小学数学解题技巧大全.doc

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1、【小学数学解题思路大全】式题的巧解妙算 （一）1.特殊数题(1)2112当被减数和减数个位和十位上的数字(零除外)交叉相等时，其差为被减数与减数十位数字的差乘以9。因为这样的两位数减法，最低起点是2112，差为9，即(21)9。减数增加1，其差也就相应地增加了一个9，故3113(31)918。减数从1289，都可类推。被减数和减数同时扩大(或缩小)十倍、百倍、千倍，常数9也相应地扩大(或缩小)相同的倍数，其差不变。如210120(21)9090，0.650.56(65)0.090.09。(2)3151个位数字都是1，十位数字的和小于10的两位数相乘，其积的前两位是十位数字的积，后两位是十位数字

2、的和同1连在一起的数。 若十位数字的和满10，进1。如 证明：(10a1)(10b1)100ab10a10b1100ab10(ab)1(3)2686 4262 个位数字相同，十位数字和是10的两位数相乘，十位数字的积与个位数字的和为积的前两位数，后两位是个位数的积。若个位数的积是一位数，前面补0。证明：(10ac)(10bc)100ab10c(ab)cc100(abc)cc (ab10)。(4)1719十几乘以十几，任意一乘数与另一乘数的个位数之和乘以10，加个位数的积。原式(179)1079323证明：(10a)(10b)10010a10bab(10a)b10ab。(5)6369十位数字相同

3、，个位数字不同的两位数相乘，用一个乘数与另个乘数的个位数之和乘以十位数字，再乘以10，加个位数的积。原式(639)610397260274347。证明：(10ac)(10ad)100aa10ac10adcd10a(10ac)dcd。(6)8387十位数字相同，个位数字的和为10，用十位数字加1的和乘以十位数字的积为前两位数，后两位是个位数的积。如 证明：(10ac)(10ad)=100aa10a(cd)cd100a(a1)cd(cd10)。 (7)3822十位数字的差是1，个位数字的和是10且乘数的个位数字与十位数字相同的两位数相乘，积为被乘数的十位数与个位数的平方差。原式(308)(308)

4、30282836。(8)8837被乘数首尾相同，乘数首尾的和是10的两位数相乘，乘数十位数字与1的和乘以被乘数的相同数字，是积的前两位数，后两位是个位数的积。 (9)3615乘数是15的两位数相乘。被乘数是偶数时，积为被乘数与其一半的和乘以10；是奇数时，积为被乘数加上它本身减去1后的一半，和的后面添个5。 5410540。5515 (10)125101三位数乘以101，积为被乘数与它的百位数字的和，接写它的后两位数。1251126。原式12625。再如348101，因为3483351，原式35148。(11)8449一个数乘以49，把这个数乘以100，除以2，再减去这个数。原式8400284

5、4200844116。(12)8599两位数乘以9、99、999、。在被乘数的后面添上和乘数中9的个数一样多的0、再减去被乘数。原式8500858415 不难看出这类题的积：最高位上的两位数(或一位数)，是被乘数与1的差；最低位上的两位数，是100与被乘数的差；中间数字是9，其个数是乘数中9的个数与2的差。证明：设任意两位数的个位数字为b、十位数字为a(a0)，则 如果被乘数的个位数是1，例如31999在999前面添30为30999，再减去30，结果为30969。71999970999970709929。这是因为任何一个末位为1的两位自然数都可表示为(10a1)的形式，由9组成的自然数可表示为

6、(10n1)的形式，其积为(10a1)(10n1)10n1a(10n1)10a。(13)119这是一道颇为繁复的计算题。原式0.052631578947368421。根据“如果被除数不变，除数扩大(或缩小)若干倍，商反而缩小(或扩大)相同倍”和“商不变”性质，可很方便算出结果。原式转化为0.11.9，把1.9看作2，计算程序：(1)先用0.120.05。(2)把商向右移动一位，写到被除数里，继续除 如此除到循环为止。 仔细分析这个算式：加号前面的0.05是0.12的商，后面的0.050.11.9中0.050.10.005，就是把商向右移动一位写到被除数里，除以1.9。这样我们又可把除数看作2继

7、续除，依此类推。除数末位是9，都可用此法计算。例如129，用0.13计算。1399，用0.140计算。2.估算数学素养与能力(含估算能力)的强弱，直接影响到人们的生活节奏和工作、学习、科研效率。已经引起世界有关专家、学者的重视，是个亟待研究的课题。美国数学督导委员会，提出的12种面向全体学生的基本数学能力中，第6种能力即估算：“学生应会通过心算或使用各种估算技巧快速进行近似计算。当解题或购物中需要计算时，估算可以用于考查合理性。检验预测或作出决定”(1)最高位估算只计算式中几个运算数字的最高位的结果，估算整个算式的值大概在什么范围。例1 113750443169最高位之和1533，结果在300

8、0左右。 如果因为忽视小数点而算成560，依据“一个不等于零的数乘以真分数，积必小于被乘数”估算，错误立即暴露。例3 51.91.51整体思考。因为 51.950，而501.51501.575，又51.950，1.511.5，所以51.91.5175。另外919，所以原式结果大致是75多一点，三位小数的末位数字是9。例4 327979把3279和79，看作3200和80。准确商接近40，若相差较大，则是错的。(2)最低位估算例如，6403232157832813，原式和的末位必是3。(3)规律估算和大于每一个加数；两个真分数(或纯小数)的和小于2；一个真分数与一个带分数(或一个纯小数与一个带小

9、数)的和大于这个带分数(或带小数)，且小于这个带分数(或带小数)的整数部分与2的和； 两个带分数(或带小数)的和总是大于两个带分数(或带小数)整数部分的和，且小于这两个整数部分的和加上2； 奇数奇数偶数，偶数偶数偶数，奇数偶数奇数；差总是小于被减数；整数与带分数(或带小数)的差小于整数与带分数(或带小数)的整数部分的差；带分数(或带小数)，与整数的差大于带分数(或带小数)的整数部分与整数的差。 带分数(或带小数)与真分数(或纯小数)的差小于这个带分数(或带小数)，且大于带分数(或带小数)减去1的差； 带分数与带分数(或带小数与带小数)的差小于被减数与减数的整数部分的差，且大于这个差减去1； 如

10、果两个因数都小于1，则积小于任意一个因数；若两个因数都大于1，则积大于任意一个因数；带分数与带分数(或带小数与带小数)的积大于两个因数的整数部分的积，且小于这两个整数部分分别加1后相乘的积； 例如， AABB。奇数偶数偶数，偶数偶数偶数；若除数1，则商被除数；若除数1，则商被除数；若被除数除数，则商1；若被除数除数，则商1。(4)位数估算整数减去小数，差的小数位数等于减数的小数位数；例如，3200.68，差为两位小数。最高位的乘积满十的两个整数相乘的积的位数，等于这两个数的位数和；例如，4517103最高位的积4728，满10，结果是347(位数)。在整除的情况下，被除数的前几位不够除，商的位

11、数等于被除数的位数减去除数的位数；例如，1473422714不够27除，商是422(位数)。被除数的前几位够除，商的位数等于被除数的位数与除数位数的差加上1。例如，30226238302够238除，商是5313(位数)。(5)取整估算把接近整数或整十、整百、的数，看作整数，或整十、整百的数估算。如1.980.9721，和定小于3。128.51010，积接近100。3.并项式应用交换律、结合律，把能凑整的数先并起来或去括号。例1 3.3412.966.6612.96(3.346.66) 12.961022.96330例3 15.74(8.523.74)15.743.748.52128.523.4

12、8例4 1600(4007)1600400747 284.提取式根据乘法分配律，可逆联想。 (3.256.75)0.4100.44 5.合乘式 87.5101875 871 6.扩 缩 式例1 1.6160.436 0.4(6436)0.410040例2 1645 7.分 解 式例如，1472427614324427642(2476)4210042008.约 分 式 37242例2 169472813 =1988例7 1988 1988198819881989198919891989被除数与除数，分别除 9.拆 分 式 10.拆 积 式例如，321.2525 81.25(425)1010010

13、0011.换 和 式例1 0.12578(0.1250.0007)810.00561.0056 例4 8.375.68(8.370.32)(5.680.32)8.6962.69 12.换 差 式 13.换 乘 式例1 123234345456567678(123678)380132403例2(6.726.726.726.72)256.72(425)672例3 45000812545000(8125)45000100045例4 9.7283.2259.728(0.8425)9.728800.972880.1216例5 3333333333111119999911111(1000001)11111

14、00000111111111088889综合应用，例如 100071007 (11.751.254.150.85)125.25(转)(11.751.25)(4.150.85)125.25(合)8125.258(1250.25)(拆)812580.25100214.换 除 式例如，5600(257)5600725800253215.直 接 除 17.以乘代加例1 7452369327 如果两个分数的分子相同，且等于分母之和(或差)，那么这两个分数的和(或差)等于它们的积。 18.以乘代减 知，两个分数的分子都是1，分母是连续自然数，其差等于其积。 可见，各分数的分子都是1。第一个减数的分母等于被

15、减数的分母加1。第二个减数的分母等于被减数的分母与第一个减数的分母的积加1，第n个减数的分母等于被减数的分母与第一、二、第n-1个减数的分母的连乘积加上1。(n为不小于2的自然数)其差等于其积 19.以加代乘 一个整数与一个整数部分和分子都是1，分母比整数(另个乘数)小1 20.以除代乘例如，25123678448123678448(1004)123678448004309196120021.以减代除 19866621324351015 (35101170)1023422.以乘代除例如，2.7462427 23.以除代除 观察其特点， 24.并数凑整例如，372499372500187156.

16、712.856.7130.243.925.拆数凑整例如，47630247630027789.423.19.4230.16.3226.加分数凑整应用“被减数、减数同时增加或减少相同的数，其差不变”的性质，使原来减去一个带分数或带小数，变成减去整数。 例3 8.37-5.68=(8.37+0.32)-(5.68+0.32)=8.69-6=2.6930.凑公因数例如，199227.5198272.5199227.5(1992-10)72.5199227.5199272.5-1072.51992(27.572.5)-725=199200-725=198475或原式=(198210)27.5198272

17、.531.和差积法 32.直接写得数 观察整数和分数部分，显然原式=3。 33.变数为式 34.分解再组合例如，(12399)(4812396)(12399)4(1+2+399)5(12+399)35.先分解再通分 有的学生通分时用短除法，找了许多数试除都不行，而断定57和76为互质数。 判断两个数是否互质，不必用2、3、5、逐个试除。把其中一个分解质因数，看另一个数能否被这里的某个质因数整除即可。57319，如果57和76有公有的质因数，只可能是3或19。用3、19试除，57，761934228。 26213，65和91是13的倍数。最小公分母为13257910。37.巧用分解质因数教材中讲

18、分解质因数，主要是为了求几个数的最大公约数和最小公倍数，给通分和约分打基础。其实，分解质因数在解题中很有用处。提供新解法，启迪创造思维。例1 18475原式2246355=463(25)2=138100=13800。38.“1、1”法一个整数减去一个带分数，可用这个整数减去比减数的整数部分多1的数，再从1中减去分数部分。为便于记忆，称“1、1”法。39.“1，9，910”法一个整数减去一个小数(末位不为0)，可先减去比小数高位多1的数，再从9中减去其它位数，最后从10中减去末位数。 40.改变运算顺序例1 6507465(65065)741074740例2 1769849176(9849)17

19、62352例3 713524 例4 102990.1259981029919999(l00)9900999999 41.用 数 据熟记一些特殊数据，可使计算简捷、迅速。例1 由373111知 376111222237153735555 例3 1000以内(不包括整十、整百)只含因数2或5的2、4、8、16、32、64、128、256、512；5、25、125、625。这些数作分母的分数才能化成有限小数，不需试除。例4 特殊分数化小数分母是5、20、25、50的最简分数，在化为小数时，把分子相应地扩大2、5、4、2倍，再缩小10、100倍。 分母是8的最简分数，分子是1、3，小数的第一位也是1、

20、3。 分母是9的最简分数，循环节的数字和分子的数字相同。 例5 1913.143.14 63.1418.8423.146.28 73.1421.9833.149.42 83.1425.1243.1412.56 93.1428.2653.1415.7熟记这些数值，可口算。 3.1413=10+3=40.823.1489=90-=282.6-3.14=279.461.58变为整数，三位数前面补0改为四位数， 这样不会把数位搞错，将结果左端的0去掉，点上小数点得4.9612。也可从高位算起。42.想特殊性 仔细审题，知第二个括号里的结果为0，此题得0。 所以可直接得0。例3(1.9-1.90.9)(

21、3.82.8)除数为1，则商就是被除数。43.想 变 式 44.用 规 律例1 682702两个连续奇(偶)数的平方和，等于这两个数之积的2倍加4的和。原式687024952049524。例2 5225125251103两个连续自然数的平方差，等于这两个数的和。例3 181920任意三个连续自然数，最小数与中间数的乘积加上最大数的和，等于最大数与中间数的乘积减去最小数。原式201918362。例4 16171518四个连续自然数，中间两个的积比首尾两个的积多2。原式2。证明：设任意四个连续自然数分别为a1、a、a1、a2，则a(a1)(a1)(a2)a2+a-a2-a22。例5 一个从第一位开

22、始有规律循环的多位数(包括整数部分是0的纯循环小数)，乘以一个与其循环节位数相同的数，其规律适用于一些题的简算。ABABCD(AB100AB)CDAB100CDABCD(CD100CD)ABCDCDAB如：12551616781255787816(1258)(52)787878780000 45.基础题法在基础题上深化。例如， 观察(1)的解题过程， 逆用各步的结构特点， 46.巧 归 纳例如，121009911100的和为5050，再加一倍为10100，减去多加的100为10000。但速度太慢。有相同的行数和列数，用点或圈列成正方形的数，叫作正方形数。 由图知1232+132，1234+54

23、+32152。不难发现，和为最大加数的平方。显然，562930296530242-4900164880。【小学数学解题思路大全】巧想妙算文字题（一）1.想 数 码例如，1989年“从小爱数学”邀请赛试题6：两个四位数相加，第一个四位数的每一个数码都不小于5，第二个四位数仅仅是第一个四位数的数码调换了位置。某同学的答数是16246。试问该同学的答数正确吗？(如果正确，请你写出这个四位数；如果不正确，请说明理由)。思路一：易知两个四位数的四个数码之和相等，奇数奇数偶数，偶数偶数偶数，这两个四位数相加的和必为偶数。相应位数两数码之和，个、十、百、千位分别是17、13、11、15。所以该同学的加法做错

24、了。正确答案是 思路二：每个数码都不小于5，百位上两数码之和的11只有一种拆法56，另一个5只可能与8组成13，6只可能与9组成15。这样个位上的两个数码，8916是不可能的。不要把“数码调换了位置”误解为“数码顺序颠倒了位置。”2.尾数法例1 比较 12221222和 12211223的大小。由两式的尾数224，133，且43。知 1222122212211223例2 二数和是382，甲数的末位数是8，若将8去掉，两数相同。求这两个数。由题意知两数的尾数和是12，乙数的末位和甲数的十位数字都是4。由两数十位数字之和是817，知乙数的十位和甲数的百位数字都是3。甲数是348，乙数是34。例3

25、请将下式中的字母换成适当的数字，使算式成立。 由3和a5乘积的尾数是1，知a5只能是7；由3和a4乘积的尾数是725，知a4是5；不难推出原式为1428573428571。3.从较大数想起例如，从110的十个数中，每次取两个数，要使其和大于10，有多少种取法？思路一：较大数不可能取5或比5小的数。取6有65；取7有74，75，76；取10有九种 101，102，109。共为 1357925(种)。思路二：两数不能相同。较小数为1的只有一种取法110；为2的有29，210；较小数为9的有910。共有取法12345432125(种)这是从较小数想起，当然也可从9或8、7、开始。思路三：两数和最大的

26、是19。两数和大于10的是11、12、19。和是11的有五种110，29，38，47，56；和是1119的取法54433221125(种)。4.想大小数之积 用最大与最小数之积作内项(或外项)的积，剩的相乘为外项(或内项)的积，由比例基本性质知 交换所得比例式各项的位置，可很快列出全部的八个比例式。 5.由得数想例如，思考题：在五个0.5中间加上怎样的运算符号和括号，等式就成立？其结果是0，0.5，1，1.5，2。从得数出发，想：两个相同数的差，等于0；一个数加上或减去0，仍等于这个数；一个因数是0，积就等于0；0除以一个数(不是0)，商等于0；两个相同数的商为1；1除以0.5，商等于2；解法

27、很多，只举几种：(0.50.5)0.50.50.500.50.5(0.50.5)0.50(0.50.50.5)(0.50.5)0(0.50.50.50.5)0.50(0.50.5)0.50.50.50.50.50.50.50.50.50.5(0.50.5)(0.50.50.5)0.5(0.50.5)0.50.50.50.5(0.50.5)0.50.50.510.50.5(0.50.5)0.51(0.50.5)0.50.50.51(0.50.5)0.5(0.50.5)10.50.50.50.50.51.5(0.50.5)0.50.50.51.50.50.50.50.50.51.50.50.50.

28、50.50.51.50.50.50.50.50.52(0.50.5)0.50.50.52(0.50.50.50.5)0.52(0.50.5)0.50.50.526.想平均数 思路一：由“任意三个连续自然数的平均数是中间的数”。设第一个数为“1”，则中间数占 知这三个数是14、15、16。 二、一个数分别为 16115，15114 或 16214。若先求第一个数，则 思路三：设第三个数为“1”，则第二、三个数， 知是15、16。思路四：第一、三个数的比是78，第一个数是2(87)714。若先求第三个数，则2(87)816。 7.想奇偶数例1 思考题：在1、2、3、4、5、6、7、8、9九个数字中

29、，不改变它们的顺序、在它们中间添上加、减两种符号，使所得的结果都等于100。例如 123456789100123456789100你还能想出不同的添法吗？12345678945。若去掉7和8间的“”，式左为123456789，比原式和增大了78(78)63，即1234567894563108。为使其和等于100，式左必须减去8。加4改为减4，即可123456789100。“减去4”可变为“减1、减3”，即123456789100二年级小学生没学过负“1”，不能介绍。如果式左变为123456789。12(12)89(89)81。即 123456789458110026。要将“”变为“”的数和为1

30、3，在3、4、5、6、7中有67，346，因而有123456789100，123456789100，同理得123456789100，123456789100，123456789100，123456789100，123456789100，123456789100。为了减少计算。应注意：(1)能否在1、23、4、5、6、7、89中间添上加、减(不再去掉某两数间的加号)，结果为100呢？1、23、5、7、89的和或差是奇数，4、6的和或差是偶数，奇数偶数奇数，结果不会是100。(2)有一个是四位数，结果也不可能为100。因为1234减去余下数字组成(按顺序)的最大数789，再减去余下的56，差大于1

31、00。例2 求59199的奇数和。由从1开始的连续n个奇数和、等于奇数个数n的平方1357(2n1)n2奇数比它对应的序数2倍少1。用n表示任意一个自然数，它对应的奇数为2n1。例如，32对应奇数232163。奇数199，从1起的连续奇数中排列在100(2n1199，n100)的位置上。知1199的奇数和是100210000。此和包括59，2n157、n29、157的奇数和为292841。所求为 100008419159。或者 593021，302900，10000900599159。例1 思考题：在1、2、3、4、5、6、7、8、9九个数字中，不改变它们的顺序、在它们中间添上加、减两种符号，

32、使所得的结果都等于100。例如123456789100123456789100你还能想出不同的添法吗？12345678945。若去掉7和8间的“”，式左为123456789，比原式和增大了78(78)63，即 1234567894563108。为使其和等于100，式左必须减去8。加4改为减4，即可123456789100。“减去4”可变为“减1、减3”，即123456789100二年级小学生没学过负数“1”，不能介绍。如果式左变为123456789。12(12)89(89)81。即 123456789458110026。要将“”变为“”的数和为13，在3、4、5、6、7中有67，346，因而有

33、123456789100，123456789100，同理得123456789100，123456789100，123456789100，123456789100，123456789100，123456789100。为了减少计算。应注意：(1)能否在1、23、4、5、6、7、89中间添上加、减(不再去掉某两数间的加号)，结果为100呢？1、23、5、7、89的和或差是奇数，4、6的和或差是偶数，奇数偶数奇数，结果不会是100。(2)有一个是四位数，结果也不可能为100。因为1234减去余下数字组成(按顺序)的最大数789，再减去余下的56，差大于100。例2 求59199的奇数和。由从1开始的连

34、续n个奇数和、等于奇数个数n的平方1357(2n1)n2奇数比它对应的序数2倍少1。用n表示任意一个自然数，它对应的奇数为2n1。例如，32对应奇数232163。奇数199，从1起的连续奇数中排列在100(2n1199，n100)的位置上。知1199的奇数和是100210000。此和包括59，2n157、n29、157的奇数和为292841。所求为 100008419159。或者 593021，302900，10000900599159。8.约倍数积法任意两个自然数的最大公约数与最小公倍数的积，等于这两个自然数的积。证明：设M、N(都是自然数)的最大公约数为P，最小公倍数为Q、且M、N不公有的

35、因数各为a、b。那么 MNPaPb。而 QPab，所以 MNPQ。例1 甲乙两数的最大公约数是7，最小公倍数是105。甲数是21，乙数是多少？ 例2 已知两个互质数的最小公倍数是155，求这两个数。这两个互质数的积为1155155，还可分解为531。所求是1和155，5和31。例3 两数的最大公约数是4，最小公倍数是40，大数是数的2.5倍，求各数。由上述定理和题意知两数的积，是小数平方的2.5倍。小数的平方为4402.564。小数是8。大数是82.520。算理：4408208(82.5)822.5。9.想 份 数 10.巧用分解质因数例1 四个比1大的整数的积是144，写出由这四个数组成的比

36、例式。1442432(223)(23)2(43)(62)可组成4623等八个比例式。例2 三个连续自然数的积是4896，求这三个数。48962532172417(232)161718 17282633(223)31233855711 例4 1992年小学数学奥林匹克试题初赛(C)卷题3：找出1992的所有不同的质因数，它们的和是多少？1992222383238388例5 甲数比乙数大9，两数的积是1620，求这两个数。162022345(3222)(325)甲数是45，乙数是36。例6 把14、30、33、75、143、169、4445、4953分成两组，每组四个数且积相等，求这两组数。八个数的积等于272353113551113131357127313127。每组数的积为23252711132127。两组为 例7 600有多少个约数？600610023225523352只含因数2、3、5、23、25、3