄弱，不同形态下的数学语言之间的转换，也应是今后数学数学学习的目标.（5）目标达成 本课注重在课堂教学活动中实现目标. 例题讲解 知识与技能目标 深化理解 活动参与 过程与方法目标 公式探究 情感与价值目标
