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1、二次函数综合题答案1. （1）已知了抛物线图象上的三点坐标，可用待定系数法求出该抛物线的解析式，进而可用配方法或公式法求得顶点D的坐标（2）根据B、C、D的坐标，可求得BCD三边的长，然后判断这三条边的长是否符合勾股定理即可（3）假设存在符合条件的P点；首先连接AC，根据A、C的坐标及（2）题所得BDC三边的比例关系，即可判断出点O符合P点的要求，因此以P、A、C为顶点的三角形也必与COA相似，那么分别过A、C作线段AC的垂线，这两条垂线与坐标轴的交点也符合点P点要求，可根据相似三角形的性质（或射影定理）求得OP的长，也就得到了点P的坐标解答：解：（1）设该抛物线的解析式为y=ax2+bx+c
2、，由抛物线与y轴交于点C（0，-3），可知c=-3，即抛物线的解析式为y=ax2+bx-3，把A（-1，0）、B（3，0）代入，得ab309a+3b30解得a=1，b=-2抛物线的解析式为y=x2-2x-3，顶点D的坐标为（1，-4）（2）以B、C、D为顶点的三角形是直角三角形，理由如下：过点D分别作x轴、y轴的垂线，垂足分别为E、F在RtBOC中，OB=3，OC=3，BC2=18，在RtCDF中，DF=1，CF=OF-OC=4-3=1，CD2=2，在RtBDE中，DE=4，BE=OB-OE=3-1=2，BD2=20，BC2+CD2=BD2，故BCD为直角三角形（3）连接AC，则容易得出COA
3、PCA，又PCABCD，可知RtCOARtBCD，得符合条件的点为O（0，0）过A作AP1AC交y轴正半轴于P1，可知RtCAP1RtCOARtBCD，求得符合条件的点为P1(0，1/3)过C作CP2AC交x轴正半轴于P2，可知RtP2CARtCOARtBCD，求得符合条件的点为P2（9，0）符合条件的点有三个：O（0，0），P1(0，1/3)，P2（9，0）2. （1）知道二次函数的解析式经过三点，把三点坐标代入就能求得函数解析式，由解析式写出对称轴（2）过点B，点P作BDOA，PEOA，垂足分别为D，E，要使四边形ABPQ为等腰梯形，只需PQ=AB，算出时间t设对称轴与BC，x轴的交点分别
4、为F，G，根据题意求出PF=QG，MFPMGQ，由S=S四边形ABPQ-SBPN列出函数关系式，求出最小值解答：解：（1）二次函数y=ax2+bx+c的图象经过点C（0，-3），c=-3，将点A（3，0），B（2，-3）代入y=ax2+bx+c得09a+3b334a+2b3解得：a=1，b=-2y=x2-2x-3，配方得：y=（x-1）2-4，所以对称轴直线为：x=1；（2）由题意可知：BP=OQ=0.1t，点B，点C的纵坐标相等，BCOA，过点B，点P作BDOA，PEOA，垂足分别为D，E，要使四边形ABPQ为等腰梯形，只需PQ=AB，BDOA，PEOA，垂足分别为D，E，ABD和QPE为直
5、角三角形，当PQ=AB时，又BD=PE，RtABDRtQPE（HL），QE=AD=1ED=BP=0.1t，DO=BC=2，EO=2-0.1t，又QE=OE-OQ=（2-0.1t）-0.1t=2-0.2t，2-0.2t=1，解得t=5即t=5秒时，四边形ABPQ为等腰梯形设对称轴与BC，x轴的交点分别为F，G对称轴x=1是线段BC的垂直平分线，BF=CF=OG=1又BP=OQ，PF=QG又PMF=QMG，MFP=MGQ=90，MFPMGQ（AAS），MF=MG，点M为FG的中点，S=S四边形ABPQ-SBPN=S四边形ABFG-SBPN由S四边形ABFG=12(BF+AG)FG=92SBPN12
6、BP12FG340t，S=92340t又BC=2，OA=3，点P运动到点C时停止运动，需要20秒0t20当t=20秒时，面积S有最小值33. （1）根据a、b、c的值，可确定抛物线的解析式，进而可求出C点的坐标；根据t的值，可确定直线L2的解析式，联立抛物线的解析式即可得到A、B的坐标；根据A、B、C三点的坐标，可求出直线AC、BC的斜率，此时发现两条直线的斜率的乘积为-1，所以它们互相垂直，由此可判定ABC是直角三角形；（2）根据抛物线的解析式可知：C点坐标为（0，c），那么直线L2的解析式为c+t，联立抛物线的解析式可得到关于x的方程，那么方程的两根即为A、B的横坐标，可由根与系数的关系求
7、出AB的长；设抛物线的对称轴与L2的交点为F，根据抛物线的对称性知AF=BF即F是AB中点，若ABC是直角三角形，则AB=2CF，由此可得到CF的表达式；设L2与y轴的交点为E，那么CE的长即为E、C纵坐标差的绝对值，EF的长即为抛物线对称轴方程的绝对值，在RtCEF中，根据勾股定理即可求出t的值；（3）若A恰好在抛物线的对称轴上，那么AB=2AA；而A、A关于y轴对称，那么AA=2AE，即AB=2AB=4AE；根据抛物线的对称性易知CD=2AE，那么AB平行且相等于CD，即四边形ABDC是平行四边形，由AB=4EA可求出b的值，而CD=AB=-ba，平行四边形的高为t，根据平行四边形的面积计
8、算方法即可求出四边形ACDB的面积解答：解：（1）当a12，b32，c=1，y=12x2-32x+1，当t=2时，A、B纵坐标为3，令y=3，解得x=-1或x=4，故A（-1，3），B（4，3），C（0，1），AC2=12+（3-1）2=5，BC2=42+（3-1）2=20，AB2=（4+1）2=25，AC2+BC2=AB2，AC与BC垂直，故ABC是直角三角形（2）设AB交y轴于E，交抛物线对称轴于M，则M为AB中点，连接CM；由方程c+t=ax2+bx+c得ax2+bx-t=0，设方程的两根为x1、x2，由根与系数的关系得：x1+x2=-ba，x1x2=-ta；AB=|x1-x2|=(x1+x2)24x1x2=b2+4ata；CM=12AB=b2+4at2a；在RtCEM中，CE=t，EM=|-b2a|；t2+|-b2a|2=（b2+4at2a）2，即4a2t2-4at=0解得t=1a；（3）因为点A关于y轴的对称点A恰好在抛物线F的对称轴上，对称轴在y轴的右侧，a，b异号，b0，且AB=4EA；b2+4ata=-b2a4，解得b=-233；CD=AB=-ba，四边形ACDB是平行四边形，则它的面积为-bat=233a2
