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1、“亚黄金椭圆”的性质再探究摘要圆锥曲线是高中数学重要知识点之也是高考中的重难点；它们有很多完美的性质，本文通过对亚黄金椭圆性质的进一步探究，以期引导中学生对圆锥曲线的性质有更深入的学习和发现.关键字亚黄金椭圆；性质：探究在初中阶段，我们知道避二1称为线段的“黄金分割比”，简称“黄金比”；这里2给出亚黄金椭圆的定义：若椭圆的离心率e满足/二世-1,则称该椭圆为亚黄金椭圆.2为了探究的方便，我们假设亚黄金椭圆的中心为坐标原点，焦点在X轴上，标准方程为0),其中长轴端点为A1、A，短轴端点为空与，左、Ca2b-2右焦点为尸I、，如下图所示.图1亚黄金椭圆的性质性质1.在亚黄金椭圆中，。、。成等比数列
2、.【证明】因为/=二且二1.,可得皿J2+19a22e0?X3。即c4+aT-a4=0所ac2=4-C4K1.-所a2(2b2)=a4-c4所以ab22=C4即ab=c2故。、成等比数列.命题得证.性质2.在亚黄金椭圆!+1.=1中，ac2b2【证明】由性质1,ab=c2所以一!-01ab2=O-C11变形为51C1.tr=即心4_17与故与1./+二,命题得证.性质3.在亚黄金椭圆中，以椭圆中心（坐标原点）为圆心，以半长轴。为半径作圆,交y轴于A3、，在图1人、.A4中,A4h A3 图2I2 四点共圆；在图2 DAFB 1 中，4 2 1一2A3图3【证明】先证明图2成立.中421一O由性
3、质1,在亚黄金椭圆中，a=C2所以幺H,即回J=1.2CcbOF2OB1.因为DAoF=DFOB2f）所以DASD尸OB?I可得DA尸BP.421=2由对称性，可知图1DAFB=DAbB=,故/1、12四点共圆中，41142，-C人命题得证.性质4.在亚黄金椭圆中，以椭圆中心（坐标原点）为圆心，分别以半长轴B1.A3【证明】在亚黄金椭圆中，ab=C11.AFix+cy-ac=O2：故原点到直线AF的距离dXAiF1.。BAi。、半短轴AF42相切，d-ac_abc=abc=abc=abc=abc=b.ya2+c2ab2+bc2c4bc2yc2(2+c2)c22QCb所以小圆与直线A歹相切.命题
4、得证.性质5.在亚黄金椭圆中，以椭圆中心（坐标原点）为圆心，以半长轴。为半径作圆,交y轴与A3、，过原点的直线与过A4、8的动圆N相切于点M,则OM二,即切线段长为半焦距.【证明】在亚黄金椭圆中，C1.b=C2,由圆切割线定理，OM=OB0A=ab=C2故OM=c,即切线段长为半焦距.命题得证.这些只是笔者浅显地探索了亚黄金椭圆的一些简单性质，还有更多优美的性质待我们继续挖掘发现.链接高考例1.2006年天津卷（理科）如图，以椭圆二十；=(o)的中心。为圆心，分别以”也为半径作大圆和小a答案：、片-3 (过程略)参考文献1苏立标.从一道高考题谈“亚黄金椭圆”的性质.数学教学研究2007年第6期
5、39-40页，共2页.2魏海涛.椭圆族中的奇葩一黄金椭圆.数学教学研究2008年第27卷第4期35-b2圆.过椭圆右焦点37c,0)()作垂直4轴的直线交大圆于第一象限内的点A.连/J-r-接04交小圆于点8.设直线B/是小圆的切线.(1)求证：2C=。匕，并求直线8户与y轴的交点M的坐标；UUUF1(2)设直线8尸交椭圆于尸、两点，求证：UUur21.iU1.1.i1.=QCPCCC(1)证明略.M(Q)(2)证明略.例2.(自编)椭圆C二+)：=(q0)的离心率e满足八1.直线不与坐标轴垂直，/Qb2若直线与椭圆/C相切于点P，点O为坐标原点，则直线与直线/OP的斜率之积为页，共3页.3罗文军.“亚黄金椭圆”的若干性质.中学数学教研：数学版2011年第10期35-36页，共2页.
