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1、新课标背景下中学数学教学中的类比思想培养概述：当前，就国际中学数学教育的发展趋势来看，数学教学越来越注重学生数学思维能力、探索发现能力和创新思维能力的培养。大数学家高斯就认为，发现和创新比命题论证更重要。因为一旦抓到真理之后，补行证明往往是时间问题。因此新课标在教材体系安排上相对与原教材更加重视概念和知识的生成过程，更加重视学生探索、发现、创新意识及能力的培养。而教学中着力培养学生类比推理能力是发展学生发现和自主创新的有效途径，是新课标所倡导的“合情推理”的重要体现。 关键词：类比思想、类比发现、类比探究、构造类比、数形类比、合情推理、数学思想、联想、迁移、相似、知识生成。正文：当前，就国际中
2、学数学教育的发展趋势来看，数学教学越来越注重学生数学思维能力、探索发现能力和创新思维能力的培养。大数学家高斯就认为，发现和创新比命题论证更重要。因为一旦抓到真理之后，补行证明往往是时间问题。因此新课标在教材体系安排上相对与原教材更加重视概念和知识的生成过程，更加重视学生探索、发现、创新意识及能力的培养。而教学中着力培养学生类比推理能力是发展学生发现和自主创新的有效途径。是新课标所倡导的“合情推理”的重要体现。那么，什么是类比，类比的方法有哪些，在中学数学教学中应怎样培养和发展学生的类比思想呢？笔者就此问题浅谈一些看法。一、 类比的含义 所谓类比，就是依据两个或两类数学对象的相似性进行“联想”，
3、把它们其中一个数学对象已知的、较为熟悉的特殊属性迁移到另一个和它相似的数学对象上去，进而得到新的发现或规律的思想方法。类比思维是一种获得数学发现的重要数学思想，在数学学习和解题中起着至关重要的作用，通过类比可以帮助学生理解和记忆不同层面的类似数学内容，可以诱导寻求解题思路的变迁和发散，也可以获得命题的推广和延伸。总之，类比思想作为一种重要数学思想，它是获取数学发现、拓广数学知识的原动力之一。二、 类比方法与技能培养 在新课标中学数学教材中，类比原型比比皆是，教学中可通过师生互动，寓学生类比思想及类比能力的培养于课堂教学之中，比如;奇、偶函数的概念；指数函数的概念等的生成过程无不渗透着从特殊到一
4、般的类比思想。又如：等差数列的概念和性质向等比数列的概念和性质的迁移过程，体现了类比合情推理的思想方法。又如：指数函数图像和性质到对数图像和性质的迁移与对比，体现着关系类比的思想方法。再如：“平面内不共线三点确定一个圆”类比到“空间不共面四点确定一个球”体现了低维到高维的类比迁移。等等，不再一一赘述。数学思想是数学内容的升华和结晶。类比作为培养学生发现和创新能力的重要思想方法，在数学解题中有着非常巧妙的应用。下面仅举几例以示说明。例1 已知、，并且。试比较与的大小。分析：如果用代数方法求解则可用作差比较法或分析法，但如果我们认真观察要比较两数的结构特征，不难发现它们均可类比成两点连线的斜率，用
5、几何法求解。xB(-m,-m)A(b,a)y略解：由于是点与点连线的斜率，是点与原点O联线的斜率（图1）由于 说明：本例还可把类比成溶液的浓度， 图1若再溶入质量为的溶质，浓度变成，浓度增大了，因而。例2 实系数方程的两根分别落在区间与内，试求的取值范围。yx分析：本题单纯从方程及其根的联系这个角度来考虑是难以下手的，但若仔细观察题中各式结构容易发现可类比成两点连线的斜率，于是问题的关键就转化为求点的活动区域。略解：令如图2于是有 即yx(-1,-4)P(a,b)从而又转化为线性规化问题， 图2画出可行域（如图3区域）由图3可看出就是区域内的点与连线的斜率由于= 所以 图3说明：以上两例，都应
6、用到了结构类比和数形类比的思想方法，而数学的产生和发展是空间形式中“数”与“形”的相互依存、相互促进的结果。数形结合方法是人们认识和研究客观世界的基本思想方法，架设“数”与“形”的思维桥梁。是提高数学解题能力的重要手段之一。解题时，善于挖掘“数”与“形”的关系根据数的几何意义，巧妙的运用数形类比的思想方法和技巧，有效的辅以相应的图形进行求解，不仅能获得一些精巧简捷的解题思路，而且还有益于沟通知识间的联系，提高运用类比联想的灵活性，培养良好的思维品质和能力。例3 求证：7个实数中至少有两个数（记作） 满足解析：本题若是只着眼于7个实数，可能会感觉到无从下手，若引导学生仔细观察要证式子的结构，很容
7、易使学生把关系式类比成两角差的正切公式。并把7个实数分别看成7个角的正切值，把0和分别看成与，问题就迎刃而解了。设这7个实数为，且，把分成六个区间：，显然，这7个角至少有两个角在同一区间内，不妨设这两个角为且则有而 令 即得要证结论。例4 设，比较与的大小。 分析：这是一道没有给出结论的开放性题目，除了运用比较法外，若观察结论的结构特征，容易发现=与分别是函数的两个函数值与，因此又可用构造类比法：解：构造函数= 易知在上是减函数 由于，那么那么。说明：构造类比法是数学解题中一种富有创造性的思维方法，它的实质就是深入分析问题的结构特征和内在规律，综合运用数学知识，构想一个与原命题密切相关的数学模
8、型，使问题在该模型下实现转化，迅速获解。在平时的教学中，经常引导学生探索“构造类比”思维形成的途径，启发学生用构造联想类比法解题，帮助学生消除思维障碍，增强运用构造类比法的意识，提高应变能力和创新能力，从而使学生能更好的适应高考竞争的需求。三、 培养和发展学生的类比思想的措施 在学生了解类比的涵义，具有类比的潜意识之后，首先在教学中向学生介绍类比的功能，激发学生参与类比的兴趣是培养和发展学生类比推理能力的重要举措之一。 爱因斯坦说过：“兴趣是最好的老师。”学生类比能力的提高很大程度上依赖于自主的参与类比过程，亲自感受到类比的作用和意义，因此教师要在如何激发学生积极参与类比上下功夫。 结合科学发
9、明史是激发学生类比兴趣的有效途径。历史上有许多杰出的科学家，可以说无例外地都是善于应用“类比”去发现真理的能手，如英国科学家牛顿由“苹果落地”类比推断地球对苹果有吸引力，进而研究发现“万有引力”定律。又如英国生物学家达尔文从植物异花受精和自花受精试验中发现，异花受精的后代较优，进而联系自己娶妻表姐，生的十多个子女，个个都是体弱多病，类比推断近亲结婚不好，他的这一推断已被人类繁衍的实践所证明。结合数学发展史和教材实例是激发学生类比兴趣的主要渠道。德国数学家哥德巴赫通过对4=2+2，6=3+3，8=3+5，10=3+7=5+5大量实例考察，类比提出了著名的哥德巴赫猜想：“凡是大于2的偶数都可表达成
10、两个素数之和.”另外均值不等式的类比推断和归纳法的应用无一不是运用类比法的典范。 其次挖掘类比素材，创设类比情境，这也是培养和发展学生类比推理能力的重要举措。 数学知识是相互联系相互沟通的，教学中可启发学生从知识的顺延、从属、引深、互逆、相似等方面考虑和发掘类比因素，抓住新旧知识的共同性质加以分析、比较、逐步引导学生由“已知”发现“未知”，同时应注重恰到好处地构造类比“舞台”，使学生独立自主地参与类比发现的全过程。例如球的体积公式的推导可以作这样的教学设计：先不直接向学生提供球的体积公式，而是让学生以“小科学家”的身份，按照预先设计的类比道路去探索和发现结论。对于圆面积公式,学生是很熟悉的，单
11、从圆面积公式的原形很难类比出球的体积公式，可先启发学生改写圆面积公式：,即圆的面积等于以其周长为底边，以半径为高的三角形的面积，再引导学生从三角形与棱锥的构成上进行分析；三角形可看作线段外一点与线段端点用线段相连所成的图形；棱锥则可看成多边形（所在平面）外一点与多边形各顶点用线段相连所生成的几何体，至此，学生只要稍加分析比较，求同存异，便不难作出类比猜想，球的体积等于以球面积为底面，以球半径为高的棱锥的体积,即：这一猜想无疑是正确的（证明从略）通过这一实例演练，学生不仅从中学到了从“已知”获取“未知”的方法，而且通过亲自感受这一推导过程，无不会收到类比推理的愉悦、探索、求知的欲望和兴趣便会油然而生，自然而然也就发展了学生的想象力和创造能力。类比是一项探索性和发现性的活动，因而常常会遇到一些意想不到的困难，这就要我们数学教师在重视学生类比能力培养的同时，不应忽视学生非智力因素心里品质的优化。因为一个没有坚定信念缺乏毅力的人是不会在数学发现或创造上有重大突破。参考文献：1、浅谈对新课标数学思想方法的数学探究 中国教育网 教育吧的日志 2008年 2、中学数学教学中类比思想培养 中国教育网 华中师大 王洁 2008年
