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1、与“变”同行，让“变”升华 基于一次作业讲评的拓展崇阳桃溪中学 周学光【案例背景】在一次月假结束返校后的作业批改中，发现学生对八下作业本（1）中第6面C组第11题第（2）小题的完成情况很不理想。绝大多数同学因为不知道而空白，即使少数写过的同学，也是不知所云。在我们班有那么几个学生的数学功底是不错的，理论上讲，至少有几个学生应该知道如何解决。可事实并非如此。问题出在哪里？于是我陷入了思考，该怎么讲评此题？如何解决学生的这一思维上空白？如何通过本题的讲解让学生真正理解此类问题呢？【案例描述】图一问题情境：原题如下：在如图一所示的1111的方格内，A、B、C、D四个点都在格的顶点上，且ABBC2CD
2、4，P是线段BC上的动点，连结AP、DP。（1）设BPa，用含字母a的代数式分别表示线段AP，DP的长，并求当a2时，APDP的值；（2）APDP是否存在最小值？若存在，请求出最小值。师：对于第（1）小题，同学们没有问题，对吧？对于第（2）小题，你们不知道如何解决，可以先谈谈你们遇到的困难吗？生1：老师，我知道APDP是存在最小值，可是我不知道什么时候取最小值，更不知道怎么去求了。生2：老师，我也是遇到这样的困难，所以就觉得无从下手。生3：我一看就觉得头疼，所以就放弃去做的念头了。师：我们以前遇到过这样的求两条线段和的最小值的问题吗？生（齐声回答）：遇到过。师：哪位同学帮我们一起回忆一下？生4
3、：我知道，就是在公路的同侧有两个村庄A、B，现要在公路边建一个车站，要求车站到两个村庄的路程之和最小，请问车站要建在哪里？师（依学生的描述，我画出相应的图形如图二）：这问题实际上就是在公路上找一点P，使得线段APBP的和最小，和这个问题一样吗？ 图二生（齐声回答）：一样。师：很好，那么我们当初是怎么解决这个问题的？生5：作点A关于直线得对称点，连结，交直线于点（如图二）。则当点P在点时（如图二），线段APBP的和最小。师：为什么？你是依据什么得出此时线段APBP的和最小？生5：由对称的性质可知，当点所以P和点重合时，APBP，依据两点之间线段最小知此时线段APBP的和最小。师：很好，大家听明白
4、了吗？那么现在可以解决这个问题了吗？接下来师生一起，很顺利地就解决了这个大多数同学认为很难得题。图三师：解决本题了，那么我们尝试一下，是否能够解决与本体类型相似的其他问题呢？（出示变式题一）在如图三所示的88的方格内，A、B、C、D四个点都在格点上。且AD1，DC3，BC2. （1）若P为DC上的动点，设DPa，试用含有a的代数式表示AP，BP的长；并求当a1时，APBP ；当a3时，APBP 。（2）APBP在P点运动过程中是否存在最小值，最小值为多少？问题（1）：学生解决很顺利。问题（2）：生6：作点A关于直线CD的对称点，连接， 与DC的交点即为使APBP的值最小的点P的位置，最小值为。
5、师：你们是这样解决的吗？很好，看来大家基本上已经熟练掌握这类问题的解题技巧了。那么我们再看看这样的问题。（出示变式题二）：求当得值为多少时，代数式有最小值，最小值是多少？生7：对比上题可知，在网格中先构造一样的图形就解决了。师：怎么解决，能说具体点吗？生7：（跑上黑板前）如图四，设PDx，则CP3x。作点A关于CD对称的点，连结，交CD于点。则有。 在RtAPD中，由勾股定理得：图四；同理，。所以，求代数式的最小值问题就转化为求线段的最小值了。依据“两点之间线段最小”，显然当点P移动到时，此时的值最小。最后构造如图所示的Rt，利用勾股定理，就可以求得所求代数式的最小值了。师：同学们，你们说他说
6、的好吗？生（热烈的掌声）：非常好！师：好，下面继续看看变式（出示变式题三）。已知，求当a为何值时代数式有最小值？生：转化为，于是所求代数式就转化为，就可以利用上面的方法进行解决了。师：你们现在发现什么了吗？当学生掌握变式规律后再用构造法寻找已知和未知的关系，教师在图中演示其中的过程，学生再度兴奋起来了，原来数学题也这样的神奇！教师将条件已知划一个圈：你能再将这个条件变式吗？（众生饶有兴味地看着、听着、思考着）生G：点M（x，y）满足，求代数式的最小值？师：真聪明！生H：我这样变行吗：求当x为何值时，函数的最小值？【案例反思】一个本并不复杂的题目，却遭遇“全军覆没”，这样的情况在笔者从教这么多年
7、的经历中，几乎很少遇到。同时，通过这样一个作业题，进行必要的拓展和延伸所带来的思维训练的效果，也同样让人欣喜。得与失之间，就这样充满变数。对于我们一线的教师而言，特别是现在的既追求素质教育减轻学生课业负担、又要有升学率的大环境下，如何用好、用活现有材料，充分挖掘作业题的“潜力”，不断进行适度的变式训练，“变出”味道，让学生的思维在不断地“变”中得到提升和拓展，给了我许多的感受与体会：1、耐心“诊脉”，寻找“病源”本例中的第（2）小题，依据学生原有的认知能力和解题能力，应该是有一部分学生能解决的。为什么学生却没有解决呢？是能力问题吗？显然不完全是。其中一部分的也许没有仔细想，或者没有深入去思考本
8、题的解题思路。当然大部分的学生是真的无从下手。本题的解题思路很简单，作点A（或D也可以）关于直线BC的对称点，连结，利用两点之间线段最短的原理，很简单就解决。从后面的讲解可以知道，至少有一部分学生其实知道如何解决的。所以在讲解这样的问题时，让学生充分暴露其错误的思维过程，耐心“诊脉”，寻找“病源”，为后面的问题的解决铺平道路。2、精心“会诊”，深挖“病根”学生在解答单一问题时，需要提取、运用的知识少，因而受到知识间的干扰小，产生错误或不会解的可能性小；而遇到综合问题，在知识的选取、运用上受到的干扰大，容易造成困难。本例中，学生无法解决的一个重要原因是没有读懂题意，或者尚未理解该题的本质，从而造
9、成解题障碍。当然另一方面的原因是学生的懒惰心理，认为这题一定很难，所以就连碰也没有去碰。笔者通过帮助学生一起回忆以往解决类似问题经验，寻找解决问题的途径。即迁移以往的经验。3、果断“下药”，化解“病情”在实际教学中，有些教师只顾及眼前的即时目标，看不到长远目标；只重视微观的细节问题，不懂得从宏观进行调控把握，“一叶障目，不见泰山”。这不得不引起我们的思考，我们的教学到底仅仅是为了当下即时目标的实现，还是更需要着眼于对长远目标的达成呢？本例中，如果就题论题，而没有揭示问题的本质，那么很可能下次遇到还是无从下手；如果没有进行一系列的变式训练来拓展，那么此题的“潜力”就得不到充分的挖掘，思维训练的效
10、果就无从谈起。因此在数学课堂教学中要善于利用教材的例、习题，为学生提供拓展训练的平台，本例通过让学生了解图形与代数式之间可以进行相互转化，发现转化的依据和转化的可靠性，留给学生一个思考和探索的空间，这样可以有效将作业和竞赛辅导相互融合起来，使学生的创造性思维得到发展，实现学生思维能力的提升。参考资料1 数学课程标准（实验稿）北京师范大学出版社。2 朱晓民，秦杰.公开课与教师专业发展关系的调查研究J.课程教材教法，2009(5)。3 欧阳芬等.有效教学的基本功M，世界图书出版公司北京公司，2008.4 桂文通，一堂建构主义观下的数学课 J，中学数学教学参考（初中），2008，(10)5 陶立红：初中数学开放题的编制J，中学数学教与学，2009.25
