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1、二元目标函数取值范围的求法二元目标函数是指含有两个变量的表达式，通常记为，有关二元目标函数的值域、最值问题是常见题型，要注意其中涉及的数学思想和方法。一、消元法例1 若分析：，利用条件，可对实施消元，使之转化成为=，这样原二元问题就转化一元表达式的最大值， ，当原表达式有最大值。注： 本题除了将二元问题化为一元问题后，还要注意对变量隐含条件的挖掘。一般说来，题目条件中有所求二元变量的等量关系，且能用其中一个去表示另外一个，通常都可以通过消元将二元问题转化为一元问题处理。二、换元法例2已知,求的取值范围。分析：由联想到同角三角关系中的，可采用三角换元去处理， 由得， 的取值范围是。注：三角换元是
2、常用的一种换元方法，要选择适当的三角函数，使代数问题三角化，充分利用三角函数的图象和性质去处理，但换元时，要注意三角式和代数式的等价性。 常见的换元方法：若x2+y2=r2 令x=rcos y=rsin 若 令x=acos y=bsin 三、重要不等式法（最值定理）例3已知a0，b0，a+2b=1，求的最小值。分析：这是有关二元表达式的最值问题，考虑道题目中的条件，可直接利用基本不等式。 当且仅当，即时 ，。注：利用最值定理求最值时要抓住（1）“一正，二定，三等”（2）连续使用同向不等式时要保证等号条件的一致性。本题最常见的错误解法是：由a+2b，a+2b=1得1，2。其原因是两次运用基本不等
3、式的等号成立条件不一致。在a+2b中等号成立的条件是a=2b；在中，等号成立的条件是a=b，当时，a=b=0，这与已知条件矛盾。此外本题也可采用消元法，换元法去处理。四、转化法例4 已知分析：，又可转化成点（1，1）到直线上点的距离，由点到线的距离公式得的最小值为例5已知满足，求。分析：根据的结构特征，可联想道点到线的距离公式，则原题可转化为圆上一点到直线的距离的最小值，由图形可知，该距离的最小值又可转化为圆心到直线的距离与半径的差，即:= 二元表达式的最小值为。此外本题也可采用换元法求解。例6 若实数x、y满足x2+y26x4y+12=0，求的最大值及最小值.分析： 点（x,y）满足圆的方程
4、，而正好看作是圆上的点与原点连线的斜率从而转化为由动点（x,y）向圆所引的两条切线的斜率.由已知得（x3）2+(y2)2=1，圆心（3，2），半径为1设y=kx,即kxy=0由直线与圆相切，得，解得的最大值为，最小值为。此题也可通过作图用两角和差公式计算。注：以上三题都是转化法，利用数形结合思想中的 “形”中觅“数”，“数”上构“形”， 由所问的问题的表达式结构特征，转化为几何问题。五、线性规划法例7 已知满足，求z=2x+y的最大值和最小值。分析： 先作出可行域，如图所示中ABC表示的区域，且求得、B（-1，-1）、C（2，-1）。作出直线l0：2x+y=0，再将直线l0平移，当l0的平行线l1过B点时，可使z=2x+y达到最小值，当l0的平 行线l2过C点时，可使z=2x+y达到最大值。zmin=2（-1）+（-1）=-3，zmin=22+（-1）=3。 注：线性规划作为直线方程的延伸，为我们处理二元线性函数的最值提供了一个新的思路和方法。要注意理解与掌握。总之，二元目标函数的值域，最值问题的处理应是在题中条件的基础上，分析表达式的结构特征，合理选择适当方法求解，通过有效的针对性训练，掌握常见题型的思维方法，多总结，做到真正理解和掌握。21
