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1、,高中数学必修 A版 第一章 集合与函数的概念,1.3 函数的基本性质 1.3.1 单调性与最大（小）值（1）库尔勒市第三中学 授课人：冶金兰,学习目标：（1）通过已学过的函数特别是二次函数，理解函数的单调性及其几何意义；（2）学会运用函数图象理解和研究函数的性质；（3）能够熟练应用定义判断函数在某区间上的的单调性,准备：观察下列各个函数的图象，并说说它们分别反映了相应函数的哪些变化规律：,探讨变化规律：随x值的增大，y的值有什么变化？,如何用x与f(x)来描述上升的图象？,O,x,y,yf(x),如何用x与f(x)来描述上升的图象？,O,x,y,yf(x),如何用x与f(x)来描述上升的图象
2、？,O,x,y,yf(x),如何用x与f(x)来描述上升的图象？,O,x,y,x1x2,yf(x),如何用x与f(x)来描述上升的图象？,O,x,y,yf(x),x1x2,如何用x与f(x)来描述上升的图象？,O,x,y,yf(x),x1x2,如何用x与f(x)来描述上升的图象？,O,x,y,yf(x),x1x2,如何用x与f(x)来描述上升的图象？,O,x,y,yf(x),x1x2 f(x1)f(x2),如何用x与f(x)来描述上升的图象？,O,x,y,yf(x),x1x2 f(x1)f(x2),如何用x与f(x)来描述上升的图象？,O,x,y,yf(x),如何用x与f(x)来描述上升的图象
3、？,O,x,y,yf(x),在给定区间上任取x1,x2,x1x2 f(x1)f(x2),如何用x与f(x)来描述上升的图象？,O,x,y,yf(x),在给定区间上任取x1,x2,x1x2 f(x1)f(x2),如何用x与f(x)来描述上升的图象？,O,x,y,yf(x),在给定区间上任取x1,x2,函数f(x)在给定区间上为增函数.,x1x2 f(x1)f(x2),如何用x与f(x)来描述上升的图象？,O,x,y,yf(x),在给定区间上任取x1,x2,如何用x与f(x)来描述下降的图象？,x2,x1,O,x,y,yf(x),f(x1),f(x2),函数f(x)在给定区间上为增函数.,x1x2
4、 f(x1)f(x2),如何用x与f(x)来描述上升的图象？,O,x,y,yf(x),在给定区间上任取x1,x2,如何用x与f(x)来描述下降的图象？,x2,x1,O,x,y,yf(x),f(x1),f(x2),函数f(x)在给定区间上为增函数.,在给定区间上任取x1,x2,x1x2 f(x1)f(x2),如何用x与f(x)来描述上升的图象？,O,x,y,yf(x),在给定区间上任取x1,x2,如何用x与f(x)来描述下降的图象？,x2,x1,O,x,y,yf(x),f(x1),f(x2),函数f(x)在给定区间上为增函数.,x1x2 f(x1)f(x2),在给定区间上任取x1,x2,x1x2
5、 f(x1)f(x2),如何用x与f(x)来描述上升的图象？,O,x,y,yf(x),在给定区间上任取x1,x2,如何用x与f(x)来描述下降的图象？,x2,x1,O,x,y,yf(x),f(x1),f(x2),函数f(x)在给定区间上为增函数.,函数f(x)在给定区间上为减函数.,x1x2 f(x1)f(x2),在给定区间上任取x1,x2,如果对于定义域I内的某个区间上的任意两个自变量的值x1,x2，当x1x2时，都有f(x1)f(x2)，那么就说f(x)在这个区间上是增函数.,一 增函数、减函数的概念：,一般地，设函数f(x)的定义域为I.,如果对于定义域I内的某个区间上的任意两个自变量的
6、值x1,x2，当x1x2时，都有f(x1)f(x2)，那么就说f(x)在这个区间上是减函数.,一 增函数、减函数的概念：,一般地，设函数f(x)的定义域为I.,二 函数单调性的概念：,如果函数yf(x)在某个区间D上是增函数或是减函数，那么就说函数yf(x)在这一区间具有（严格的）单调性，区间D叫做yf(x)的单调区间.在单调区间上，增函数的图像是上升的，减函数的图像是下降的。,化解疑难,1x1，x2的三个特征,(1)任意性，即x1，x2是在某一区间上的任意两个值，不能以特殊值代换；,(2)有大小，即确定的两个值x1，x1必须区分大小，一般令x1x2；,(3)同属一个单调区间,(1)函数的单调
7、性是在定义域内的某个区间上的性质，是函数的局部性质，所以函数的单调区间是其定义域的子集,(2)函数的单调性是对某个区间而言的，在某一点上不存在单调性,2理解函数的单调性应注意的问题：,(3)一个函数出现两个或者两个以上的单调区间时，不能用“”连接，而应该用“和”连接如函数y 在(，0)和(0，)上单调递减，却不能表述为：函数y在(，0)(0，)上单调递减,(4)并非所有的函数都具有单调性如常值函数。,在 是增函数在 是减函数,在 是增函数在 是减函数,在(-,+)是减函数,在(-,0)和(0,+)是减函数,在(-,+)是增函数,在(-,0)和(0,+)是增函数,例1、下图是定义在区间-5，5上
8、的函数yf(x)，根据图象说出函数的单调区间，以及在每个区间上，它是增函数还是减函数？,解：函数yf(x)的单调区间有-5,-2),-2,1),1,3),3,5,其中yf(x)在区间-5,-2),1,3)上是减函数，在区间-2,1),3,5 上是增函数。,图象法,例2、证明函数f(x)=3x+2在R上是增函数。,证明：设x1,x2是R上的任意两个实数，且x1x2，则,f(x1)f（x2）（3x12）（3x22）,3（x1x2）,由x1x2，得x1x20,于是f（x1）f（x2）0,即f（x1）f（x2）,所以，函数f(x)=3x+2在R上是增函数。,定义法,取值,作差,变形,定号,结论,三判断
9、函数单调性的方法步骤,1 任取x1，x2D，且x1x2；2 作差f（x1）f（x2）；3 变形（常用因式分解、配方和有理化法）；4 定号（即判断差f（x1）f（x2）的正负）；5 下结论（即指出函数f(x)在给定的区间D上的单调性）,利用定义证明函数f(x)在给定的区间D上的单调性的一般步骤：,巩固练习：(1).画yx4x5的图象并求单调区间.,(2)（课本P32第4题的变式题）判断函数f(x)=-2x+1在R上是增函数还是减函数并给出证明。,（1）已知函数f(x)x,2ax3,在区间1,2上单调，求实数a的取值范围,思 考？,（2）已知yf(x)在定义域(1,1)上是减函 数，且f(1a)f(2a1)，求a的取值范围。,(1)增函数、减函数、单调区间的定义(2)判断函数单调性的方法（图象法、定义法）。(3)用定义证明函数单调性的步骤：取值作差变形定号下结论。,总结提升：,1 书面作业：课本P39习题13（A组）第15题2.提高作业：判断函数,在区间2，6 上的单调性,作业布置：,
