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1、函数思想在小学数学教学中的实践研究以成正比例的量为例杭州市学军小学 周英摘 要：函数思想是最基本的数学思想，对学生后续的学习有重要的意义。结合成正比例的量教学实例，探讨小学数学教学中深入挖掘教材、研究学生学习起点、有意渗透和点拨、循序渐进地渗透函数思想的方法。并根据函数思想的特征，提出了小学数学实施函数思想教学的基本原则。关键词：函数思想 小学数学 成正比例的量教学数学思想是人们以数学观念为核心对数学关系中最一般规律的认识。函数思想是最基本的数学思想，它形成于17世纪，300多年来得到了发展并有着广泛的应用，其本质特征是反映量与量之间的运动变化的关系，其核心内容是对应关系。在小学数学教学中，函
2、数思想有的老师认为学生学习难度大、升入初中后会系统学习，所以重视不够，表现在学生遇到可以用函数解决的问题时而运用了其他策略。关于成正比例的量教学，人教版小学数学教材在第十二册的第三单元比例教学完后进行。在数与代数中，成正比例的量可以定义为：两种相关联的量，一种量变化，另一种量也随着变化，如果这两种量相对应的两个数的比值（也就是商）一定，这两种量就叫做成正比例的量，它们的关系叫做成正比例关系。字母表达式为：“如果用字母x和y表示两种相关联的量，用k表示它们的比值（一定），正比例关系可以用下面的式子表示：（一定）”。正比例关系的表达式能方便的转化为正比例函数（y=kx），基于此可继续研究正比例函数
3、的性质：“定义域、值域、奇偶性、单调性、周期性、对称性和图像”。成正比例的量教学的难点是需要学生从复杂的变化中抽象出不变的东西，即建立模型。因此，成正比例的量教学在重视有关基础实施、基本技能的同时，要帮助学生初步建立函数思想。一、行走在数学与小学生之间1. 属概念的建立是函数教学的起点。我们知道，“下定义”必须抓住被定义事物的基本属性和本质特征，多数采用判断单句的形式。在小学中，用得最多的是“属种差”定义。成正比例的量是用这种方式定义的概念两种相关联的量，一种量变化，另一种量也随着变化，如果这两种量相对应的两个数的比值（也就是商）一定，这两种量（一种概念）就叫做（判断词）成正比例（本质特征）的
4、量（属概念）。这一关系定义突出反映的是两个变量之间的依存关系，也就是说这两种量的关系是本概念的核心内容。同时概念描述了自然界中数量之间的关系，并建立函数关系型的数学模型，充分体现了函数思想。有上述内容可知，相关联的量这一属概念的认知是建立函数概念的基础。两个相关联的量(x、y)符合就是正比例函数；符合xy=k则是反比例函数；此外还有x+y=k；xy=k；y=axb；y=x等函数关系，它们都是建立在两个相关联的量这一概念的基础之上的。如图所示：2. 现行教材凸显表格和图像的作用。【浙教版】 【北师大版】【苏教版】 【人教版】浙教版和苏教版中教学内容的呈现都是从基本数量关系（路程、时间、速度；工作
5、总量、工作时间、工作效率）和图像（图像角度为45）的角度出发，来研究“成正比例的量”的。北师大版更注重“相关联的量”这一概念的感知。从正方形边长与周长、边长与面积这两组不同关联量的图像，初步感知量与量之间的关联性。接着再用两组基本数量关系（路程、时间、速度；总价、数量、单价）进一步学习“成正比例的量”。而人教版教材呈现了用相同的圆柱形杯子装水的实验，从图片能更自然的过渡到正比例图像（图像角度45）中去。综上所述，各版本的教材虽然学习内容不同，但都呈现了“问题表格图像”这三个要素。3. 相关的原认知是学生学习的起点。“成正比例的量”这一概念教学，教材编写凸显了动态的两个变量中的不变量。但这一内容
6、学生属于首次认识，且比较抽象，因此要使学生理解有一定的难度，即使教材和教学凸显了函数思想，但学生在理解时仍会感到困难。要读懂学生的困难，笔者结合教材的编写特点，对学生“观察表格、分析数据、发现规律”能力和“画出图像、观察对比、发现规律”能力进行了前测，两题之间还检测了学生“根据数据画出数量变化规律的图像”能力。本次前测研究获得的测试结果如下图：该结果提示我们，在应用“表格和图像”学习成正比例的量的过程中，学生可能存在下列困难。（1）只通过观察表格中的数据，不易发现与两个变量密切相关的不变量；（2）通过图像，能引导学生更好的发现不变量，但学生对图像的理解多数只停留在统计图的层面上。2.4%的学生
7、将图像化成了条形统计图，83.3%的学生画出来的图像中标出了点所对应纵轴上的数据，这都说明多数学生并不明白这是函数的图像； 根据前测结果，我们发现学生学习成正比例的量这以内容时，会用到折线统计图、比的基本性质（商不变的规律、分数基本性质）等相关的原认知。二、教学过程中渗透函数思想1. 观察表格，认识相关联的量。列表也是函数的一种表现形式，引导学生先观察表格、分析变化规律，是对学生进行函数意识的渗透。教学伊始对“成正比例的量”概念临近的属加以定义，即“一种量变化，另一种量也随着变化的两种量我们称为两种相关联的量”。这时，这两种相关联的量不能仅局限于成正比例的量，应让学生的感知更为全面，避免“成正
8、比例的量”与“相关联的量”两个概念的混淆。案例片段1：师：同学们，数学有很多内容是关于数量之间的变化，今天这节课我们就进一步来研究数量之间的变化规律。请看题（逐个出示数据）。师：为什么是60？你是怎么想的？学情预设：总页数是100页，已读40页，所有未读的页数是60.师：已读页数在不断的增加，未读页数是怎么变化的？师小结：已读页数变化时，未读页数也随着变化。再来看师：这两组量又是怎样变化的？师：这三张表格有什么相同的或不同的地方呢？师小结：这三张表格中都有一个固定的量和两个变量，其中一个量变化，另一个量也随着发生变化，我们把这两种量叫做两种相关联的量。（板书：两种相关联的量）2. 数形结合，感
9、受正比例的意义。除了从表格中发现不变量的存在让学生建构起“成正比例的量”的概念，还应借助正比例的图像帮助学生建构概念。其中在图像中找到“不变量”能更好的让学生理解“比值一定”，图像的唯一性能让学生感知“一一对应”。借助图像也能降低学生的学习难度。案例片段2：师：如果用点来表示杯中的水，这些点就是这一组组数据的对应点。师：如果把这些点连起来，你觉得会是什么图形？师：如果我继续加水呢，这条线会怎么样？如果水加到13厘米高，体积会是多少？学情预设：利用比值计算。师评价：你是用计算的方法，有没有同学的方法跟他是不一样的？学情预设：看图。师引导：跟大家介绍一下，你是先怎么看，再怎么看。来上来边指边说。师
10、评价：这个方法怎么样？我们再来试一试，水的高度是7cm时，体积是多少？ 反过来，体积是125m时，高度又是多少？ 高是1cm时，体积是多少？ 高是0cm呢？师评价：看来，从o开始，水的高度和对应体积的点都在这条直线上，图像也可以给我们很多的数学信息。3. 自主探究，建构正比例的概念。 著名数学教育家波利亚说：“学习任何知识的最佳途径是通过自己的实践活动去发现，因为这种发现理解最深，也最容易掌握内容的规律、性质和联系。”在引导学生探究正比例的关系后，请学生自己对前测表格中具有类似变化规律的数据进行研究，通过自己的研究活动内化成正比例的量比值一定这一本质特征。4. 题组练习，解构中凸显基本点。案例
11、片段3：（1）表格对比判断师：判断是否成正比例，并说明理由。学情预设：周长比边长=4是一定的，所以周长和边长是成正比例的量。 面积/边长=边长1，2，3，4（变化），所以面积和边长不成正比例。师小结：看来比值一定是同学们判断的一个重要标准。那么这两组量的图像一样吗？ 出示图像。 （2）图像对比判断师：再来看，只有图像， 你会判断吗？师：说说你是怎么想的？师：有时图像只有细微的差异，我们不宜察觉，这时我们还是要借助表格和数据来进行判断。三、函数思想教学的基本原则函数思想的教学应该遵循通用的数学教学原则。但是，函数思想教学是数学中及普通又特殊的数学教学内容，有其自身的特点，应符合其自身的教学原则和
12、学生的心理特点。函数思想具有以下三个基本特征：1. 函数思想集中放映了变量与变量之间的变化规律。小学阶段，数与运算的研究是具体的确定的常数与常数之间的运算关系；代数式与运算研究的是用符号代表的常数或不确定的常数之间的运算关系；而函数研究的是变量之间的依赖关系，这是一个质的变化。函数思想的优势就在于以动代静的思想来探索客观事物的相互关系和内在规律。2. 对应是函数思想的本质特征。3. 自变量的变化处于主导地位。基于函数思想的三个基本特征，笔者发现：小学阶段的数学教材中可以渗透函数思想、进行函数思想教学的素材很多，例如和、差、积、商的变化规律等，在充分挖掘教材从中精选一些有价值的问题做深入的研究时
13、，我们应遵循以下两个教学原则：（一） 化隐性为显性的教学原则。函数思想往往隐含在知识教学的背后，知识教学过程蕴含着函数思想。因此，我们必须有意识地将函数思想作为教学对象来进行考量，才能充分地挖掘处于表层的数学知识的本质。例如：研究成正比例的量，（一定）这只是处于知识表层的数学符号，实际上我们必须考虑变量y随着x的变化而如何变化，它的变化规律是什么？必须将这个潜在的“变化规律转化为直观、具体的图形”，从而达到传授函数思想方法的教学目的。（二） 循序渐进的原则。函数思想是在函数发展的长期过程中经历反复的孕育、初步形成、应用发展的循序渐进的过程才逐步形成的。要使函数思想的教学得到真正的落实，并不是通
14、过几堂课就能达到的。它是螺旋式上升进行的，需要学生经历较长的认识过程逐步加深理解。结合不同阶段不同内容的知识教学，有意识地反复孕育同一个数学思想方法，以期收到潜移默化、水到渠成之功效。在具体实施时，只要我们找准函数思想教学点，在教学中大胆实践，教师在呈现相应的数学内容与思想方法时，根据学生的年龄特征、认知规律与知识特点，持之以恒地在不同学段进行不同层次的函数思想教学，促进学生对函数思想的认识，在深度、广度等方面逐步发生渐进式的变化，学生对函数思想方法的认识就会日趋成熟。参考文献：1 朱成杰.数学思想方法教学研究导论M.上海：文汇出版社，1998：113-114.2 肖柏荣.数学思想方法及其教学示例M.南京：江苏教育出版社，2004：4-50.3 顾泠沅.数学思想方法M.北京：中央广播电视大学出版社，2004.4 蒋巧君.小学数学思想方法教学初探J.小学数学教师，2007（7/8）：17-22.5 曾超益，袁德辉，赵坤.新课程函数思想及其教学思考J.韩山：韩山师范学院学报，2008（6）：91-94.
