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1、全等三角形复习,全等图形,定义：,性质：,能够完全重合的图形,形状大小都相等,平移 翻折 旋转,知识回顾：,图形的分割：,你能将下列各图分成两个全等图形吗？,知识点回顾：,全等三角形,SAS,ASA,AAS,SSS,包括直角三角形,不包括其它形状的三角形,全等三角形的对应边相等、对应角相等。全等三角形的周长相等、面积相等。全等三角形的对应边上的对应中线、角平分线、高线分别相等。,HL,方法指引,证明两个三角形全等的基本思路：,（1）：已知两边-,找第三边,(SSS),找夹角,（SAS),(2):已知一边一角-,已知一边和它的邻角,找是否有直角,(HL),已知一边和它的对角,找这边的另一个邻角(
2、ASA),找这个角的另一个边(SAS),找这边的对角(AAS),找一角(AAS),已知角是直角，找一边(HL),(3):已知两角-,找两角的夹边(ASA),找夹边外的任意边(AAS),是否存在这样的直角三角形，它可以分割成2个全等的直角三角形？分割成3个、4个、5个全等的直角三角形？试画说明。,（1）等腰直角三角形,（2）有一个角为300的直角三角形,（3）任意直角三角形,（4）一条直角边是另一条直角边的2倍的直角三角形,1.如图1，AB=CD，AC=BD，则与ACB相等的角是_，为什么？2.如图2，点D在AB上，点E在AC上，CD与BE相交于点O，且AD=AE，AB=AC。若B=200，CD
3、=5cm，则C=_，BE=_.,图1,图2,DBC,200,5cm,全等三角形,3、已知：如图，CDAB，BEAC，垂足分别为D、E，BE、CD相交于O点，1=2，图中全等的三角形共有()A1对 B2对 C3对 D4对,D,4.如图，P是MN的中点，MQ=PR,PQ=NR，MPQ与PNR全等吗？为什么？,解：MPQ PNR因为P是MN的中点，所以MP=PN，又因为MQ=PR，PQ=NR，根据SSS可以知道，MPQ PNR。,5.点A，B，E在同一直线上，DBE=CBE，BC=BD，找出图中所有全等的三角形，并说明理由。你能说出两组相等的角吗？,解：CBE DBE ABC ABD AEC AED
4、,6.如图所示：,，与全等吗？与有怎样的位置关系？若题中 的条件去掉，你能判断当，满足什么位置关 系时，仍能得到的结论？,7、将一长方形纸片按如图方式折叠，BC、BD为折痕，则CBD的度数为（）A、600B、750C、900D、950,C,8、如图，ABC中，ADBC，垂足为D，BEAC，垂足为E，AD、BE相交于点F。如果BFAC，那么ABC的度数是（）A、400B、450C、500D、600,B,F,D,E,B,C,A,9、如图，RtABERtECD,则结论：AEDE；AEDE；BCABCD；ABDC。成立的是（）A、仅 B、仅C、D、,D,B,C,D,A,E,10、如图.ACB=90，A
5、C=BC，BE CE，AD CE，垂足分别为E，D，图中有哪条线段与AD相等，并说明理由。,解：AD=CE因为BE CE，AD CE，所以 BEC=CDA=90又因ACB=90，即 BCE+ACE=90 DAC+ACD=90所以 BCE=DAC，又因为AC=BC根据AAS，可以知道BECCDA所以AD=CE,11、如图为人民公园中的荷花池，现在测量荷花池两旁A、B两棵大树间的距离（不得直接量得）。请你根据图形全等的知识，用一根足够长的绳子及标杆为工具，设计两种不同的测量方案。要求（1）画出设计的测量示意图；（2）写出测量方案的理由。,A,B,A,B,D,C,E,角的内部到角的两边的距离相等的点
6、在角的平分线上。,用法：QDOA，QEOB，QDQE点Q在AOB的平分线上,角的平分线上的点到角的两边的距离相等.,用法：QDOA,QEOB,点Q在AOB的平分线上 QDQE,二.角的平分线：1.角平分线的性质：,2.角平分线的判定：,1、如图：在ABC中，C=900，AD平分 BAC，DEAB交AB于E，BC=30，BD：CD=3：2，则DE=。,12,c,A,B,D,E,三.练习：,2.如图,ABC的角平分线BM,CN相交于点P,求证：点P到三边AB、BC、CA的距离相等,BM是ABC的角平分线,点P在BM上,PD=PE(角平分线上的点到这个角的两边距离相等).,同理,PE=PF.,PDP
7、E=PF.,即点P到三边AB、BC、CA的距离相等,证明：过点P作PDAB于D，PEBC于E，PFAC于F,3.如图，已知ABC的外角CBD和BCE的平分线相交于点F，求证：点F在DAE的平分线上,证明：,过点F作FGAE于G，FHAD于H，FMBC于M,G,H,M,点F在BCE的平分线上，FGAE，FMBC,FGFM,又点F在CBD的平分线上，FHAD，FMBC,FMFH,FGFH,点F在DAE的平分线上,4.已知，ABC和ECD都是等边三角形，且点B，C，D在一条直线上求证：BE=AD,变式：以上条件不变，将ABC绕点C旋转一定角度（大于零度而小于六十度），以上的结论海成立吗？,5：如图，
8、已知E在AB上，1=2，3=4，那么AC等于AD吗？为什么？,解：AC=AD,证明：,练习,7：如图，已知，EGAF，请你从下面三个条件中，再选出两个作为已知条件，另一个作为结论，推出一个正确的命题。（只写出一种情况）AB=AC DE=DF BE=CF 已知：EGAF 求证：,高,8.如图,已知A=D,AB=DE,AF=CD,BC=EF.求证:BCEF,9.如图,已知ACBD，EA、EB分别平分CAB和DBA，CD过点E，则AB与AC+BD相等吗？请说明理由。,要证明两条线段的和与一条线段相等时常用的两种方法：1、可在长线段上截取与两条线段中一条相等的一段，然后证明剩余的线段与另一条线段相等。
9、（割）2、把一个三角形移到另一位置，使两线段补成一条线段，再证明它与长线段相等。（补）,10.如图：在四边形ABCD中，点E在边CD上，连接AE、BE并延长AE交BC的延长线于点F，给出下列5个关系式：ADBC，DE=EC1=2，3=4，AD+BC=AB。将其中三个关系式作为已知，另外两个作为结论，构成正确的命题。请用序号写出两个正确的命题：（书写形式：如果那么）（1）；（2）；,11.如图，在RABC中，ACB=45，BAC=90，AB=AC，点D是AB的中点，AFCD于H交BC于F，BEAC交AF的延长线于E，求证：BC垂直且平分DE.,12.已知：如图：在ABC中，BE、CF分别是AC、
10、AB两边上的高，在BE上截取BD=AC，在CF的延长线上截取CG=AB，连结AD、AG。求证：ADG 为等腰直角三角形。,13.已知：如图21，AD平分BAC，DEAB于E，DFAC于F，DB=DC，求证：EB=FC,14、如图，在ABC中，AD为BC边上的中线，试说明ABAC与2AD之间的大小关系。,解：延长AD至E，使DEAD,在ABD与ECD中,BDDC（中线的定义）ADBEDC（对顶角相等）ADDE,ABDECD（SAS）,根据全等三角形对应边相等ABEC,在AEC中:ACECAE,又AE2AD,ABAC2AD,小结：对于三角形的中线，我们可以通过延长中线的1倍，来构造全等三角形。,联
11、想：对于三角形的角平分线，有时我们也可进行翻折构造全等三角形。,15、已知在ABC中，AD是角平分线，且ACABBD,试说明：B2C,解：在AC上截取AEAB，连结DE,在AED与ABD中,AEABEADBAD（角平分线的定义）ADAD（公共边）,AEDABD(SAS),根据全等三角形对应边、对应角相等EDBD，AEDB,又AC=AB+BD,CE=DE,根据等腰三角形的两个底角相等CEDC,又AEDCEDC,AED2C,B2C,E,C,A,B,D,16、如图，已知ABAE，BCED，BE，BAFEAF，试说明AFCD。,解答：连结AC、AD,在ABC与AED中,ABAE,BE,BCED,(SA
12、S),ABCAED,ACADBACEAD,又BAFEAF,BAFBACEAFEAD,即：CAFDAF,在CAF与DAF中,ACAD,CAFDAF,AFAF（公共边）,(SAS),CAFDAF,CFADFA,而CFADFA1800,CFADFA900,即：AFCD,17、ABC中，ACBC，C900，将一块三角板的直角顶点放在斜边AB的中点P处，将三角板绕P点旋转，三角形的两直角边分别交AC、CB于D、E两点，如图所示：（1）问PD与PE有何大小关系？并以图为例加以说明（2）在旋转过程中，还会存在与图不同的情形吗？若存在，请在图中画出，并加以说明,（1）分析：若PDAC，PECB（如图),可以说
13、明：ADPBEP,PDPE,若如图，可连接CP,可以发现DPCEPB，DCPB450，PCPB,PDCPEB（ASA）,PDPE.,（2）如图所示，与图一样可以说明PCDPBE，从而PDPE,总结提高,学习全等三角形应注意以下几个问题：,（1):要正确区分“对应边”与“对边”，“对应角”与“对角”的不同含义；,（2）：表示两个三角形全等时，表示对应顶点的字母要写在对应的位置上；,（3）：要记住“有三个角对应相等”或“有两边及其中一边的对角对应相等”的两个三角形不一定全等；,（4）：时刻注意图形中的隐含条件，如“公共角”、“公共边”、“对顶角”,角的内部到角的两边的距离相等的点在角的平分线上。,
14、用法：QDOA，QEOB，QDQE点Q在AOB的平分线上,角的平分线上的点到角的两边的距离相等.,用法：QDOA,QEOB,点Q在AOB的平分线上 QDQE,二.角的平分线：1.角平分线的性质：,2.角平分线的判定：,1、如图：在ABC中，C=900，AD平分 BAC，DEAB交AB于E，BC=30，BD：CD=3：2，则DE=。,12,c,A,B,D,E,三.练习：,2.如图,ABC的角平分线BM,CN相交于点P,求证：点P到三边AB、BC、CA的距离相等,BM是ABC的角平分线,点P在BM上,PD=PE(角平分线上的点到这个角的两边距离相等).,同理,PE=PF.,PDPE=PF.,即点P
15、到三边AB、BC、CA的距离相等,证明：过点P作PDAB于D，PEBC于E，PFAC于F,3.如图，已知ABC的外角CBD和BCE的平分线相交于点F，求证：点F在DAE的平分线上,证明：,过点F作FGAE于G，FHAD于H，FMBC于M,G,H,M,点F在BCE的平分线上，FGAE，FMBC,FGFM,又点F在CBD的平分线上，FHAD，FMBC,FMFH,FGFH,点F在DAE的平分线上,4.已知，ABC和ECD都是等边三角形，且点B，C，D在一条直线上求证：BE=AD,变式：以上条件不变，将ABC绕点C旋转一定角度（大于零度而小于六十度），以上的结论海成立吗？,1、如图：在ABC中，C=9
16、00，AD平分 BAC，DEAB交AB于E，BC=30，BD：CD=3：2，则DE=。,12,c,A,B,D,E,三.练习：,2.如图,ABC的角平分线BM,CN相交于点P,求证：点P到三边AB、BC、CA的距离相等,BM是ABC的角平分线,点P在BM上,PD=PE(角平分线上的点到这个角的两边距离相等).,同理,PE=PF.,PDPE=PF.,即点P到三边AB、BC、CA的距离相等,证明：过点P作PDAB于D，PEBC于E，PFAC于F,3.如图，已知ABC的外角CBD和BCE的平分线相交于点F，求证：点F在DAE的平分线上,证明：,过点F作FGAE于G，FHAD于H，FMBC于M,G,H,
17、M,点F在BCE的平分线上，FGAE，FMBC,FGFM,又点F在CBD的平分线上，FHAD，FMBC,FMFH,FGFH,点F在DAE的平分线上,4.已知，ABC和ECD都是等边三角形，且点B，C，D在一条直线上求证：BE=AD,变式：以上条件不变，将ABC绕点C旋转一定角度（大于零度而小于六十度），以上的结论海成立吗？,5：如图，已知E在AB上，1=2，3=4，那么AC等于AD吗？为什么？,解：AC=AD,证明：,练习,7：如图，已知，EGAF，请你从下面三个条件中，再选出两个作为已知条件，另一个作为结论，推出一个正确的命题。（只写出一种情况）AB=AC DE=DF BE=CF 已知：EG
18、AF 求证：,高,拓展题,8.如图,已知A=D,AB=DE,AF=CD,BC=EF.求证:BCEF,拓展题,9.如图,已知ACBD，EA、EB分别平分CAB和DBA，CD过点E，则AB与AC+BD相等吗？请说明理由。,要证明两条线段的和与一条线段相等时常用的两种方法：1、可在长线段上截取与两条线段中一条相等的一段，然后证明剩余的线段与另一条线段相等。（割）2、把一个三角形移到另一位置，使两线段补成一条线段，再证明它与长线段相等。（补）,10.如图：在四边形ABCD中，点E在边CD上，连接AE、BE并延长AE交BC的延长线于点F，给出下列5个关系式：ADBC，DE=EC1=2，3=4，AD+BC=AB。将其中三个关系式作为已知，另外两个作为结论，构成正确的命题。请用序号写出两个正确的命题：（书写形式：如果那么）（1）；（2）；,11.如图，在RABC中，ACB=45，BAC=90，AB=AC，点D是AB的中点，AFCD于H交BC于F，BEAC交AF的延长线于E，求证：BC垂直且平分DE.,12.已知：如图：在ABC中，BE、CF分别是AC、AB两边上的高，在BE上截取BD=AC，在CF的延长线上截取CG=AB，连结AD、AG。求证：ADG 为等腰直角三角形。,13.已知：如图21，AD平分BAC，DEAB于E，DFAC于F，DB=DC，求证：EB=FC,
