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1、重视课本例题的再利用袁仕萍 徐永红 王从众内容摘要：数学课堂教学尤其是复习课教学，教师应重视课本中例题的再利用，恰当运用典型例题进行探索，促进数学知识与技能、数学思想与方法的纵横沟通。教师要鼓励学生质疑问题、探究思考，要让学生感受和体验数学知识产生、发展和应用的过程，启发学生发现问题和提出问题，善于独立思考，使数学学习成为再发现、再创造的过程。如何充分发挥教材中例题的教学作用是中学数学中一个重要的课题。新课程标准强调，学生是数学学习的主人，教师要鼓励学生质疑问题、探究思考，要让学生感受和体验数学知识产生、发展和应用的过程，启发学生发现问题和提出问题，善于独立思考，使数学学习成为再发现、再创造的
2、过程。数学课堂教学尤其是复习课教学，教师应重视课本中例题的再利用，恰当运用典型例题进行探索，促进数学知识与技能、数学思想与方法的纵横沟通。实践证明，这样做不仅能极大地激发学生学习数学的兴趣和热情，而且十分有助于学生素质的提高和能力的培养。但在教学过程中有许多教师尤其是青年教师忽视教材中便题的教学处理，没有重视例题中蕴涵的解题思想和解题方法，多数情况下只把解法告诉学生。这种做法通常造成例题的教学讲不清、讲不透，因此学生遇到新问题不知如何处理，或者只知做题不会思考。这样就违背了新课程标准的具体要求。如何进行例题再利用教学，真正发挥例题应有的教学作用呢？笔者认为在复习课教学中，应注重对课本例题的探究
3、，在探究课本例题的过程中让学生去发现、思考、释疑。现列举例题常见设计方法进行说明：一、增加或改变知识点，把结论适当延伸例1如图，ABC内接于O，AB是O的直径，PA是过A点的直线，PAC=B（1）求证：PA是O的切线；（2）如果弦CD交AB于E，CD的延长线交PA于F，AC=8，CE：ED=6：5， AE：EB=2：3，求AB的长和ECB的正切值分析：讲解例题时，可启发学生用多种方法进行求证，特别强调“切线与过切点的半径垂直”，为解决“设计1”作好知识准备。如图，AB是O的直径，AE平分BAF交O于点E，过点E作直线与AF垂直交AF延长线交于D点，且交AB延长线于C点（1）求证：CD与O相切于
4、点E；（2）若CEDE=，AD=3，求O的直径及AED的正切值分析：本题实际上是在例题1的基础上进行了延伸。这道题的设计源于课本又高于课本，有助于考查学生运用所学知识分析问题、解决问题的能力。本题的结论可启发学生结合切线的性质利用相似三角形求证。设计2：已知：以RtABC的直角边AB为直径作O，与斜边AC交于点D，E为BC边上的中点，连结DE。（1）如图，求证：DE是O的切线；（2）连结OE，AE，当CAB为何值时，四边形AOED是平行四边形，并在此条件下求sin CAE的值。 分析：对于这一问题，学生可能不易找到正确的解题途径，但通过分析，利用“设计1”中的结论，再结合切割线定理便可得到证法
5、。并由此归纳：证明两条线段相等，除运用全等三角形、等腰三角形的有关知识外，还可以运用比例线段的知识进行分析求证。从不变中求变化，从变化中求规律，可以培养学生探究数学问题的能力。二、变换例题中的条件或结论图6例2 如图6所示，某校小农场要盖三间长方形的羊圈，打算一面利用一堵旧墙，其余各面用木棍围成栅栏，该校计划用木棍围出总长为24m的栅栏。设每间羊圈的长为x(m)，三间羊圈总面积为S(m2)。(1)写出S与x之间的函数关系式及自变量x的取值范围；(2)x取何值时，面积S最大？最大面积是多少？分析：解答本题时，学生很容易根据题目中的条件写出S与x之间的二次函数关系式及自变量的取值范围，并根据二次函
6、数的性质得出面积S的最大值。设计1：在上题基础上，增加“旧墙的长度为8m”这一条件，所求解的问题不变。分析：本题由原来的应用题直观地转换为二次函数问题，明确引导学生利用二次函数图象解决问题。本题中自变量x的取值范围因旧墙长度限制，由原来的0x6变化为4x6，此时S与x之间建立的二次函数S4(x3)236的顶点不在函数实际图象上，这时应启发学生从图象在对称轴左右两边的变化规律入手确定面积S的最大值。设计2：已知二次函数yx22xa(0x1)的最大值为3，求a的值。例3 已知一元二次方程ax22x10有实数根，求a满足的条件。分析：本题可直接运用一元二次方程根的判别式求解。设计1：已知方程ax22
7、x10有实数根，求a满足的条件。分析：本题未明确方程类型，求解时应对方程分类进行讨论。a0时，方程为一次方程，直接求解验证；a0时，求解过程同例3。a满足的条件应综合上述两种情形确定。三、改证明题为探索题图7例4 已知：如图7，BE、CD为ABC的高。求证：ADEACB。分析：本题要证的结论为两角相等，学生可能首先想到去证两角所在的两个三角形相似。证明过程中，学生往往难以找到相似的条件夹公共角的两边对应成比例。设计1：把原题的结论开放，让学生探究图中共有几对相似三角形，并写出这几对相似三角形。图8分析：在学生探究图中相似三角形的过程中，启发学生去发现不同的结论，从而有助于学生归纳运用相似三角形
8、证明两角相等、线段成比例等结论时的常规解题思路。四、代数与几何知识相互渗透例5 如图8，某镇要在河边修建一个水泵站，分别向A村、B庄送水，则该水泵站修在河边什么地方，可使所用的水管最短？图9分析：这量一道重要的基本题，其解答并不难，如果对其进行引申和综合，可增加其广度和深度。设计1：如图9，在直角坐标系中，二次函数图象的顶点坐标为(4，)，且它在x轴上截得线段AB6。(1)求二次函数的解析式；(2)在y轴上作出一点P(不写作法)，使PAPC最小，并求P点的坐标。分析：解答问题(2)时，由已知A、C两点在y轴的同侧，利用例题的思想方法，求出点A关于y轴的对称点A，再求得直线AC的解析式，直线AC
9、与y轴的交点即为所求点P，从而求解。五、加强“数学实验”，动手设计方案数学实验是数学知识的直接应用，是培养学生应用意识的一种实践活动。现行教材能紧扣知识的本质特征，让学生在学习基础知识的同时，利用基础知识动手操作，如：利用拼盘证明两个三角形全等、三角形内角和定理，制作反映勾股定理的方板块，动手进行平面图形的镶嵌等。这样可使抽象的内容具体化，有助于调动学生学习的积极性和主动性。例6 我们常见到如图10所示图案的地面，它们分别是用正方形和正六边形形状的材料铺成的，这样形状的材料能铺成平整、无空隙的地面。现在问：能否用正五边形的材料铺成平整、无空隙的地面？为什么？图10设计1：你能不能另外想出一个用
10、一种多边形（不一定是正多边形）的材料铺地的方案？把你想到的方案画成草图。分析：本题源于课本，但不拘泥于课本，在问题形式上采用的是一种探究的形式，它要求学生运用几何知识去解决实际生活中的装潢问题。要拼成完整、不留空隙的地面，必须保证这些(正)多边形的内角能拼成一个周角(360)。看似简单的实际问题，其中蕴涵了深刻的数学知识。课本例题的逻辑性很强，教学过程中教师应善于捕捉一些典型例题的求解信息加以研究，并进行合理再利用，这样有利于培养学生观察问题、分析问题的能力。不能停留在表面，应重结论又重过程。数学教学应以数学知识为载体，以数学方法为核心，以提高学生能力和素质为目的，让学生在不断地发现问题、提出问题、解决问题的过程中，潜移默化地学会学习的方法，学会思考的方法。6
