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1、,二次函数与实际问题(一),人教版九年级（上）,图形类问题中最大（小）值,二次函数 的图象和性质,抛物线,顶点坐标,对 称 轴,开口方向,增 减 性,最大（小）值,向上,向下,在对称轴的左侧,y随着x的增大而减小.在对称轴的右侧,y随着x的增大而增大.,在对称轴的左侧,y随着x的增大而增大.在对称轴的右侧,y随着x的增大而减小.,(a0),(a0),图 像,y=ax2+bx+c(a0),抛物线顶点是最低点，有最小值.即：,抛物线顶点是最高点，有最大值.即：,一、知识回顾,求出下列二次函数解析式的对称轴、顶点坐标、最值？,当x=时，y的最 值是。,当x=时，y的最 值是。,总结：当a0(a0)时
2、，抛物线y=ax2+bx+c的顶点是最低（高）点；也就是说：当 时，,二次函数值y=ax2+bx+c有最小（最大）值,向上,向下,函数的最大（小）值,做一做、看谁做的有准又快！,问题：从地面竖直向上抛出一小球，小球的高度h(单位：m)与小球的运动时间t（单位：s）之间的关系式是 h=30t5t 2(0t6)小球的运动时间是多少时，小球最高？小球运动中的最大高度是多少？,分析：从题意可知，h与t的关系是的二次函数的关系，可以借助图像解决这个问题。,答：小球运动的时间是3 s时，小球 最高.小球运动中的最大高度是45 m.,解：,当,时,S有最大值,45,二、创设情境,本题就是利用了二次函数解决了
3、一个最大值问题（求最大高度），因此二次函数是一类解决最大值、最小值问题的一个重要的数学模型，很多图形类最大值（最小值）问题都可以转化为二次函数解决。,三、探究新知,探究1：用总长为60 m的篱笆围成矩形场地，已知矩形面积S随矩形一边长l 的变化而变化，当l是多少米时，场地的面积S最大？,解：矩形场地的周长是60 m，一边长为 l m，所以另一边长为_,场地面积S=_,(30l),l(30l)=l 2+30 l,当,时，,S有最大值,答：当l是15 m时，面积和S最大为225 m2,(0l 30),三、探究新知,（1）列出二次函数解析式，确定自变量范围(切记不要忽略了)；,（2）求出二次函数的最
4、大值或最小值（结合函数图像）.,当 时，,二次函数值y=ax2+bx+c有最小（最大）值,问题：如何利用二次函数的最大（小）值解决实际问题？,归纳总结：,变式一,将总长为60 m的篱笆分成两段，每一段围成一个正方形，则得到的这两个正方形的面积之和S的最小值是多少？,解：设其中一个正方形边长为 x m，则：另一正方形的边长为_,场地面积S=_,x2+(15-x)2=2x2-30 x+225,当,时，,S有最小值,答：当x是,m时，面积和S最小为,(0 x 15),x,将鼠标移至变式一和题目上面点击，可以实现自动围成正方形。,变式一,将总长为60 m的篱笆分成两段，每一段围成一个正方形，则得到的这
5、两个正方形的面积之和S的最小值是多少？,变式二,将总长为60 m的篱笆分成两段，每一段围成一个正方形，若要求其中一个正方形的边长不小于8 m，则得到的这两个正方形的面积之和S的最小值是多少？,变式二,将总长为60 m的篱笆分成两段，每一段围成一个正方形，若要求其中一个正方形的边长不小于8 m，则得到的这两个正方形的面积之和S的最小值是多少？,解：设其中一个正方形边长为 x m，则：另一正方形的边长为_,场地面积S=_,x2+(15-x)2=2x2-30 x+225,当,时，,S有最小值,答：当x是 8 m时，面积和S最小为113 m2,(8x 15),如图正方形ABCD的边长为1，E、F、G、
6、H分别在AD，AB，BC，CD上，且AE=BF=CG=DH=x，当x为何值时，四边形EFGH的面积S最小？,分析：方法一：S=S正方形-4SRt,方法二：S=EH 2=AH 2+AE 2,解：由题意得：S=S正方形-4SRt,=1-4 x(1-x),=2x2-2x+1,x,(1-x),当,时，,S有最小值,答：当x是,时，面积和S最小为,四、应用新知,鼠标点击灰蓝色三角形可以实现旋转。,五、本课小结,二次函数是初中数学一个重要数学模型，常用来解决实际问题中一类最大（小）值问题。,本节课主要涉及的思想方法有：（1）建模的思想；(建立二次函数数学模型)（2）数形结合的思想；(二次函数图像及性质),
7、利用二次函数解决实际问题的最大（小）值问题基本步骤是什么？（1）列出函数解析式，确定自变量范围；（2）求出二次函数的最大值或最小值（结合图像分析）；,六、作业布置,P51 第1题P52 第5题,1、为了改善小区环境，某小区决定要在一块一边靠墙（墙长25m）的空地上修建一个矩形绿化带ABCD，绿化带一边靠墙，另三边用总长为40 m的栅栏围住若设绿化带的BC边长为x m，绿化带的面积为y m2（1）求y与x之间的函数关系式，并写出自变量x的取值范围；（2）当x为何值时，满足条件的绿化带的面积最大,谢谢指导,自动围成小正方形,自制课件素材,围成大正方形,变式一（没有动画）,将总长为60 m的篱笆分成两段，每一段围成一个正方形，则得到的这两个正方形的面积之和S的最小值是多少？,解：设其中一个正方形边长为 x m，则：另一正方形的边长为_,场地面积S=_,x2+(15-x)2=2x2-30 x+225,当,时，,S有最小值,答：当x是,m时，面积和S最小为,(0 x 15),
