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1、直线与双曲线的位置关系概念与规律直线和双曲线的位置关系，可通过讨论双曲线方程与直线方程组成的方程组的实数解的个数来确定。通常消去方程组中变量y（或x）得到关于变量x（或y）的一元二次方程。考虑该一元二次方程的判别式，则有0直线与双曲线相交于两点；=0直线与双曲线相切；0直线与双曲线相离。若得到关于x（或y）的一元一次方程，则直线与双曲线相交于一点，这时直线平行于双曲线的一条渐近线。讲解设计重点与难点例1 过点（0，3）的直线l，它与双曲线只有一个公共点，求直线l的方程。解 设直线l的方程为y=kx+3代入双曲线方程化简、整理得：。当时，得，。当时，即时，直线l与双曲线的渐近线平行地，此时直线l
2、与双曲线也只有一个公共点。所求的直线l的方程为。点评 注意到直线与双曲线的渐近线平行时，直线与双曲线也只有一个公共点。例2 设双曲线C：关于直线x-y=2对称的曲线C与直线l：2x+3y-6=0相切，求。解 设双曲线C上任一点P（x，y），它关于直线x-y=2对称的点为，则，点Q在曲线上。，即由2x+3y-6=0得代入得，由于相切，令=0，即，解得。点评 通过坐标转移求得对称曲线方程，根据=0求解。讲解设计思路与方法例3 求渐近线为且与直线5x-6y-8=0相切的双曲线方程。提示 设所求的双曲线方程为根据=0求解。例4 直线y=ax+1与双曲线相交于A、B两点，当a为何值时，以AB为直径的圆过
3、原点？提示 注意到OAOB，运用韦达定理求解。例5 过点M（-2，0）作直线l交双曲线于点A、B，探索是否存在直线l，使（O为坐标原点），若存在，求l的方程，若不存在，说明理由。提示 本题涉及到直线被圆锥曲线所截弦，对某一定点（如原点）张直角问题，并且是以探索题的形式给出的。在求解过程中，也往往要使用韦达定理。假设存在直线l使，则OAOB，故有，即，设直线l的方程为y=k(x+2)，则，由。由韦达定理得：，代入得，此时不可能，又k不存在时，故不存在适合条件的直线l。练习设计识记与理解1设直线y=kx与双曲线相交，则实数k的取值范围是（ ）（A）-2k2 （B）-1k1（C）0k2 （D）-2k
4、02直线y=x-1被双曲线所截得弦的中点坐标是（ ）（A）（1，2） （B）（-2，-1）（C）（-1，-2） （D）（2，1）3过点（0，3）作直线l，若l与双曲线只有一个公共点，这样的直线l共有（ ）（A）1条 （B）2条（C）3条 （D）4条4过双曲线焦点且平行于虚轴的弦长等于（ ）（A）1 （B）2（C）3 （D）45直线与双曲线的交点个数是（ ）（A）0 （B）1（C）2 （D）4练习设计巩固与掌握6斜率为2的直线l在双曲线截得的弦长为，则直线l的方程为（ ）（A）（B）（C）（D）7已知双曲线的左焦点F，点P为双曲线在第三象限内的任意一点，则斜率的取值范围是（ ）（A）k0或k1（B）k1（C）k-1或1（D）k18直线y=kx+2与双曲线的右支交于两个不同的点，则实数k的取值范围是（ ）（A）（B）（C）（D）练习设计拓展与迁移9过点（2，1）的直线与双曲线相交于且垂直于直线3x+y+1=0，求线段的中点P的坐标。10已知直线是过点的两条互相垂直的直线且与双曲线各有两个交点，分别为。（1）求的斜率的取值范围。（2）若，求的方程。参考答案：例3 例4 a=11（A） 2（C） 3（D） 4（D） 5（B）6（B） 7（B） 8（D）910（1）；（2），或， 第4页共4页
