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1、向量中的三角形“四心”问题新干中学 李根学习向量的加减法离不开三角形，三角形的重心、垂心、内心、外心是三角形性质的重要组成部分，你知道它们的向量表示吗？你能证明吗？下面的几个结论也许能给同学们一点帮助。结论1：若点O为ABC所在的平面内一点，满足，则点O为ABC的垂心。证明：由，得，即，所以。同理可证。故O为ABC的垂心。结论2：若点O为ABC所在的平面内一点，满足 ，则点O为ABC的垂心。证明：由，得，所以。同理可证。容易得到由结论1知O为ABC的垂心。结论3：若点G为ABC所在的平面内一点，满足，则点G为ABC的重心。证明：由，得。设BC边中点为M，则 ，所以，即点G在中线AM上。设AB边
2、中点为N，同理可证G在中线CN上，故点G为ABC的重心。结论4：若点G为ABC所在的平面内一点，满足，则点G为ABC的重心。证明：由，得，得。由结论3知点G为ABC的重心。结论5：若点P为ABC所在的平面内一点，并且满足 ，则点P为ABC的内心。证明：由于，可得。设与同方向的单位向量为，与同方向的单位向量为，则。因为为单位向量，所以向量在A的平分线上。由，知点P在A的平分线上。同理可证点P在B的平分线上。故点G为ABC的内心。结论6：若点O为ABC所在的平面内一点，满足 ，则点O为ABC的外心。证明：因为，所以同理得由题意得，所以，得。故点O为ABC的外心。说明：以上几个结论不仅给大家展示了三
3、角形的“四心”的向量表示，而且是向量加减法应用的很好典例，值得大家关注。例1已知A、B、C是平面上不共线的三点，O是ABC的外心，动点P满足，则P的轨迹一定通过ABC的 （）A内心B垂心C外心D重心思路分析：取AB边的中点M，则，由可得，所以，即点P的轨迹为三角形中AB边上的中线，故选D。G为ABC的重心的充要条件是或，（其中O为ABC所在平面内任意一点）二、垂心在ABC中，由向量的数量积公式，可得，这说明所在直线是BC边上的高所在直线，从而它一定通过ABC的垂心。例2（2005年全国卷）点O是ABC所在平面内的一点，满足，则点O是ABC的（）A三个内角的角平分线的交点 B三条边的垂直平分线的交点C三条中线的交点 D三条高的交点三、内心在ABC中，由两单位向量相加，可得所在直线是A的平分线所在的直线，从而一定经过ABC的内心。例3（2003年全国卷）O是平面上定点，A、B、C是平面上不共线的三个点，动点P满足，则P的轨迹一定通过ABC的（）A外心B内心C重心D垂心已知点O是ABC所在平面内一点，求证：ABC是正三角形。由已知条件可知，ABC的重心、外心都是点O，因此ABC为正三角形。4
