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1、24.2.2直线和圆的位置关系教学内容 1直线和圆相交、割线；直线和圆相切、圆的切线、切点；直线和圆没有公共点、直线和圆相离等概念 2设O的半径为r，直线L到圆心O的距离为d 直线L和O相交dr 3切线的判定定理：经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线 4切线的性质定理：圆的切线垂直于过切点的半径 5应用以上的内容解答题目 教学目标 （1）了解直线和圆的位置关系的有关概念（2）理解设O的半径为r，直线L到圆心O的距离为d，则有：直线L和O相交dr （3）理解切线的判定定理：理解切线的性质定理并熟练掌握以上内容解决一些实际问题 复习点和圆的位置关系，引入直线和圆的位置关系，以直线和圆的
2、位置关系中的d=r直线和圆相切，讲授切线的判定定理和性质定理 重难点、关键 1重点：切线的判定定理；切线的性质定理及其运用它们解决一些具体的题目 2难点与关键：由上节课点和圆的位置关系迁移并运动直线导出直线和圆的位置关系的三个对应等价 教学过程 一、复习引入（老师口答，学生口答，老师并在黑板上板书）同学们，我们前一节课已经学到点和圆的位置关系设O的半径为r，点P到圆心的距离OP=d， 则有：点P在圆外dr，如图（a）所示； 点P在圆上d=r，如图（b）所示； 点P在圆内dr，如图（c）所示 二、探索新知 前面我们讲了点和圆有这样的位置关系，如果这个点P改为直线L呢？它是否和圆还有这三种的关系呢
3、？ （学生活动）固定一个圆，把三角尺的边缘运动，如果把这个边缘看成一条直线，那么这条直线和圆有几种位置关系？ （老师口答，学生口答）直线和圆有三种位置关系：相交、相切和相离（老师板书）如图所示： 如图（a），直线L和圆有两个公共点，这时我们就说这条直线和圆相交，这条直线叫做圆的割线 如图（b），直线和圆有一个公共点，这时我们说这条直线和圆相切，这条直线叫做圆的切线，这个点叫做切点 如图（c），直线和圆没有公共点，这时我们说这条直线和圆相离 我们知道，点到直线L的距离是这点向直线作垂线，这点到垂足D的距离，按照这个定义，作出圆心O到L的距离的三种情况？ （学生分组活动）：设O的半径为r，圆心到直
4、线L的距离为d，请模仿点和圆的位置关系，总结出什么结论？老师点评直线L和O相交dr，如图（c）所示 因为d=r直线L和O相切，这里的d是圆心O到直线L的距离，即垂直，并由d=r就可得到L经过半径r的外端，即半径OA的A点，因此，很明显的，我们可以得到切线的判定定理： 经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线 （学生分组讨论）：根据上面的判定定理，如果你要证明一条直线是O的切线，你应该如何证明？ （老师点评）：应分为两步：（1）说明这个点是圆上的点，（2）过这点的半径垂直于直线 例1如图，已知RtABC的斜边AB=8cm，AC=4cm （1）以点C为圆心作圆，当半径为多长时，直线AB与C
5、相切？为什么？（2）以点C为圆心，分别以2cm和4cm为半径作两个圆，这两个圆与直线AB分别有怎样的位置关系？ 分析：（1）根据切线的判定定理可知，要使直线AB与C相切，那么这条半径应垂直于直线AB，并且C点到垂足的长就是半径，所以只要求出如图所示的CD即可 （2）用d和r的关系进行判定，或借助图形进行判定 解：（1）如图24-54：过C作CDAB，垂足为D_B_A_C_D 在RtABC中 BC= CD=2 因此，当半径为2cm时，AB与C相切 理由是：直线AB为C的半径CD的外端并且CDAB，所以AB是C的切线 （2）由（1）可知，圆心C到直线AB的距离d=2cm，所以 当r=2时，dr，C
6、与直线AB相离； 当r=4时，dr，C与直线AB相交 刚才的判定定理也好，或者例1也好，都是不知道直线是切线，而判定切线，反之，如果知道这条直线是切线呢？有什么性质定理呢？实际上，如图，CD是切线，A是切点，连结AO与O于B，那么AB是对称轴，所以沿AB对折图形时，AC与AD重合，因此，BAC=BAD=90_B_A_C_D_O 因此，我们有切线的性质定理: 圆的切线垂直于过切点的半径 三、巩固练习 教材，练习 四、应用拓展 例2如图，AB为O的直径，C是O上一点，D在AB的延长线上，且DCB=A （1）CD与O相切吗？如果相切，请你加以证明，如果不相切，请说明理由（2）若CD与O相切，且D=3
7、0，BD=10，求O的半径 分析：（1）要说明CD是否是O的切线，只要说明OC是否垂直于CD，垂足为C，因为C点已在圆上 由已知易得：A=30，又由DCB=A=30得：BC=BD=10 解：（1）CD与O相切 理由：C点在O上（已知） AB是直径 ACB=90，即ACO+OCB=90 A=OCA且DCB=A OCA=DCB OCD=90 综上：CD是O的切线 （2）在RtOCD中，D=30 COD=60 A=30 BCD=30 BC=BD=10 AB=20，r=10 答：（1）CD是O的切线，（2）O的半径是10 五、归纳小结（学生归纳，总结发言老师点评） 本节课应掌握： 1直线和圆相交、割线
8、、直线和圆相切，切线、切点、直线和圆相离等概念 2设O的半径为r，直线L到圆心O的距离为d则有： 直线L和O相交dr 3切线的判定定理：经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线 4切线的性质定理，圆的切线垂直于过切点的半径 5应用上面的知识解决实际问题 六、布置作业 1教材 复习巩固4、5 2选用课时作业设计第二课时作业设计 一、选择题 1如图，AB与O切于点C，OA=OB，若O的直径为8cm，AB=10cm，那么OA的长是（ ）A B 2下列说法正确的是（ ） A与圆有公共点的直线是圆的切线 B和圆心距离等于圆的半径的直线是圆的切线; C垂直于圆的半径的直线是圆的切线; D过圆的半径
9、的外端的直线是圆的切线 3已知O分别与ABC的BC边，AB的延长线，AC的延长线相切，则BOC等于（ ） A（B+C） B90+A C90-A D180-A 二、填空题1如图，AB为O直径，BD切O于B点，弦AC的延长线与BD交于D点，若AB=10，AC=8，则DC长为_ 2如图，P为O外一点，PA、PB为O的切线，A、B为切点，弦AB与PO交于C，O半径为1，PO=2，则PA_，PB=_，PC=_AC=_，BC=_AOB=_ 3设I是ABC的内心，O是ABC的外心，A=80，则BIC=_，BOC=_ 三、综合提高题 1如图，P为O外一点，PA切O于点A，过点P的任一直线交O于B、C，连结AB
10、、AC，连PO交O于D、E （1）求证：PAB=C（2）如果PA2=PDPE，那么当PA=2，PD=1时，求O的半径_B_A_C_E_D_P_O 2设a、b、c分别为ABC中A、B、C的对边，面积为S，则内切圆半径r=， 其中P=（a+b+c）；（2）RtABC中，C=90，则r=（a+b-c） 3如图1，平面直角坐标系中，O1与x轴相切于点A（-2，0），与y轴交于B、C两点，O1B的延长线交x轴于点D（，0），连结AB （1）求证：ABO=ABO； （2）设E为优弧的中点，连结AC、BE交于点F，请你探求BEBF的值 （3）如图2，过A、B两点作O2与y轴的正半轴交于点M，与BD的延长线交
11、于点N，当O2的大小变化时，给出下列两个结论 BM-BN的值不变；BM+BN的值不变，其中有且只有一个结论是正确的，请你判断哪一个结论正确，证明正确的结论并求出其值 （友情提示：如图3，如果DEBC，那么）_O_1_0_B_A_C_y_x_D _B_A_C_E_D (1) (2) (3) 答案:一、1A 2B 3C二、14 2 120 3130 160三、1（1）提示：作直径AF，连BF，如右图所示 （2）由已知PA2=PDPE，可得O的半径为2（1）设I为ABC内心，内切圆半径为r，则SABC=ABr+BCr+ACr，则r=；（2）设内切圆与各边切于D、E、F，连结ID、IE，如图，则IDA
12、C，IEBC，又C=90，ID=IE，DIEC为正方形，CE=CD=r，AD=AF=b-r，BE=BF=a-r，b-r+a-r=c，r=（a+b-c）_l_B_A_C_E_D_F3（1）证明：连结O1A，则O1AOA，O1AOB，O1AB=ABO，又O1A=O1B，O1AB=O1BA，ABO1=ABO（2）连结CE，O1AOB，设DB=2x，则O1D=5x，O1A=O1B=5x-2x=3x，在RtDAO1中，（3x）2+（）2=（5x）2，x=，O1A=O1B=，OB=1，OA是O1的切线，OA2=OBOC，OC=4，BC=3，AB=，E为优弧AC的中点，ABF=EBC，BAF=E，ABFEB
13、C，BEBF=ABBC=3 （3）解：BM-BN的值不变证明：在MB上取一点G，使MG=BN，连结AM、AN、AG、MN，ABO=ABO，ABO=AMN，ABO=ANM，AMN=ANM，AM=AN，AMG=ANB，MG=BN，AMGANB，AG=AB，ADBG，BG=2BO=2，BM-BN=BG=2其值不变24.2.2直线和与圆的位置关系 教学内容 1切线长的概念 2切线长定理：从圆外一点可以引圆的两条切线，它们的切线长相等，这一点和圆心的连线平分两条切线的夹角 3三角形的内切圆及三角形内心的概念 教学目标 了解切线长的概念 理解切线长定理，了解三角形的内切圆和三角形的内心的概念，熟练掌握它的
14、应用 复习圆与直线的位置关系和切线的判定定理、性质定理知识迁移到切长线的概念和切线长定理，然后根据所学三角形角平分线的性质给出三角形的内切圆和三角形的内心概念，最后应用它们解决一些实际问题 重难点、关键 1重点：切线长定理及其运用 2难点与关键：切线长定理的导出及其证明和运用切线长定理解决一些实际问题 教学过程 一、复习引入 1已知ABC，作三个内角平分线，说说它具有什么性质？ 2点和圆有几种位置关系？你能说说在这一节中应掌握几个方面的知识？ 3直线和圆有什么位置关系？切线的判定定理和性质定理，它们如何？ 老师点评：（1）在黑板上作出ABC的三条角平分线，并口述其性质：三条角平分线相交于一点；
15、交点到三条边的距离相等 （2）（口述）点和圆的位置关系有三种，点在圆内 dr；不在同一直线上的三个点确定一个圆；反证法的思想 （3）（口述）直线和圆的位置关系同样有三种：直线L和O相交 dr；切线的判定定理：经过半径的外端并且垂直于半径的直线是圆的切线；切线的性质定理：圆的切线垂直于过切点的半径 二、探索新知 从上面的复习，我们可以知道，过O上任一点A都可以作一条切线，并且只有一条，根据下面提出的问题操作思考并解决这个问题 问题：在你手中的纸上画出O，并画出过A点的唯一切线PA，连结PO，沿着直线PO将纸对折，设圆上与点A重合的点为B，这时，OB是O的一条半径吗？PB是O的切线吗？利用图形的轴
16、对称性，说明圆中的PA与PB，APO与BPO有什么关系？ 学生分组讨论，老师抽取34位同学回答这个问题 老师点评：OB与OA重叠，OA是半径，OB也就是半径了又因为OB是半径，PB为OB的外端，又根据折叠后的角不变，所以PB是O的又一条切线，根据轴对称性质，我们很容易得到PA=PB，APO=BPO 我们把PA或PB的长，即经过圆外一点作圆的切线，这点和切点之间的线段的长，叫做这点到圆的切线长 从上面的操作几何我们可以得到： 从圆外一点可以引圆的两条切线，它们的切线长相等，这一点和圆心的连线平分两条切线的夹角 下面，我们给予逻辑证明 例1如图，已知PA、PB是O的两条切线求证：PA=PB，OPA
17、=OPB 证明：PA、PB是O的两条切线 OAAP，OBBP 又OA=OB，OP=OP， RtAOPRtBOP PA=PB，OPA=OPB 因此，我们得到切线长定理： 从圆外一点可以引圆的两条切线，它们的切线长相等，这一点和圆心的连线平分两条切线的夹角 我们刚才已经复习，三角形的三条角平分线于一点，并且这个点到三条边的距离相等（同刚才画的图）设交点为I，那么I到AB、AC、BC的距离相等，如图所示，因此以点I为圆心，点I到BC的距离ID为半径作圆，则I与ABC的三条边都相切 与三角形各边都相切的圆叫做三角形的内切圆，内切圆的圆心是三角形三条角平分线的交点，叫做三角形的内心 例2如图，已知O是A
18、BC的内切圆，切点为D、E、F，如果AE=1，CD=2，BF=3，且ABC的面积为6求内切圆的半径r 分析：直接求内切圆的半径有困难，由于面积是已知的，因此要转化为面积法来求就需添加辅助线，如果连结AO、BO、CO，就可把三角形ABC分为三块，那么就可解决 解：连结AO、BO、CO O是ABC的内切圆且D、E、F是切点 AF=AE=1，BD=BF=3，CE=CD=2 AB=4，BC=5，AC=3 又SABC=6 （4+5+3）r=6 r=1 答：所求的内切圆的半径为1 三、巩固练习 教材 练习 四、应用拓展 例3如图，O的直径AB=12cm，AM、BN是两条切线，DC切O于E，交AM于D，交B
19、N于C，设AD=x，BC=y （1）求y与x的函数关系式，并说明是什么函数？ （2）若x、y是方程2t2-30t+m=0的两根，求x，y的值（3）求COD的面积 分析：（1）要求y与x的函数关系，就是求BC与AD的关系，根据切线长定理：DE=AD=x，CE=CB=y，即DC=x+y，又因为AB=12，所以只要作DFBC垂足为F，根据勾股定理，便可求得（2）x，y是2t2-30t+m=0的两根，那么x1+x2= ，x1x2= ，便可求得x、y的值 （3）连结OE，便可求得 解：（1）过点D作DFBC，垂足为F，则四边形ABFD为矩形 O切AM、BN、CD于A、B、E DE=AD，CE=CB AD
20、=x，CB=y CF=y-x，CD=x+y 在RtDCF中，DC2=DF2+CF2 即（x+y）2=（x-y）2+122 xy=36 y= 为反比例函数； （2）由x、y是方程2t-30t+m=0的两根，可得： x+y= =15 同理可得：xy=36 x=3，y=12或x=12，y=3 （3）连结OE，则OECD SCOD= CDOE= （AD+BC） AB = 15 12 =45cm2 五、归纳小结（学生归纳，老师点评） 本节课应掌握： 1圆的切线长概念； 2切线长定理； 3三角形的内切圆及内心的概念 六、布置作业 1教材，综合运用5、6、7、82选用课时作业设计第三课时作业设计 一、选择题
21、 1如图1，PA、PB分别切圆O于A、B两点，C为劣弧AB上一点，APB=30，则ACB=（ ） A60 B75 C105 D120 (1) (2) (3) (4) 2从圆外一点向半径为9的圆作切线，已知切线长为18，从这点到圆的最短距离为（ ） A9 B9（ -1） C9（ -1） D9 3圆外一点P，PA、PB分别切O于A、B，C为优弧AB上一点，若ACB=a，则APB=（ ） A180-a B90-a C90+a D180-2a 二、填空题1如图2，PA、PB分别切圆O于A、B，并与圆O的切线，分别相交于C、D，已知PA=7cm，则PCD的周长等于_2如图3，边长为a的正三角形的内切圆半
22、径是_3如图4，圆O内切RtABC，切点分别是D、E、F，则四边形OECF是_ 三、综合提高题1如图所示，EB、EC是O的两条切线，B、C是切点，A、D是O上两点， 如果E=46，DCF=32，求A的度数 2如图所示，PA、PB是O的两条切线，A、B为切点，求证ABO= APB. 3如图所示，已知在ABC中，B=90，O是AB上一点，以O为圆心，OB为半径的圆与AB交于点E，与AC切于点D （1）求证：DEOC； （2）若AD=2，DC=3，且AD2=AEAB，求 的值 答案:一、1C 2C 3D二、114cm 2 a 3正方形三、1解：EB、EC是O的两条切线，EB=EC，ECB=EBC，又
23、E=46，而E+EBC+ECB=180，ECB=67，又DCF+ECB+DCB=180，BCD=180-67-32=81，又A+BCD=180，A=180-81=992证明：连结OP、OA，OP交AB于C，B是切点，OBP=90，OAP=90，BOP=APO，OA=OB，BOP=AOC，OCB=90，OBA=OPB，OBA= APB3（1）证明：连结OD，则ODC=Rt，ODE=OED，由切线长定理得：CD=CB，RtODCRtOBC，COB=COD，DOE+2OED=180，又DOE+2COB=180，OED=COB，DEOC（2）由AD=2，DC=3得：BC=3，AB=4，又AD2=AEA
24、B，AE=1，BE=3，OB= BE= ， = 直线与圆位置关系典型题展现直线与圆的位置关系有三种：相离、相切和相交.设O的半径为r，圆心到直线l的距离为d，则有： 直线l与O相交 dr.根据d与r的关系,可解决直线与圆的位置关系.例1(湖南郴州)O的直径为12cm，圆心O到直线 的距离为7cm，则直线 与O的位置关系是（）.相交.相切.相离.不能确定分析:要选择直线l与O圆的位置关系,只要比较圆的半径与圆心与直线l的距离大小,根据大小关系确定位置关系. 解:因为O的直径为12cm,所以半径为6cm,因为圆心O到直线 的距离为7cm,76,所以直线 与O的位置关系是相离.选C.注：本题主要根据
25、直线l与O相离 dr.例2（湖南邵阳）已知O的半径为3cm，点P是直线l上一点，OP长为5cm，则直线l与O的位置关系为（ ）A. 相交B. 相切 C. 相离 D. 相交、相切、相离都有可能分析：本题知道O的半径为3cm，并知道点P是直线l上一点，OP长为5cm，并没有告诉圆心到直线l的距离，且根据已知条件无法确定圆心到直线l的距离的大小，所以此时要根据直线圆的位置关系的三种情况分别探究是否都有可能.解： 通过具体的数值分析，可知直线l与圆的位置关系三种都有可能，所以选D.注：本题用到分类讨论思想.例3（四川乐山） 如图1，O的半径OC=5cm，直线lOC，垂足为H，且l交O于点A、B两点，A
26、B=8cm，则l沿OC所在的直线向下平移_cm时与O相切. 图1分析:本题是一道判断直线与圆相切有关的问题,涉及到垂径定理、勾股定理以及平移等有关知识的应用.要判断直线l沿OC的方向平移多少cm时与O相切，只要求到CH的长度即可.因为CH=0C-OH，所以只要求到OH就可解决问题.解：连接OA，在RtAOH中，因为0A=5cm，AH=4cm，所以OH= cm.所以CH=OC-OH=2cm.即l沿OC所在的直线向下平移2cm时与O相切注：本题主要用到直线l与O相切 d=r.例4 （广西贺州）如图2，直线AB、CD相交于点O，AOD=30，半径为1cm的P的圆心在射线OA上，且与点O的距离为6cm如果P以1cm/s的速度沿由A向B的方向移动，那么（）秒钟后P与直线CD相切484或64或8 图2分析：本题是一道设计比较新颖的题目，要判断几秒种后P与直线CD相切，则需要计算出当P与直线CD相切时，圆心P移动的距离，如图，在移动的过程中，P与直线CD相切有两种情况，如图，当圆心运动到P1、P2的位置时与直线CD相切，只要求到PP1，PP2长度即可.解：当圆心移动到P1、P2的位置时，设P1与直线CD切于E点，则P1E=1，因为POD=30，所以OP1=2，所以PP1=6-2=4，同样可求PP2=8cm，所以经过4秒或8秒钟后P与直线CD相切.故选D.注：本题应思考两种可能.
