《求数列通项题型分类归纳解析.doc》由会员分享，可在线阅读，更多相关《求数列通项题型分类归纳解析.doc（12页珍藏版）》请在三一办公上搜索。
1、求数列通项方法归纳解析各种数列问题在很多情形下，就是对数列通项公式的求解。特别是在一些综合性比较强的数列问题中，数列通项公式的求解问题往往是解决数列难题的瓶颈。下面总结出几种求解数列通项公式的方法。类型1 解法：把原递推公式转化为，利用累加法(逐差相加法)求解。例:已知数列满足，求。解：由条件知：分别令，代入上式得个等式累加之，即所以，类型2 解法：把原递推公式转化为，利用累乘法(逐商相乘法)求解。例:（2004，全国I,理15）已知数列an，满足a1=1， (n2)，则an的通项 解：由已知，得，用此式减去已知式，得当时，即，又，将以上n个式子相乘，得类型3 （其中p，q均为常数，）。解法（
2、待定系数法）：把原递推公式转化为：，其中，再利用换元法转化为等比数列求解。例（2006. 福建.理22.本小题满分14分）已知数列满足（I）求数列的通项公式；（I）解：是以为首项，2为公比的等比数列 即变式:递推式：。解法：只需构造数列，消去带来的差异类型4 （其中p，q均为常数，）。 （或,其中p，q, r均为常数） 。解法：一般地，要先在原递推公式两边同除以，得：引入辅助数列（2006，全国I,理22,本小题满分12分）设数列的前项的和， 求首项与通项； 解：（I）当时，；当时，即，利用（其中p，q均为常数，）。 （或,其中p，q, r均为常数）的方法，解之得：类型5 递推公式为（其中p，
3、q均为常数）。解法一(待定系数法)：先把原递推公式转化为其中s，t满足解法二(特征根法)：对于由递推公式，给出的数列，方程，叫做数列的特征方程。若是特征方程的两个根，当时，数列的通项为，其中A，B由决定（即把和，代入，得到关于A、B的方程组）；当时，数列的通项为，其中A，B由决定（即把和，代入，得到关于A、B的方程组）。解法一（待定系数迭加法）:数列：， ，求数列的通项公式。由，得，且。则数列是以为首项，为公比的等比数列，于是。把代入，得，。把以上各式相加，得。解法二（特征根法）：数列：， 的特征方程是：。,。又由，于是故例:已知数列中，,，求。解：由可转化为即或这里不妨选用（当然也可选用，大
4、家可以试一试），则是以首项为，公比为的等比数列,所以,应用类型1的方法，分别令，代入上式得个等式累加之，即又，所以。变式:（2006，福建,文,22,本小题满分14分）已知数列满足（I）证明：数列是等比数列；（II）求数列的通项公式；（I）证明：是以为首项，2为公比的等比数列 （II）解：由（I）得类型6 递推公式为与的关系式。(或)解法：这种类型一般利用与消去 或与消去进行求解。例：已知数列前n项和.（1）求与的关系；（2）求通项公式.解：（1）由得：于是所以.（2）应用类型4（其中p，q均为常数，）的方法，上式两边同乘以得：由.于是数列是以2为首项，2为公差的等差数列，所以变式:（2006
5、，陕西,理,20本小题满分12分) 已知正项数列an，其前n项和Sn满足10Sn=an2+5an+6且a1,a3,a15成等比数列，求数列an的通项an 解: 10Sn=an2+5an+6， 10a1=a12+5a1+6，解之得a1=2或a1=3 又10Sn1=an12+5an1+6(n2)， 由得 10an=(an2an12)+6(anan1)，即(an+an1)(anan15)=0 an+an10 ， anan1=5 (n2) 当a1=3时，a3=13，a15=73 a1， a3，a15不成等比数列a13;当a1=2时， a3=12， a15=72， 有 a32=a1a15 ， a1=2，
6、 an=5n3 类型7 解法：这种类型一般利用待定系数法构造等比数列，即令，与已知递推式比较，解出,从而转化为是公比为的等比数列。例:设数列：，求.解：设，将代入递推式，得（）则,又，故代入（）得说明：（1）若为的二次式，则可设;(2)本题也可由 ,（）两式相减得转化为求之.类型8 解法：这种类型一般是等式两边取对数后转化为，再利用待定系数法求解。例：已知数列中，求数列解：由两边取对数得，令，则，再利用待定系数法解得：。类型9 解法：这种类型一般是等式两边取倒数后换元转化为。例：已知数列an满足：，求数列an的通项公式。解：取倒数：是等差数列，变式:（2006，江西,理,22,本大题满分14分
7、）已知数列an满足：a1，且an求数列an的通项公式；解：将条件变为：1，因此1为一个等比数列，其首项为1，公比，从而1，据此得an（n1）1类型10 解法：如果数列满足下列条件：已知的值且对于，都有（其中p、q、r、h均为常数，且），那么，可作特征方程,当特征方程有且仅有一根时,则是等差数列;当特征方程有两个相异的根、时，则是等比数列。例：已知数列满足：对于都有（1）若求（2）若求（3）若求解：作特征方程变形得特征方程有两个相同的特征根依定理2的第（1）部分解答.(1)对于都有(2) 令，得.故数列从第5项开始都不存在，当4，时，.(3)令则对于类型11 或解法：这种类型一般可转化为与是等差
8、或等比数列求解。例：（I）在数列中，求 （II）在数列中，求类型12 归纳猜想法解法：数学归纳法变式:（2006，全国II,理,22,本小题满分12分）设数列an的前n项和为Sn，且方程x2anxan0有一根为Sn1，n1，2，3，（）求a1，a2；（）an的通项公式 提示:1 为方程的根,代入方程可得将n=1和n=2代入上式可得 2 求出等,可猜想并用数学归纳法进行证明，本题主要考察 一般数列的通项公式与求和公式间的关系3 方程的根的意义(根代入方程成立)4数学归纳法证明数列的通项公式(也可以把分开为,可得解：()当n1时，x2a1xa10有一根为S11a11，于是(a11)2a1(a11)
9、a10，解得a1 当n2时，x2a2xa20有一根为S21a2，于是(a2)2a2(a2)a20，解得a1 ()由题设(Sn1)2an(Sn1)an0，即Sn22Sn1anSn0 当n2时，anSnSn1，代入上式得Sn1Sn2Sn10由()知S1a1，S2a1a2 由可得S3 由此猜想Sn，n1，2，3， 8分下面用数学归纳法证明这个结论 (i)n1时已知结论成立 (ii)假设nk时结论成立，即Sk，当nk1时，由得Sk1，即Sk1，故nk1时结论也成立 综上，由(i)、(ii)可知Sn对所有正整数n都成立 10分于是当n2时，anSnSn1，又n1时，a1，所以an的通项公式an，n1，2，3， 12分本题难度较大,不过计算较易,数列的前面一些项的关系也比较容易发现 类型13双数列型解法：根据所给两个数列递推公式的关系，灵活采用累加、累乘、化归等方法求解。例：已知数列中，；数列中，。当时，,，求,.解：因所以即（1）又因为所以.即（2）由（1）、（2）得：， 类型14周期型解法：由递推式计算出前几项，寻找周期。例：若数列满足，若，则的值为_。变式:（2005，湖南,文，5）已知数列满足，则=（ ）A0BCD12
